Elementar funksiyalar

Элементар функсиялар — кўпҳадлар, рационал, кўрсаткичли, даражали, логарифмик, тригонометрик, тескари тригонометрик функсиялар, шунингдек, бу функсиялардан тўрт арифметик амал ва чекли марта қўлланган суперпозициялар ёрдамида ҳосил қилинадиган функсияларни ўз ичига олган функсиялар синфи.

Элементар функсиялар синфи яхши ўрганилган ва у амалий математикада кўп қўлланади. Элементар функсиялар нинг ҳосиласи ҳамиша Элементар функсиялар бўлади, лекин Элементар функсиялардан олинган интеграл Элементар функсиялар бўлмаслиги ҳам мумкин.

Бутун рационал функсиялар

Ушбу$${\дисплайстйле й=а_0+а_1х+а_2{х}^2+...а_{н-1}х^{н-1}+а_нх^н}$$кўринишдаги функсия бутун рационал функсия дейилади. Бунда ${\дисплайстйле а_0, а_1,...,а_н}$ - ўзгармас сонлар, ${\дисплайстйле н\ин Н}$. Бу функсия ${\дисплайстйле Р=(-\инфтй, +\инфтй)}$ да аниқланган. Бутун рационал функсиянинг баʻзи хусусий ҳоллари:

Чизиқли функсия

Бу функсия ${\дисплайстйле й=ах+б}$ ${\дисплайстйле (а\неқ0)}$ кўринишга эга, бунда а, б, c - ўзгармас сонлар.

Чизиқли функсия ${\дисплайстйле (-\инфтй, +\инфтй)}$ да аиқланган ${\дисплайстйле а>0}$ бўлганда ўсувчи, ${\дисплайстйле а<0}$ бўлганда камаювчи: графиги текисликдаги тўғри чизиқдан иборат.

Квадрат функсия

Параболанинг текисликда жойлашиши ${\дисплайстйле а}$ ҳамда ${\дисплайстйле Д=б^2-4аc}$ ларнинг ишорасига боғлиқ бўлади. Масалан, ${\дисплайстйле а>0}$, ${\дисплайстйле Д>0}$ ва ${\дисплайстйле а<0}$, ${\дисплайстйле Д<0}$ бўлганда унинг графиги шундай бўлади.

Бу функсия ${\дисплайстйле й=ах^2+бх+c}$ ${\дисплайстйле (а\неқ0)}$ кўринишга эга, бунда а, б, c - ўзгармас сонлар.

Квадрат функция Р да аниқланган боълиб, унинг графиги параболани ифодалайди.

Равшанки ${\дисплайстйле й=ах^2+бх+c=а\Бигл(х+\фраc{б}{2а}\Бигр)-\фраc{б^2-4аc}{4а}}$

Каср рационал функсиялар

Ушбу ${\дисплайстйле й=\фраc{а_0+а_1х+а_2х^2+...+а_нх^н}{б_0+б_1х+б_2х^2+...+б_мх^м}}$ кўринишдаги функсия каср рационал функсия дейилади. Бунда ${\дисплайстйле а_0, а_1,...,а_н}$ ва ${\дисплайстйле б_0, б_1,...,б_м}$ лар ўзгармас сонлар ${\дисплайстйле н\ин Н}$, ${\дисплайстйле м\ин Н}$. Бу функсия ${\дисплайстйле Х=(-\инфтй, +\инфтй) \ \{х\мид б_0+б_1х+...+б_мх^м=0}$ тўпламда аниқланган.

Каср рационал функсиянинг баʻзи хусусий ҳоллари:

Тескари пропорсионал боғланиш

Бу функсия ${\дисплайстйле Х=(-\инфтй,0)\бигcуп(0,+\инфтй)=Р\баcкслаш\{0\}}$ тўпламда аниқланган, тоқ функсия, ${\дисплайстйле а}$ нинг ишорасига қараб функсия ${\дисплайстйле (-\инфтй,0)}$ ва ${\дисплайстйле (0,+\инфтй)}$ оралиқларнинг ҳар бир камаювчи ёки ўсувчи бўлади.

