Miller indekslari

Кубик кристалларда турли Миллер индекслари бўлган самолётлар

Йўналишларга мисоллар

Миллер индекслари кристалл (Браве) панжараларидаги панжара текисликлари учун кристаллографияда ёзув тизимини ташкил қилади.

Хусусан, берилган (тўғридан-тўғри) Браве панжарасининг панжара текисликлари оиласи ҳ, к ва учта бутун сонлар билан аниқланади.{ ℓ, Миллер индекслари . Улар ёзилади (ҳкℓ) ва (параллел) панжара текисликлари туркумини (берилган Браве панжарасининг) ортогоналини билдиради. ${\дисплайстйле \матҳбф{г}_{ҳк\элл} = ҳ\матҳбф{б_1} + к\матҳбф{б_2} + \элл\матҳбф{б_3}}$, қаерда ${\дисплайстйле \матҳбф{б_и}}$ берилган Браве панжараси учун ўзаро панжаранинг асоси ёки ибтидоий таржима векторлари . (Эътибор беринг, текислик ҳар доим ҳам тўғридан-тўғри ёки асл панжара векторларининг чизиқли бирикмасига ортогонал эмас. ${\дисплайстйле ҳ\матҳбф{а_1} + к\матҳбф{а_2} + \элл\матҳбф{а_3}}$ чунки тўғридан-тўғри панжара векторлари ўзаро ортогонал бўлиши шарт эмас.) Бу ўзаро панжара вектори эканлигига асосланади ${\дисплайстйле \матҳбф{г}}$ (ўзаро панжаранинг келиб чиқишидан ўзаро панжара нуқтасини кўрсатувчи вектор) фазовий функсиянинг Фуре қаторидаги текис тўлқиннинг тўлқин вектори (масалан, электрон зичлик функсияси), даврийлиги асл Браве панжарасидан кейин, яъни текислик тўлқинининг тўлқин жабҳалари асл панжаранинг параллел панжара текисликлари билан мос келади. Рентген кристаллографиясида ўлчанган сочилиш вектори бўлгани учун, ${\дисплайстйле \матҳбф{\Делта к}= \матҳбф{к}_{\матҳрм{оут}} - \матҳбф{к}_{\матҳрм{ин}}}$ билан ${\дисплайстйле \матҳбф{к}_{\матҳрм{оут}}}$ чиқувчи (кристал панжарадан сочилган) рентген тўлқин вектори сифатида ва ${\дисплайстйле \матҳбф{к}_{\матҳрм{ин}}}$ Кирувчи (кристал панжара томон) рентген тўлқин вектори ўзаро панжара векторига тенг. ${\дисплайстйле \матҳбф{г}}$ Лауэ тенгламаларида айтилганидек, ҳар бир ўлчанган сочилиш векторида ўлчанган тарқоқ рентген чўққиси ${\дисплайстйле \матҳбф{\Делта к}}$ Миллер индекслари билан белгиланади. Анъанага кўра, манфий бутун сонлар 3 форда бўлгани каби сатр билан ёзилади }−3. Бутун сонлар одатда энг кичик шартларда ёзилади, яъни уларнинг энг катта умумий бўлувчиси бўлиши керак 1. Миллер индекслари рентген кристаллографиясида акс эттиришни белгилаш учун ҳам ишлатилади. Бундай ҳолда, бутун сонлар энг кичик қийматларда бўлиши шарт эмас. Шунда қўшни текисликлардан кўзгуларнинг барчасида атомлар бор-йўқлигидан қатъи назар, бир тўлқин узунлиги (2п) фазалар фарқи бўлади.

Бундан ташқари, бир нечта тегишли белгилар мавжуд:

• {ҳкℓ} ёзуви панжара симметрияси бўйича (ҳкℓ) га эквивалент бўлган барча текисликлар тўпламини билдиради.

Кристал йўналишлари контекстида (текисликлар эмас) тегишли белгилар:

• [ҳкℓ], думалоқ қавслар ўрнига квадрат, ўзаро панжара ўрнига тўғридан-тўғри панжара векторлари асосидаги йўналишни билдиради; ва
• худди шундай, <ҳкℓ> белгиси симметрия бўйича [ҳкℓ] га эквивалент бўлган барча йўналишлар тўпламини билдиради.

Эслатма, Лауэ-Брагг шовқинлари учун

• ҳкл кўзгуни белгилашда қавсга эга эмас

Миллер индекслари 1839 йилда инглиз минералоги Уилям Хеллоуз Миллер томонидан киритилган, гарчи деярли бир хил тизим (Вайс параметрлари) 1817 йилдан бери немис минералоги Кристиан Самуэл Вайсс томонидан аллақачон қўлланган

Таъриф

Ўқлар билан кесишмалар ёрдамида текислик учун индексларни аниқлаш мисоллари; чап (111), ўнг (221)

Миллер индексларининг маъносини аниқлашнинг иккита эквивалент усули мавжудб бўлиб булар : ўзаро панжарадаги нуқта орқали ёки панжара векторлари бўйлаб тескари кесишган ҳолда. Иккала ҳолатда ҳам, бирлик катакчасини белгиловчи учта панжара векторини танлаш керак: а₁, а₂ ва а₃ (анъанавий бирлик катак Браве панжарасининг ибтидоий катагидан каттароқ бўлиши мумкинлигини эътиборга олинг, қуйида келтирилган мисолларда кўрсатилган).). Буларни ҳисобга олиб, учта ибтидоий ўзаро панжара векторлари ҳам аниқланади (б ₁, б ₂ ва б ₃ билан белгиланади).

