Ziyosfera

Arnold diffuziyasi

Амалий математикада Арнолд диффузияси интегралланувчи Гамилтон тизимларининг беқарорлиги ҳодисасидир. Бу ҳодиса 1964 йилда ушбу соҳада биринчи бўлиб натижани эълон қилган Владимир Арнолд шарафига номланган [1] Аниқроғи, Арнолд диффузияси ҳаракат ўзгарувчиларида сезиларли ўзгаришларни кўрсатадиган деярли интегралланадиган Гамилтон тизимларига ечимлар мавжудлигини тасдиқловчи натижаларни англатади.

Арнолд диффузияси Гамилтон системаларида ҳар қандай чекловлар билан боғланмаган (яъни ҳаракат доимийларидан келиб чиқадиган Лагрангиан тори билан чегараланмаган) фаза фазосининг бир қисмида эргодик теорема туфайли траэкторияларнинг тарқалишини тасвирлайди. Бу эркинлик даражаси Н =2 дан ортиқ бўлган тизимларда содир бўлади, чунки Н ўлчовли ўзгармас тори 2 Н −1 ўлчовли фазали фазони энди ажратмайди. Шундай қилиб, ўзбошимчалик билан кичик тебраниш бир қатор траэкторияларни вайрон қилинган тори томонидан қолдирилган фаза бўшлиғининг бутун қисми бўйлаб псевдо-тасодифий юришига олиб келиши мумкин.

Келиб чиқиши ва баёнот

Интеграцияланадиган тизимлар учун ҳаракат ўзгарувчилари сақланиши мавжуд. КАМ теоремасига кўра, агар биз интеграл бўладиган тизимни бироз безовта қилсак, унда кўпчилик, гарчи ҳамма бўлмаса ҳам, безовталанувчи тизимнинг ечимлари доимо бузилмаган тизимга яқин бўлади. Хусусан, ҳаракат ўзгарувчилари дастлаб сақланиб қолганлиги сабабли, теорема бизга безовталанувчи тизимнинг кўплаб ечимлари учун ҳаракатда фақат кичик ўзгаришлар мавжудлигини айтади.

Бироқ, Арнолднинг мақоласида биринчи бўлиб таъкидланганидек, деярли интегралланадиган тизимлар мавжуд бўлиб, улар учун ҳаракат ўзгарувчиларида ўзбошимчалик билан катта ўсишни кўрсатадиган эчимлар мавжуд. Аниқроғи, Арнолд Гамилтониан билан деярли интегралланадиган Гамилтон тизими мисолини кўриб чиқди.

Ҳ(И,ϕ,п,қ,т)=12И2+12п2+ϵ(cос⁡қ−1)+μ(cос⁡қ−1)(син⁡ϕ+cос⁡т){\дисплайстйле Ҳ(И, \пҳи, п, қ, т) = {1 \овер 2 }И^2 + {1 \овер 2 }п^2 + \эпсилон (\cос{ қ} - 1) + \му(\cос{қ} - 1)(\син{\пҳи + \cос т)}}

Ушбу Гамилтонианнинг дастлабки учта шарти ротатор-маатник тизимини тавсифлайди. Арнолд ушбу тизим учун ҳар қандай танлов учун эканлигини кўрсатди И+>И−>0{\дисплайстйле И_+> И_- > 0}, ва учун 0<μ≪ϵ≪1{\дисплайстйле 0 < \му \лл \эпсилон \лл 1}, қайси тизимга ечим бор

И(0)<И−андИ(Т)>И+{\дисплайстйле И(0) < И_-\техт{ анд }И(Т) > И_+}

бир муддат Т≫0.{\дисплайстйле Т \гг 0.}

Унинг исботи „мўйловли“ торининг „ўтиш занжирлари“ мавжудлигига, яъни ўтиш динамикасига эга бўлган тори кетма-кетлигига таянади, шундайки, бу торилардан бирининг беқарор коллектори (мўйлови) кейингисининг барқарор коллектори (мўйлови) билан кўндаланг кесишади. битта. Арнолд [2] "бизнинг мисолимиздаги беқарорлик умумий ҳолатга (масалан, учта жисм муаммосига) ҳам тегишли эканлигини кафолатлайдиган „ўтиш занжирлари“ механизми" деб тахмин қилди.

КАМ теоремаси бўйича маълумотни [3] да ва физикадан олинган маълумотларга эга бўлган қатъий математик натижалар тўпламини [4] да топиш мумкин.

Умумий ҳолат

Арнолд моделида безовталаниш атамаси алоҳида турга эга. Арнолднинг диффузия муаммосининг умумий ҳолати шакллардан бирининг Гамилтон тизимларига тегишли.

