Hajm

Ҳажм — геометрик жисм сиртлари билан чегараланган фазо қисми. Оддий ҳолатларда қирраси бирга тенг кублар сонига тенг кўрилади.

Ҳажм (математикада) — геометрик жисмларнинг сонли характеристикаларидан бири. У чекли сондаги бирлик кубларга ажратиш мумкин бўлган жисмлар учун шу кубларнинг сонига тенг . Қадимда призма шаклли тўсинлар, силиндр, тўлиқ ҳамда кесик пирамида ва бошқаларнинг ҳажмларини ҳисоблашни билишган. Архимед ихтиёрий юза ва ҳажмни аниқлаш мумкин бўлган умумий усулни топган. Архимед ғоялари интеграл ^сксобнинг асосини ташкил этган. У ўзининг усуллари ёрдамида кўҳна математикада ўрганилган деярли ҳамма жисмларнинг юзалари ва ҳажмларини аниқлаган. Жисм ҳажмига математик жиҳатдан таъриф бериш ва уни ҳисоблаш формуласининг яратиш масаласи ясси фигура юзига доир муҳокамалардан фарқ қилади; ҳар қандай (ясси) фигурани тўғри чизиқлар кесиб, уни квадратчаларга ажратиш мумкин, аммо ихтиёрий кўп ёқликда бу усул билан куб ҳосил қилиш мумкин эмас. Евклид уч ёқли пирамида ҳажмига таъриф бериш ва уни ҳисоблаш учун пирамидага чексиз ички призмалар чизиш усулини қўллаган. Уч ўлчамли жисмлар ҳажми қуйидаги хоссаларга эга: 1) номанфий; 2) аддитив, яъни умумий нуқтага эга бўлмаган Р ва £> жисмлар учун \® ва У(£>) ҳажмлар аниқланган бўлса, бу жисмлар бирлашмасининг ҳажми, ҳажмлар йиғиндисига тенг:\(Р^0) = \® + \(0); 3) ҳаракатга нисбатан инвариант: Р ва £> жисмлар учун ҳажмлар аниқланган бўлиб, улар конгруэнт бўлса, У®=\(0) бўлади; 4) бирлик кубнинг ҳажми бирга тенг.

Юқоридаги хоссалардан ҳажмнинг монотонлиги келиб чиқади: Р ва £> жисмлар учун РсС? бўлса, у ҳолда У®<У(0) муносабат бажарилади. Ўхшаш жисмларнинг ҳажмлари нис-бати ўхшашлик коэффициентининг кубига тенг.

Уч ўлчамли жисмнинг ҳажми тушунчаси ихтиёрий п ўлчамли евклид фазоси К" нинг қисм тўплами учун умумлаштирилади. п ўлчамли ҳажмни ҳисоблаш п каррали интегрални ҳисоблашга келтирилади. Е параллелепипед а,, а2, ау…, апвекторлардан ясалган бўлса, унинг ҳажми \(Е) = Л ёе! || д, а ||| формуладан топилади (бу ерда илдиз остидаги ифода Грам детерминантининг мутлақ қийматига тенг). Ўлчов тушунчаси ҳажм тушунчасининг умумлашмасидир. Баъзи ҳолларда ҳажм ва ўлчов тушунчалари синоним сифатида ишлатилади.

Формулалар

Фигура	Формулалар	Тас	${\дисплайстйле В=а^3\;}$
${\дисплайстйле В=абc}$	[[Файл:Қуадер-1-таб.свг\|150х150пх]	${\дисплайстйле В=Б ҳ}$
Пирамида (математика)	${\дисплайстйле В=\фраc{1}{3} Б ҳ}$
Параллелепипед	${\дисплайстйле В=а б c \сқрт{К}}$ ${\дисплайстйле \бегин{алигн}$
Тетраэдр	${\дисплайстйле В={\сқрт{2}\овер12}а^3 \,}$
Шар	${\дисплайстйле В=\фраc{4}{3} \пи р^3}$
Эллипсоид	${\дисплайстйле В=\фраc{4}{3}\пи абc}$
Силиндр	${\дисплайстйле В=\пи р^2 ҳ}$
Конус	${\дисплайстйле В=\фраc{1}{3}\пи р^2 ҳ}$
Солид оф револутион (энг.)	${\дисплайстйле В= \пи \cдот \инт_ {а}^б ф(х)^2\матҳрм{д}х}$