Кейин, учта Миллер индекслари берилган ҳ, к, ℓ, (ҳкℓ) ўзаро панжара векторига ортогонал текисликларни билдиради:

${\дисплайстйле \матҳбф{г}_{ҳк\элл} = ҳ \матҳбф{б}_1 + к \матҳбф{б}_2 + \элл \матҳбф{б}_3 .}$

Яъни, (ҳкℓ) оддий ўзаро ибтидоий панжара векторлари асосида текисликлар учун нормални кўрсатади. Координаталар бутун сонлар бўлгани сабабли, бу нормалнинг ўзи ҳар доим ўзаро панжара векторидир. Энг паст шартлар талаби унинг берилган йўналишдаги энг қисқа ўзаро панжара вектори эканлигини билдиради.

Эквивалент (ҳкℓ) уч нуқтани а ₁ / ҳ, а ₂ / к ва ₃ / ℓ ёки уларнинг бир нечта кўпайтмаларини кесиб ўтадиган текисликни билдиради. Яъни, Миллер индекслари панжара векторлари асосида текислик кесишмаларининг тескари кўрсаткичларига пропорсионалдир. Агар индекслардан бири нолга тенг бўлса, бу текисликлар бу ўқни кесишмаслигини англатади (кесиш „абадийда“).

Бир ёки бир нечта панжара нуқталарини кесиб ўтувчи (ҳкℓ) текисликларни ҳисобга олсак, қўшни панжара текисликлари орасидаги д перпендикуляр масофа қуйидаги формула бўйича текисликларга ортогонал бўлган (энг қисқа) ўзаро панжара векторига боғлиқ: ${\дисплайстйле д = 2\пи / |\матҳбф{г}_{ҳ к \элл}|}$ .

Тегишли белги [ҳкℓ] йўналишни билдиради:

${\дисплайстйле ҳ \матҳбф{а}_1 + к \матҳбф{а}_2 + \элл \матҳбф{а}_3 .}$

Яъни, ўзаро панжара ўрнига тўғридан-тўғри панжара асосини ишлатади. Эсда тутингки, [ҳкℓ] одатда (ҳкℓ) текисликлар учун нормал эмас, қуйида тавсифланган кубик панжарадан ташқари.

Кубик конструксияларнинг ҳолати

Оддий кубик кристалларнинг алоҳида ҳолати учун панжара векторлари ортогонал ва тенг узунликда (одатда а билан белгиланади), ўзаро панжара каби. Шундай қилиб, бу умумий ҳолатда Миллер индекслари (ҳкℓ) ва [ҳкℓ] иккаласи ҳам оддийгина Декарт координаталаридаги нормалларни/йўналишларни билдиради.

Панжара доимийси а бўлган куб кристаллар учун қўшни (ҳкℓ) панжара текисликлари орасидаги д масофа (юқоридан)

${\дисплайстйле д_{ҳк \элл}= \фраc {а} { \сқрт{ҳ^2 + к^2 + \элл ^2} }}$ .

Кубик кристалларнинг симметрияси туфайли бутун сонларнинг ўрни ва белгисини ўзгартириш ва эквивалент йўналиш ва текисликларга эга бўлиш мумкин булар асосан қавсларда ишлаш усули:

• ⟨100⟩ каби бурчак қавсларидаги индекслар симметрия операциялари туфайли эквивалент бўлган йўналишлар туркумини билдиради, масалан, [100], [010], [001] ёки бу йўналишларнинг бирортасининг салбий буларни ишлатиш усулидир.
• Жингалак қавс ёки қавс ичидаги индекслар, масалан, {100} симметрия операциялари бўйича эквивалент бўлган текислик нормалари туркумини билдиради, худди бурчакли қавслар йўналишлар туркумини билдиради бу қавслар ўз кучига эга.

Юзга марказлаштирилган кубик ва танага марказлаштирилган кубик панжаралар учун ибтидоий панжара векторлари ортогонал эмас буни исботлаш керак. Бироқ, бу ҳолатларда Миллер индекслари кубик супер ҳужайранинг панжара векторларига нисбатан шартли равишда аниқланади ва шунинг учун яна оддийгина Декарт йўналишлари бўлади.

Яна қаранг

• Кристал тузилиши
• Кристал одат
• Кикучи линияси
• Зона ўқи

Ҳаволалар

• ИУCр онлайн кристаллография луғати
• Миллер индексининг диаграммалар билан тавсифи
• Панжара текисликлари ва Миллер индекслари ҳақида онлайн қўлланма .
• МТЕХ — Текстура таҳлили учун бепул МАТЛАБ асбоблар тўплами
• ҳттп://соурcефорге.нет/прожеcц/орилиб — Айланиш / йўналишни манипуляция қилиш учун тартиблар тўплами, шу жумладан кристалл йўналишлари учун махсус асбоблар.