Bernulli differensial tenglamasi sahifasining manbasini koʻrish

{{wikify|sana=2024-08}}

Quyida oddiy shakldagi differensial [[tenglama]] koʻrsatilgan:

: <math>y'+ a(x)y = b(x)y^n,\quad n \neq 0,\,1</math>

'''Bernulli tenglamasi''' deyiladi (masalan <math>n=0</math> yoki <math>n=1</math> bir jinsli yoki bir jinsli chiziqli tenglamani olamiz).

Da <math>n=2</math> [[Riccati]] tenglamasining maxsus holatidir. Ushbu bir jinsli tenglamani [[1695-yil]]da nashr etgan [[Jeykob Bernulli]] sharafiga nomlangan.

Bu tenglamani chiziqli tenglamaga tushuvchi almashtirish yordamida yechish usulini uning akasi Iogan Bernulli 1697-yilda yechimini topgan<ref>''Zelikin M. I.'' Odnorodnie prostranstva i uravnenie Rikkati v variatsionnom ischislenii, — Faktorial, Moskva, 1998.</ref>.

== Yechish usuli ==

=== Birinchi usul ===
Tenglamaning barcha shartlari quyidagigaga boʻlinadi:

: <math> y^n,</math>

olamiz

: <math>\frac{dy}{dx}\! y^{-n} + a(x)y^{1-n} = b(x).</math>

Oʻzgartirish amalga oshiriladi:

: <math>z = y ^ {1-n}</math>

va farqlash orqali quyidagilar olinadi:

: <math>\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}.</math>

Bu tenglama chiziqli tenglamaga keltiriladi:

: <math>\frac{dz}{dx} + (1-n)a(x) z = (1-n)b(x)</math>

va Lagranj usuli (doimiy oʻzgarish) yoki integrallashtiruvchi omil usullari bilan yechilishi ham mumkin.

=== Ikkinchi usul ===
Almashtirish usuli orqali almashtiriladi:

: <math>y = uv,</math>

keyin:

: <math>\dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n.</math>

<math>v(x) \not\equiv 0</math> shunday deb olinadi:

: <math>\dot{v} + a(x) v = 0,</math>

buning uchun 1-tartibdagi ajratiladigan oʻzgaruvchilar bilan tenglamani yechish kifoya boʻladi. Shundan soʻng, aniqlash uchun <math>u</math> tenglamani olamiz <math>\frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1}</math> ajraladigan oʻzgaruvchilarga ega tenglamadir.

== Misol uchun ==
Tenglama

: <math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>

<math>y^2,</math>boʻlib olamiz:

: <math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2.</math>

Oʻzgaruvchilarning oʻzgarishi olamiz

: <math>w = \frac{1}{y}</math>

bizga berilgan:

: <math>w' = \frac{-y'}{y^2},</math>
: <math>w' + \frac{2}{x}w = x^2.</math>

: <math>M(x)= e^{-2\int \frac{1}{x}dx} = x^{-2}.</math>

 <math>M(x)</math>ga bo'ling ,

: <math>w'x^2 + 2xw = x^4,</math>
: <math>\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx</math>
: <math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math>
: <math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C.</math>

Natija:

: <math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.</math>
: '''Qoʻshimcha''' maʼlumot:
: Bernuli tenglamasi faqat matematika yoki algebrada emas fizikada ham muhim oʻrin tutadi. Bernuli tenglamasi yordamida fizikada bu tenglama sizga ixtiyoriy oʻlchamdagi nayda harakatlanayotgan suyuqlik harakatini tahlil qilish imkonini beradi.
: Fizikadagi bernuli qonuni shunday:
: '''Gorizontal oqayotgan suyuqlikning tezroq oqayotgan nuqtalarida bosim sekinroq oqayotgan nuqtalarga nisbatan kichik boʻladi.'''

== Adabiyotlar ==

* ''LEKIN.'' ''F.'' ''Filippov'' . Differensial tenglamalar boʻyicha masalalar toʻplami, — Har qanday nashr.
* ''DA.'' ''DA.'' ''Stepanov'' . Differensial tenglamalar kursi, — Har qanday nashr.
* ''Zelikin M. I.'' Bir jinsli boʻshliqlar va oʻzgarishlarni hisoblashda Riccati tenglamasi, — Faktorial, Moskva, 1998 yil.

== Manbalar ==
{{Manbalar}}

 {{Turkumsiz|date=Aprel 2024}}