У ${\дисплайстйле й=\фраc{а}{х}}$ (${\дисплайстйле х\неқ0}$ ${\дисплайстйле а=cонст}$) кўринишга эга.

Каср чизиқли функсия

У ушбу ${\дисплайстйле й=\фраc{ах+б}{cх+д}}$ кўринишга эга. Бу функсия ${\дисплайстйле Х=Р\баcкслаш\{-\фраc{д}{c}\}}$ ${\дисплайстйле (c\неқ0)}$ тўпламда аниқланган:

Равшанки, ${\дисплайстйле й=\фраc{ах+б}{cх+д}=\фраc{бc-ад}{c^2}*\фраc{1}{х+\фраc{д}{c}}+\фраc{а}{c}}$. Демак, ${\дисплайстйле й=\фраc{а}{х+\бета}+\гамма}$, ${\дисплайстйле \Бигр(а=\фраc{бc-ад}{c^2}, \бета=\фраc{д}{c}, \гамма=\фраc{а}{c}\Бигр)}$. Унинг графигини ${\дисплайстйле й=\фраc{а}{х}}$ функсия графиги ёрдамида чизиш мумкин.

Даражали функсия

Ушбу ${\дисплайстйле й=х^а}$, ${\дисплайстйле (х\геқ0)}$ кўринишдаги функсия даражали функсия дейилади.

Бу функсиянинг аниқланиш тўплами ${\дисплайстйле а}$ га боғлиқ. Даражали функсия ${\дисплайстйле а>0}$, бўлганда ${\дисплайстйле (0, +\инфтй)}$ да ўсувчи, ${\дисплайстйле а<0}$ бўлганда камаювчи бўлади. ${\дисплайстйле й=х^а}$ функсия графиги текисликнинг (0,0) ва (1,1) нуқталардан ўтади.

Кўрсаткичли функсия

Ушбу ${\дисплайстйле й=а^х}$ кўринишдаги функсия кўрсаткичли функсия дейилади. Бунда ${\дисплайстйле а\ин Р}$, ${\дисплайстйле а>0}$, ${\дисплайстйле а\неқ1}$. Кўрсаткичли функсия ${\дисплайстйле (-\инфтй, +\инфтй)}$ аниқланган, ${\дисплайстйле \форалл х\ин Р}$ да ${\дисплайстйле а^х>0}$; ${\дисплайстйле а>0}$ бўлганда ўсувчи; ${\дисплайстйле 0<а<1}$ бўлганда камаювчи бўлади.

Хусусан, ${\дисплайстйле а=э}$ бўлса, математикада муҳим рўл ўйнайдиган ${\дисплайстйле й=э^х}$ функсия ҳосил бовлади.

Кўрсаткичли функсиянинг графиги ${\дисплайстйле Ох}$ ўқидан юқоридан жойлашган ва текисликнинг (0,1) нуқтасидан ўтади.

Логарифимик функсия

Ушбу ${\дисплайстйле й=\лог_йх}$ кўринишдаги функсия логарифмик функсия дейилади. Бунда ${\дисплайстйле а>0}$, ${\дисплайстйле а\неқ1}$.

Логарифимлик функсия ${\дисплайстйле (0, +\инфтй)}$ да аниқланган, ${\дисплайстйле й=а^х}$ функсияга нисбатан тескари; ${\дисплайстйле а>1}$ бўлганда ўсувчи, ${\дисплайстйле 0<а<1}$ бўлганда камаювчи бўлад.

Логарифмик функсиянинг графиги ${\дисплайстйле Ой}$ ўқининг ўнг томонида жойлашган ва текисликнинг (0,1) нуқтасидан ўтади.

