Ziyosfera

D'Alembert prinsipi

Traité de Dynamique, Jan Le Rond d’Alember, 1743 yil. Unda fransuz olimi „D’Alember prinsipi“ deb ham ataladigan harakat miqdori tamoyilini bayon qilgan.
Jan d’Alember (1717-1783)

Lagranj-d’Alember printsipi sifatida ham tanilgan D’Alember printsipi harakatning asosiy klassik qonunlarining bayonidir. U oʻzining kashfiyotchisi, fransuz fizigi va matematigi Jan le Rond d’Alember sharafiga nomlangan. D’Alembert printsipi inertsiya kuchlarini kiritish orqali statik tizimdan dinamik tizimga virtual ish printsipini umumlashtiradi, bu tizimda qoʻllaniladigan kuchlarga qoʻshilsa, dinamik muvozanatga olib keladi[1][2].

Bu tamoyil toymasin ishqalanish kabi qaytarilmas siljishlar uchun qoʻllanilmaydi va qaytarilmaslikning umumiy tavsifi talab qilinadi[3] [4]. D’Alember printsipi Gamilton printsipiga qaraganda umumiyroqdir, chunki u faqat koordinatalar va vaqtga bogʻliq boʻlgan golonomik cheklovlar bilan cheklanmaydi, lekin tezliklarga bogʻliq emas[5].

Prinsip bayoni

Bu printsipga koʻra, massiv zarralar tizimiga taʼsir qiluvchi kuchlar va tizimning oʻzi momentining vaqt hosilalari oʻrtasidagi farqlar yigʻindisi tizim cheklovlariga mos keladigan har qanday virtual joy almashishga nolga teng.  Shunday qilib, matematik yozuvda d’Alember printsipi quyidagicha yoziladi:

∑i(Fi−miv˙i−m˙ivi)⋅δri=0,{\displaystyle \sum_i ( \mathbf F_i - m_i \dot\mathbf{v}_i - \dot{m}_i\mathbf{v}_i)\cdot \delta \mathbf r_i = 0,}

bu yerda:

  • i{\displaystyle i} tizimdagi maʼlum bir zarrachaga mos keladigan oʻzgaruvchini (pastki belgisi orqali) koʻrsatish uchun ishlatiladigan butun son,
  • Fi{\displaystyle \mathbf {F}_i} ga qoʻllaniladigan umumiy kuch (cheklash kuchlari bundan mustasno). i{\displaystyle i} — zarracha,
  • mi{\displaystyle m_i} ning massasi hisoblanadi i{\displaystyle i} — zarracha,
  • vi{\displaystyle \mathbf v_i} ning tezligi hisoblanadi i{\displaystyle i} — zarracha,
  • δri{\displaystyle \delta \mathbf r_i} ning virtual siljishi hisoblanadi i{\displaystyle i} -cheklovlarga mos keladigan zarracha.

Nyutonning nuqta belgisi hosilani vaqtga nisbatan ifodalash uchun ishlatiladi. Yuqoridagi tenglama koʻpincha d’Alembert printsipi deb ataladi, lekin u birinchi marta bu variatsion shaklda Jozef Lui Lagrange tomonidan yozilgan[6]. D’Alemberning hissasi dinamik tizimning umumiyligida cheklash kuchlari yoʻq boʻlib ketishini koʻrsatish edi. Yaʼni umumlashgan kuchlar Qj{\displaystyle \mathbf Q_j} cheklash kuchlarini kiritish shart emas. Bu biroz ogʻirroq Gaussning eng kam cheklash printsipiga teng.