(1) Ҳϵ(И,ϕ,п,қ)=Ҳ0(И,п,қ)+ϵҲ1(И,ϕ,п,қ,т){\дисплайстйле Ҳ_\эпсилон(И,\пҳи,п,қ)=Ҳ_0(И,п,қ)+\эпсилон Ҳ_1(И,\пҳи, п, қ,т)}

бу ерда (И,ϕ,п,қ,т)∈Рм×Тм×Рн×Тн×Т1{\дисплайстйле (И,\пҳи,п,қ,т)\ин\матҳбб{Р}^м\тимес\матҳбб{Т}^м\тимес\матҳбб{Р}^н\тимес\матҳбб{Т}^н\тимес\матҳбб{Т}^1}, м,н≥1{\дисплайстйле м,н\геқ 1}, ва Ҳ0(И,п,қ){\дисплайстйле Ҳ_0(И,п,қ)} ротатор-маатник тизимини тасвирлайди, ёки

(2) Ҳϵ(И,ϕ)=Ҳ0(И)+ϵҲ1(И,ϕ,т){\дисплайстйле Ҳ_\эпсилон(И,\пҳи)=Ҳ_0(И)+\эпсилон Ҳ_1(И,\пҳи,т)}

бу ерда (И,ϕ,т)∈РН×ТН×Т1{\дисплайстйле (И,\пҳи,т)\ин\матҳбб{Р}^Н\тимес\матҳбб{Т}^Н\тимес\матҳбб{Т}^1}, Н≥2.{\дисплайстйле Н\геқ 2.}

(1) даги каби тизимлар учун безовталанмаган Гамилтониан гиперболик барқарор ва беқарор манифолдларга эга бўлган инвариант ториларнинг силлиқ оилаларига эга; бундай тизимлар а приори беқарор деб аталади. (2) даги каби система учун бузилмаган Гамилтонианнинг фаза фазоси Лагранж инвариант тори билан қопланган; бундай тизимлар а приори барқарор деб аталади. Иккала ҳолатда ҳам Арнолд диффузия муаммоси „умумий“ тизимлар учун мавжудлигини тасдиқлайди. ρ>0{\дисплайстйле \рҳо>0} ҳар бир киши учун шундай ϵ>0{\дисплайстйле \эпсилон>0} этарлича кичик бўлган эритма эгри чизиқлари мавжуд

‖И(Т)−И(0)‖≥ρ{\дисплайстйле \|И(Т)-И(0)\|\геқ \рҳо}

бир муддат Т≫0.{\дисплайстйле Т\гг 0.} Априор беқарор ва априор барқарор тизим контекстида мумкин бўлган генериклик шартларининг аниқ формулаларини мос равишда [5] [6] да топиш мумкин. Норасмий равишда, Арнолд диффузия муаммоси, кичик бузилишлар катта эффектларга тўпланиши мумкинлигини айтади.

Априори беқарор ҳолатда сўнгги натижаларга, [7] [8] [9] [10] [11] ва а приори барқарор ҳолатда киради. [12] [13]

Чекланган уч жисмли муаммо контекстида Арнолд диффузиясини шундай талқин қилиш мумкинки, массив жисмларнинг эллиптик орбиталарининг эксантриклигининг барча этарлича кичик, нолга тенг бўлмаган қийматлари учун энергия бўйлаб эчимлар мавжуд. аҳамияциз масса экссентрикликдан мустақил бўлган миқдорга ўзгаради. [14] [15] [16]

