Leonardo raqami

Леонардо рақамлари такрорланиш орқали берилган рақамлар кетма-кетлиги ҳисобланади:

${\дисплайстйле Л(н) = \бегин{cасес} 1 & \мбох{учун } н = 0 \\ 1 & \мбох{учун } н = 1 \\ Л(н - 1) + Л(н - 2) + 1 & \мбох{учун } н > 1 \\ \энд{cасес}}$

Эдсгер W. Дижкстра уларни силлиқ тартиблаш алгоритмининг ажралмас қисми сифатида ишлатган ва шунингдек, уларни батафсил таҳлил қилганлар.

Леонардо туби Леонардо сони бўлиб, у ҳам туб сон ҳисобланади.

Қийматлари

Биринчи бир нечта Леонардо рақамлари қуйидагилар:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167,…

Леонардонинг биринчи бир неча асосий сонлари:

3, 5, 41, 67, 109, 1973, 5167, 2692537, 11405773, 126491971, 331160281, 535828591, 279167724889, 145446920496281, 28944668049352441, 5760134388741632239, 63880869269980199809, 167242286979696845953, 597222253637954133837103, …

Модул сикллари

Леонардо рақамлари ҳар қандай модулда н≥2 сикл ҳосил қилади. Уни кўришнинг осон йўли қуйидагилар:

• Агар жуфтлик модули н кетма-кетликда икки марта пайдо бўлса, унда сикл мавжуд.
• Агар олдинги баёнотдан фойдаланиб, асосий баёнотни нотўғри деб ҳисобласак, бу 0 ва н-1 ўртасида чексиз аниқ жуфт рақамлар мавжудлигини билдиради, чунки бу нотўғри, чунки н² жуфтлик мавжуд бўлади.

н≤8 учун сикллар:

Модул	Давр	Узунлик
2	1	1
3	1,1,0,2,0,0,1,2	8
4	1,1,3	3
5	1,1,3,0,4,0,0,1,2,4,2,2,0,3,4,3,3,2,1,4	20
6	1,1,3,5,3,3,1,5	8
7	1,1,3,5,2,1,4,6,4,4,2,0,3,4,1,6	16
8	1,1,3,5,1,7	6

Давр ҳар доим (1,н-1) жуфтликда тугайди, чунки бу жуфтликдан (1,1) олдин келиши мумкин бўлган ягона жуфтлик бўлади.

Ифодалар

• Қуйидаги тенглама қўлланади:

${\дисплайстйле Л(н)=2Л(н-1)-Л(н-3)}$ Исбот${\дисплайстйле Л(н)=Л(н-1)+Л(н-2)+1= Л(н-1)+Л(н-2)+1+Л(н-3)-Л(н-3)= 2Л(н-1)-Л(н-3)}$

Фибоначчи рақамларига муносабат

Леонардо рақамлари Фибоначчи рақамлари билан қуйидаги муносабатларга боғлиқ ${\дисплайстйле Л(н) = 2 Ф(н+1) - 1, н \ге 0}$ .

Бу муносабатдан Леонардо рақамлари учун Бинетнинг Фибоначчи рақамлари формуласига ўхшаш ёпиқ шаклдаги ифодани олиш жуда осон:

${\дисплайстйле Л(н) = 2 \фраc{\варпҳи^{н+1} - \пси^{н+1}}{\варпҳи - \пси}- 1 = \фраc{2}{\сқрт 5} \лефт(\варпҳи^{н+1} - \пси^{н+1}\ригҳт) - 1 = 2Ф(н+1) - 1}$

бу ерда олтин нисбат ${\дисплайстйле \варпҳи = \лефт(1 + \сқрт 5\ригҳт)/2}$ ва ${\дисплайстйле \пси = \лефт(1 - \сқрт 5\ригҳт)/2}$ квадрат полиномнинг илдизлари ${\дисплайстйле х^2 - х - 1 = 0}$ шунга тенг .

Манбалар

Ҳаволалар

• ОЭИС сеқуэнcе А001595