Hosil boʻlganlar

Oʻzgaruvchan massali umumiy holat

D’Alember printsipining umumiy bayonotida "tizim momentining vaqt hosilalari " zikr qilinadi. Nyutonning ikkinchi qonuniga koʻra, impulsning birinchi marta hosilasi kuchdir. ning impulsi i{\displaystyle i} -nchi massa uning massasi va tezligining mahsulotidir:

pi=mivi{\displaystyle \mathbf p_i = m_i \mathbf v_i}

va uning vaqt boʻyicha hosilasi

p˙i=m˙ivi+miv˙i.{\displaystyle \dot{\mathbf{p}}_i = \dot{m}_i \mathbf{v}_i + m_i \dot{\mathbf{v}}_i.}

Koʻpgina ilovalarda massalar doimiy boʻlib, bu tenglama quyidagiga kamayadi

p˙i=miv˙i=miai.{\displaystyle \dot{\mathbf{p}}_i = m_i \dot{\mathbf{v}}_i = m_i \mathbf{a}_i.}

Biroq, baʼzi ilovalar massalarni oʻzgartirishni (masalan, zanjirlarni yigʻish yoki ochish) va bu holda ikkala shartni ham oʻz ichiga oladi. m˙ivi{\displaystyle \dot{m}_i \mathbf{v}_i} va miv˙i{\displaystyle m_i \dot{\mathbf{v}}_i} berish, hozir boʻlish kerak

∑i(Fi−miai−m˙ivi)⋅δri=0.{\displaystyle \sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i - \dot{m}_i \mathbf{v}_i)\cdot \delta \mathbf r_i = 0.}

Doimiy massali maxsus holat

Doimiy massali zarralar tizimi uchun Nyuton qonunini koʻrib chiqing, i{\displaystyle i} . Har bir zarrachaga umumiy kuch:

Fi(T)=miai,{\displaystyle \mathbf {F}_{i}^{(T)} = m_i \mathbf {a}_i,}

bu yerda

  • Fi(T){\displaystyle \mathbf {F}_{i}^{(T)}} sistema zarralariga taʼsir qiluvchi jami kuchlar,
  • miai{\displaystyle m_i \mathbf {a}_i} jami kuchlardan kelib chiqadigan inersiya kuchlaridir.

Inertial kuchlarni chapga siljitish kvazstatik muvozanatni ifodalash mumkin boʻlgan ifodani beradi, ammo bu Nyuton qonunining kichik algebraik manipulyatsiyasi:

Fi(T)−miai=0.{\displaystyle \mathbf {F}_{i}^{(T)} - m_i \mathbf {a}_i = \mathbf 0.}

Virtual ishni hisobga olsak, δW{\displaystyle \delta W}, umumiy va inertsial kuchlar birgalikda ixtiyoriy virtual siljish orqali amalga oshiriladi, δri{\displaystyle \delta \mathbf r_i}, tizimning nol oʻziga xosligiga olib keladi, chunki har bir zarracha uchun jalb qilingan kuchlar nolga teng.

δW=∑iFi(T)⋅δri−∑imiai⋅δri=0{\displaystyle \delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i} m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0}

Asl vektor tenglamasini ish ifodasi ixtiyoriy siljishlar uchun bajarilishi kerakligini tan olish orqali tiklash mumkin. Umumiy kuchlarni qoʻllaniladigan kuchlarga ajratish, Fi{\displaystyle \mathbf F_i} va cheklovchi kuchlar, Ci{\displaystyle \mathbf C_i}, hosilasi:

δW=∑iFi⋅δri+∑iCi⋅δri−∑imiai⋅δri=0.{\displaystyle \delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i - \sum_{i} m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf r_i = 0.}

Agar oʻzboshimchalik bilan virtual siljishlar cheklash kuchlariga ortogonal boʻlgan yoʻnalishlarda boʻlsa (bu odatda bunday emas, shuning uchun bu hosila faqat maxsus holatlar uchun ishlaydi), cheklash kuchlari hech qanday ish qilmaydi, ∑iCi⋅δri=0{\displaystyle \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i = 0} . Bunday siljishlar cheklovlarga mos kelishi aytiladi. Bu dinamik tizim uchun qoʻllaniladigan kuchlar va inertial kuchlar farqi virtual ish qilmasligini bildiruvchi d’Alember printsipining shakllanishiga olib keladi:

δW=∑i(Fi−miai)⋅δri=0.{\displaystyle \delta W = \sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0.}

Bundan tashqari, qoʻllaniladigan kuchlar uchun virtual ish printsipi deb ataladigan statik tizimlar uchun mos keladigan printsip mavjud.