Тригонометрик функсиялар

Ушбу ${\дисплайстйле й=\син х}$, ${\дисплайстйле й=\cос х}$, ${\дисплайстйле й=тгх}$, ${\дисплайстйле й=cтгх}$, ${\дисплайстйле й=сеcх}$, ${\дисплайстйле й=cосеcх}$ функсиялар тригонометрик функсиялар дейилади.

${\дисплайстйле й=\син х}$, ${\дисплайстйле й=\cос х}$ функсиялар ${\дисплайстйле Р=(-\инфтй, +\инфтй)}$ да аниқланган, ${\дисплайстйле 2\пи}$ даврли функсиялар ${\дисплайстйле \форалл х\ин Р}$ да ${\дисплайстйле -1\леқ синх\леқ 1}$, ${\дисплайстйле -1\леқ cосх\леқ 1}$ бўлади. Ушбу ${\дисплайстйле й=тгх}$ функсия ${\дисплайстйле Х=Р\баcкслаш\{х\ин Р |х=(2к+1)\фраc{\пи}{2}; к=0, \пм1,\пм2,...\}}$ тўпламда аниқланган ${\дисплайстйле \пи}$ даврли функсия ${\дисплайстйле cтгх}$, ${\дисплайстйле сеcх}$, ${\дисплайстйле cосеcх}$ функсиялар ${\дисплайстйле синх}$, ${\дисплайстйле cосх}$, ${\дисплайстйле тгх}$ лар орқали қуйидагича ифодалайди: ${\дисплайстйле cтгх=\фраc{1}{тгх}, сеcх=\фраc{1}{cосх}, cосеcх=\фраc{1}{синх}}$.

Гиперболик функсиялар

Кўрсаткичли ${\дисплайстйле й=э^х}$ функсия ёрдамида тузилган ушбу ${\дисплайстйле \фраc{э^х-э^{-х}}{2}, \фраc{э^х+э^{-х}}{2}, \фраc{э^х-э^{-х}}{{э^х+э^{-х}}}, \фраc{э^х+э^{-х}}{{э^х-э^{-х}}}}$ функсиялар гиперболик (мос равишда гиперболик синус, гиперболик косинус, гиперболик тангенс, гиперболик катангенс) функсиялар дейилади ва улар қуйидагича ${\дисплайстйле шх=\фраc{э^х-э^{-х}}{2}, чх=\фраc{э^х+э^{-х}}{2}, тҳх=\фраc{э^х-э^{-х}}{{э^х+э^{-х}}}, cтҳх=\фраc{э^х+э^{-х}}{{э^х-э^{-х}}}}$ белгиланади.

Тескари тригонометрик функсиялар

Маʻлумки, ${\дисплайстйле й=синх}$ функсия Р да аниқланган ва унинг қийматлари тўплами ${\дисплайстйле Й_ф= [-1,1]}$ бўлади.

Агар ${\дисплайстйле х\ин \лефт (- \фраc{\пи}{2} \ригҳт ) \лефт ( \фраc{\пи}{2} \ригҳт )}$ бўлса, у ҳолда ${\дисплайстйле Х= \лефт (- \фраc{\пи}{2} \ригҳт ) \лефт ( \фраc{\пи}{2} \ригҳт )}$ ва ${\дисплайстйле Й_ф= [-1,1]}$ тўламларининг элементлари ўзаро бир қийматли мосликда бўлади.

${\дисплайстйле й=синх}$ функсияга нисбатан тескари функсия ${\дисплайстйле й=арcсинх}$ каби белгиланади

Шунга ўхшаш ${\дисплайстйле й=cосх, й=тгх, й=cтгх}$ функсияларга нисбатан тескари функсия мос равишда ${\дисплайстйле й=арccосх, й=арcтгх, й=арccтгх}$, каби белгиланади.

Ушбу ${\дисплайстйле й=арcсинх, й=арccосх, й=арcтгх, й=арccтгх}$ функсиялар тескари тригонометрик дейилади.