Манбалар

  1. ↑ Флорин Диаcу. Cелестиал Энcоунтерс: Тҳе Оригинс оф Чаос анд Стабилитй. Принcетон Университй Пресс, 1996 — 193-бет. ИСБН 0-691-00545-1. 
  2. ↑ Арнолд, Владимир И. (1964). "Инстабилитй оф дйнамиcал сйстемс wитҳ северал дегреэс оф фреэдом". Совиэт Матҳематиcс 5: 581–585. ҳттп://ми.матҳнет.ру/энг/дан/в156/и1/п9. 
  3. ↑ Ҳенк W. Броэр, Микҳаил Б. Севрюк (2007) КАМ Тҳеорй: қуаси-периодиcитй ин дйнамиcал сйстемс Ин: Ҳ. W. Броэр, Б. Ҳасселблатт анд Ф. Такенс (эдс.), Ҳандбоок оф Дйнамиcал Сйстемс Вол. 3, Нортҳ-Ҳолланд, 2010
  4. ↑ Пиэрре Лочак, (1999) Арнолд диффусион; а cомпендиум оф ремаркс анд қуэстионс Ин „Ҳамилтониан Сйстемс wитҳ Тҳреэ ор Море Дегреэс оф Фреэдом“ (С’Агар´о, 1995), C. Сим´о, эд, НАТО АСИ Сериэс C: Матҳ. Пҳйс. Сcи., Вол. 533, Клуwер Аcадемиc, Дордречт (1999), 168-183.
  5. ↑ Чен, Қинбо; де ла Ллаве, Рафаэл (2022-03-09). "Аналйтиc генериcитй оф диффусинг орбиц ин а приори унстабле Ҳамилтониан сйстемс". Нонлинеаритй (ИОП Публишинг) 35 (4): 1986–2019. дои:10.1088/1361-6544/аc50бб. ИССН 0951-7715. 
  6. ↑ Матҳер, Жоҳн Н. „Арнолд Диффусион бй Вариатионал Метҳодс“, . Эссайс ин Матҳематиcс анд иц Апплиcатионс. Спрингер Берлин Ҳеиделберг, 2012 — 271–285-бет. ДОИ:10.1007/978-3-642-28821-0_11. ИСБН 978-3-642-28820-3. 
  7. ↑ Болотин, С; Тресчев, Д (1999-01-01). "Унбоундед гроwтҳ оф энергй ин нонаутономоус Ҳамилтониан сйстемс". Нонлинеаритй (ИОП Публишинг) 12 (2): 365–388. дои:10.1088/0951-7715/12/2/013. ИССН 0951-7715. 
  8. ↑ Ченг, Чонг-Қинг; Ян, Жун (2004-07-01). "Эхистенcе оф Диффусион Орбиц ин а приори Унстабле Ҳамилтониан Сйстемс". Жоурнал оф Дифферентиал Геометрй (Интернатионал Пресс оф Бостон) 67 (3). дои:10.4310/ждг/1102091356. ИССН 0022-040Х. 
  9. ↑ Делшамс, Амадеу; де ла Ллаве, Рафаэл; М-Сеара, Тере (2006). "А геометриc мечанисм фор диффусион ин Ҳамилтониан сйстемс оверcоминг ин тҳе ларге гап проблем: Ҳеуристиcс анд ригороус верифиcатион он а модел". Мем. Ам. Матҳ. Соc. 179 (844). дои:10.1090/мемо/0844. 
  10. ↑ Гелфреич, Вассили; Тураэв, Дмитрй (2017-04-24). "Арнолд Диффусион ин А Приори Чаотиc Сймплеcтиc Мапс". Cоммуниcатионс ин Матҳематиcал Пҳйсиcс (Спрингер Сcиэнcе анд Бусинесс Медиа ЛЛC) 353 (2): 507–547. дои:10.1007/с00220-017-2867-0. ИССН 0010-3616. 
  11. ↑ Гидеа, Мариан; Ллаве, Рафаэл; М‐Сеара, Тере (2019-07-24). "А Генерал Мечанисм оф Диффусион ин Ҳамилтониан Сйстемс: Қуалитативе Ресулц". Cоммуниcатионс он Пуре анд Апплиэд Матҳематиcс (Wилей) 73 (1): 150–209. дои:10.1002/cпа.21856. ИССН 0010-3640. 
  12. ↑ Ченг, Чонг-Қинг (2019). "Тҳе генериcитй оф Арнолд диффусион ин неарлй интеграбле Ҳамилтониан сйстемс". Асиан Жоурнал оф Матҳематиcс (Интернатионал Пресс оф Бостон) 23 (3): 401–438. дои:10.4310/ажм.2019.в23.н3.а3. ИССН 1093-6106. 
  13. ↑ Калошин, Вадим. Арнолд Диффусион фор Смоотҳ Сйстемс оф Тwо анд а Ҳалф Дегреэс оф Фреэдом. Принcетон Университй Пресс, 2020-11-12. ДОИ:10.1515/9780691204932. ИСБН 978-0-691-20493-2. 
  14. ↑ Хиа, Зҳиҳонг (1993). "Арнолд диффусион ин тҳе эллиптиc рестриcтед тҳреэ-бодй проблем". Жоурнал оф Дйнамиcс анд Дифферентиал Эқуатионс (Спрингер Сcиэнcе анд Бусинесс Медиа ЛЛC) 5 (2): 219–240. дои:10.1007/бф01053161. ИССН 1040-7294. 
  15. ↑ Делшамс, Амадеу; Калошин, Вадим; де ла Роса, Абраҳам; Сеара, Тере М. (2018-09-05). "Глобал Инстабилитй ин тҳе Рестриcтед Планар Эллиптиc Тҳреэ Бодй Проблем". Cоммуниcатионс ин Матҳематиcал Пҳйсиcс (Спрингер Сcиэнcе анд Бусинесс Медиа ЛЛC) 366 (3): 1173–1228. дои:10.1007/с00220-018-3248-з. ИССН 0010-3616. 
  16. ↑ Cапиńски, Маcиэж; Гидеа, Мариан (2021). "А генерал мечанисм оф инстабилитй ин Ҳамилтониан сйстемс: скиппинг алонг а нормаллй ҳйперболиc инвариант манифолд". Cоммуниcатионс он Пуре анд Апплиэд Матҳематиcс. дои:10.1002/cпа.22014.  
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/19914441" dan olindi