Dalamberning inersiya kuchlari printsipi

D’Alember tezlanayotgan qattiq jismni " inertsial kuch " va " inertsial moment " yoki moment deb atalmishlarni qoʻshish orqali ekvivalent statik tizimga aylantirish mumkinligini koʻrsatdi. Inertial kuch massa markazi orqali harakat qilishi kerak va inertial moment har qanday joyda harakat qilishi mumkin. Keyin tizimni aynan shu „inersiya kuchi va momenti“ va tashqi kuchlar taʼsirida boʻlgan statik tizim sifatida tahlil qilish mumkin. Afzalligi shundaki, ekvivalent statik tizimda har qanday nuqta (nafaqat massa markazi) haqida lahzalarni olish mumkin. Bu koʻpincha oddiyroq hisob-kitoblarga olib keladi, chunki har qanday kuch (navbatda) moment tenglamasini qoʻllash uchun tegishli nuqtani tanlash orqali (momentlar yigʻindisi = nol) moment tenglamalaridan chiqarib tashlanishi mumkin. Mashinalarning dinamikasi va kinematikasi asoslari kursida ham bu tamoyil mexanizm harakatlanayotganda uning zvenosiga taʼsir etuvchi kuchlarni tahlil qilishda yordam beradi. Muhandislik dinamikasi darsliklarida bu baʼzan d’Alembert printsipi deb ataladi.

Dinamik muvozanat

D’Alemberning virtual ish printsipi shakli shuni koʻrsatadiki, qattiq jismlar tizimi qoʻllaniladigan kuchlar va inertial kuchlar yigʻindisining virtual ishi tizimning har qanday virtual joyidan siljishi uchun nolga teng boʻlsa, dinamik muvozanatda boʻladi. Shunday qilib, tizimning dinamik muvozanati n{\displaystyle n} bilan qattiq jismlar m{\displaystyle m} umumlashtirilgan koordinatalarni talab qiladi

δW=(Q1+Q1*)δq1+…+(Qm+Qm*)δqm=0,{\displaystyle \delta W = \left(Q_1 + Q_1^*\right) \delta q_1 + \dots + \left(Q_m + Q_m^*\right) \delta q_m = 0,}

har qanday virtual siljishlar toʻplami uchun δqj{\displaystyle \delta q_j} bilan Qj{\displaystyle Q_j} umumlashtirilgan qoʻllaniladigan kuch boʻlish va Qj*{\displaystyle Q^*_j} umumlashgan inersiya kuchidir. Bu holat natija beradi m{\displaystyle m} tenglamalar,

Qj+Qj*=0,j=1,…,m,{\displaystyle Q_j + Q^*_j = 0, \quad j=1, \ldots, m,}

quyidagicha deb ham yozilishi mumkin:

ddt∂T∂q˙j−∂T∂qj=Qj,j=1,…,m.{\displaystyle \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} -\frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \quad j=1,\ldots,m.}

Natijada qattiq jism tizimining dinamikasini aniqlaydigan m harakat tenglamalari toʻplami.

Lagrangian yordamida shakllantirish

d’Alembert printsipi Gamilton printsipining umumlashtirilgan versiyasi sifatida tizimning Lagrangian L = TV nuqtai nazaridan quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

δ∫t1t2L(r,r˙,t)dt+∑i∫t1t2Fi⋅δridt=0,{\displaystyle \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},t) dt + \sum_i\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf r_i dt= 0,}

bu yerda:

  • r=(r1,...,rN){\displaystyle \mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,..., \mathbf{r} _N)}
  • Fi{\displaystyle \mathbf{F}_i} qoʻllaniladigan kuchlardir
  • δri{\displaystyle \delta \mathbf{r}_i} ning virtual siljishi hisoblanadi i{\displaystyle i} -cheklovlarga mos keladigan zarracha ∑iCi⋅δri=0{\displaystyle \sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i=0}
  • kritik egri chiziq cheklovlarni qondiradi ∑iCi⋅r˙i=0{\displaystyle \sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i=0}

Lagrangian bilan

L(r,r˙,t)=∑i12mir˙i2,{\displaystyle L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},t) = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot { \mathbf{r} }_i^2,}

d’Alembert printsipining oldingi bayonoti tiklanadi.

Umumlashtirish

Termodinamika

Termodinamikada d’Alember printsipining kengaytmasidan foydalanish mumkin. Masalan, bitta S entropiyaga bogʻliq va doimiy massaga ega boʻlgan Lagranj tomonidan tasvirlangan adiabatik yopiq termodinamik tizim uchun mi{\displaystyle m_i} kabi

L(r,r˙,S,t)=∑i12mir˙i2−V(r,S),{\displaystyle L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},S,t) = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot { \mathbf{r} }_i^2 - V(\mathbf{r},S),}

quyidagicha yoziladi:

δ∫t1t2L(r,r˙,S,t)dt+∑i∫t1t2Fi⋅δridt=0,{\displaystyle \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}},S,t) dt + \sum_i\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf r_i dt= 0,}

oldingi cheklovlar qaerda ∑iCi⋅δri=0{\displaystyle \sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i=0} va ∑iCi⋅r˙i=0{\displaystyle \sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i=0} entropiyani oʻz ichiga olishi uchun umumlashtiriladi:

  • ∑iCi⋅δri+TδS=0{\displaystyle \sum_i\mathbf{C}_i \cdot \delta \mathbf{r} _i+T \delta S=0}
  • ∑iCi⋅r˙i+TS˙=0.{\displaystyle \sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i+T \dot S=0.}

Bu yerga T=∂V/∂S{\displaystyle T=\partial V/\partial S} tizimning harorati, Fi{\displaystyle \mathbf{F}_i} tashqi kuchlar, Ci{\displaystyle \mathbf{C}_i} ichki dissipativ kuchlardir. Mexanik va termal muvozanat tenglamalarini keltirib chiqaradi:

miai=−∂V∂ri+Ci+Fi,i=1,...,NTS˙=−∑iCi⋅r˙i.{\displaystyle m_i\mathbf{a}_i=- \frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_i}+ \mathbf{C}_i+\mathbf{F}_i, \;\;i=1,...,N \qquad \qquad T \dot S = -\sum_i\mathbf{C}_i \cdot \dot \mathbf{r} _i.}

Printsipning odatiy qoʻllanishi termo-mexanik tizimlar, membrana tashish va kimyoviy reaktsiyalarni oʻz ichiga oladi.

δS=S˙=0{\displaystyle \delta S=\dot S=0} boʻlgani uchun klassik d’Alember printsipi va tenglamalari tiklanadi.

Manbalar

  1. ↑ Lanczos, Cornelius. Variational principles of mechanics. Toronto, University of Toronto Press, 1964 — 92-bet. 
  2. ↑ d'Alembert, Jean le Rond. Traité de dynamique, 1743 — 50–51-bet. 
  3. ↑ Udwadia, F. E.; Kalaba, R. E. (2002). "On the Foundations of Analytical Dynamics". Intl. Journ. Nonlinear Mechanics 37 (6): 1079–1090. doi:10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Archived from the original on 2010-06-13. https://web.archive.org/web/20100613031338/http://ae-www.usc.edu/bio/udwadia/papers/On_foundation_of_analytical_dynamics.pdf. 
  4. ↑ Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2018). "From Lagrangian Mechanics to Nonequilibrium Thermodynamics: A Variational Perspective" (en). Entropy 21 (1): 8. doi:10.3390/e21010008. ISSN 1099-4300. PMID 33266724. PMC 7514189. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=7514189. 
  5. ↑ Lanczos, Cornelius. The Variational Principles of Mechanics, 4th, New York: Dover Publications Inc., 1970 — 92-bet. ISBN 978-0-486-65067-8. 
  6. ↑ Arnold Sommerfeld (1956), Mechanics: Lectures on Theoretical Physics, Vol 1, p. 53 
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/D'Alembert_prinsipi" dan olindi