Modulning parchalanishi

Мавҳум алгебрада модулнинг парчаланиши модулни модулларнинг бевосита йиғиндиси сифатида ёзиш усулидир. Модулларни аниқлаш ёки тавсифлаш учун кўпинча парчаланиш турларидан қўлланади: масалан, ярим оддий модул оддий модулларга парчаланиши бўлган модулдир. Рингни ҳисобга олган ҳолда, ҳалқа устидаги модулларнинг парчаланиш турларидан узлуклиликни аниқлаш ёки тавсифлаш учун ҳам фойдаланиш мумкин: узук ярим оддий ҳисобланади, агар унинг устидаги ҳар бир модул ярим оддий модул бўлади.

Айрıлабилир модул икки нол бўлмаган субмодулларнинг тўғридан-тўғри йиғиндиси бўлмаган модулдир. Азумая теоремаси шуни кўрсатадики, агар модул маҳаллий эндоморфизм ҳалқалари бўлган модулларга парчаланишга эга бўлса, у ҳолда ажралмайдиган модулларга барча парчаланишлар бир-бирига эквивалент бўлади; Бунинг алоҳида ҳолати, айниқса, гуруҳ назариясида, Крулл-Шмидт теоремаси деб номланади.

Модул парчаланишининг алоҳида ҳолати ҳалқанинг парчаланишидир: масалан, ҳалқа ярим оддий бўлади, агар у бўлиниш ҳалқалари устидаги матрица ҳалқаларининг тўғридан-тўғри йиғиндиси (аслида маҳсулот) бўлади (бу кузатув шундай деб номланади). Артин-Веддерберн теоремаси).

Идемпотентлар ва парчаланишлар

Модулнинг тўғридан-тўғри тўғридан-тўғри йиғиндисини субмодулларга ажратиш модулнинг эндоморфизм ҳалқасида идентификация харитасини тўплайдиган ортогонал идемпотентларни бериш билан бир хилдир. Ҳақиқатан ҳам, агар ${\дисплайстйле М = \бигоплус_{и \ин И} М_и}$, кейин, ҳар бири учун ${\дисплайстйле и \ин И}$, чизиқли эндоморфизм ${\дисплайстйле э_и : М \то М_и \ҳоокригҳтарроw М}$ табиий проексия томонидан берилган, ундан кейин табиий инклюзия идемпотентдир . Улар бир-бирига аниқ ортогоналдир (${\дисплайстйле э_и э_ж = 0}$ учун ${\дисплайстйле и \не ж}$) ва улар идентификация харитасини жамлайди. Булар:

${\дисплайстйле 1_{\операторнаме{М}} = \сум_{и \ин И} э_и}$

эндоморфизмлар сифатида (бу ерда йиғинди яхши аниқланган, чунки у модулнинг ҳар бир элементида чекланган йиғинди). Аксинча, ортогонал идемпотентларнинг ҳар бир тўплами ${\дисплайстйле \{ э_и \}_{и \ин И}}$ Шундай қилиб, фақат чексиз кўп ${\дисплайстйле э_и(х)}$ ҳар бири учун нолга тенг ${\дисплайстйле х \ин М}$ ва ${\дисплайстйле \сум э_и = 1_М}$ олиш орқали тўғридан-тўғри йиғиндининг парчаланишини аниқланади ${\дисплайстйле М_и}$ тасвирлари бўлиш ${\дисплайстйле э_и}$ га тенг.

Бу факт аллақачон ҳалқанинг мумкин бўлган парчаланишига баъзи чекловлар қўяди: ҳалқа берилган ${\дисплайстйле Р}$, декомпозиция бор дейлик

${\дисплайстйле {}_Р Р = \бигоплус_{а \ин А} И_а}$

${\дисплайстйле Р}$ нинг ўзи устидан чап модул сифатида, қаэрда ${\дисплайстйле И_а}$ чап субмодуллар; яъни, чап идеаллар . Ҳар бир эндоморфизм ${\дисплайстйле {}_Р Р \то {}_Р Р}$ Р элементи билан тўғри кўпайтириш билан аниқланиши мумкин; шундай қилиб, ${\дисплайстйле И_а = Р э_а}$ қаерда ${\дисплайстйле э_а}$ нинг идемпотентлари ҳисобланади ${\дисплайстйле \операторнаме{Энд}({}_Р Р) \симеқ Р}$ .Идемпотент эндоморфизмларнинг йиғиндиси Р бирлигининг парчаланишига мос келади: ${\дисплайстйле 1_Р = \сум_{а \ин А} э_а \ин \бигоплус_{а \ин А} И_а}$, бу шартли равишда чекланган йиғинди; айниқса, ${\дисплайстйле А}$ чекли тўплам бўлиши керак.

Масалан, ${\дисплайстйле Р = \операторнаме{М}_н(Д)}$, бўлиниш ҳалқаси устидаги н -учун- н матрицалар ҳалқаси Д. Кейин ${\дисплайстйле {}_Р Р}$ н нусхасининг тўғридан-тўғри йиғиндисидир ${\дисплайстйле Д^н}$, устунлар; ҳар бир устун оддий чап Р -субмодул ёки, бошқача қилиб айтганда, минимал чап идеал.

Р ҳалқа бўлсин. Фараз қилайлик, унинг ўзидан чап модул сифатида парчаланиши (мажбурий равишда чекланган) мавжуд.

${\дисплайстйле {}_Р Р = Р_1 \оплус \cдоц \оплус Р_н}$

икки томонлама идеалларга айланади ${\дисплайстйле Р_и}$ нинг Р . Юқоридаги каби, ${\дисплайстйле Р_и = Р э_и}$ баъзи ортогонал идемпотентлар учун ${\дисплайстйле э_и}$ шу каби ${\дисплайстйле \техцтйле{1 = \сум_1^н э_и}}$ . бери ${\дисплайстйле Р_и}$ идеалдир, ${\дисплайстйле э_и Р \субсет Р_и}$ ва ҳоказо ${\дисплайстйле э_и Р э_ж \субсет Р_и \cап Р_ж = 0}$ учун ${\дисплайстйле и \не ж}$ . Кейин, ҳар бир и учун,

${\дисплайстйле э_и р = \сум_ж э_ж р э_и = \сум_ж э_и р э_ж = р э_и.}$

Яъни, ${\дисплайстйле э_и}$ марказда жойлашган; яъни улар марказий идемпотентлардир .Шубҳасиз, аргумент тескари бўлиши мумкин ва шунинг учун тўғридан-тўғри йиғиндининг идеалларга бўлиниши ва бирлик 1 га тўғри келадиган ортогонал марказий идемпотентлар ўртасида бирма-бир мослик мавжуд. Шунингдек, ҳар бири ${\дисплайстйле Р_и}$ ўзи — ўз-ўзидан ҳалқа томонидан берилган бирлик ${\дисплайстйле э_и}$ ва ҳалқа сифатида Р маҳсулот ҳалқасидир ${\дисплайстйле Р_1 \тимес \cдоц \тимес Р_н.}$

Масалан, яна олинг ${\дисплайстйле Р = \операторнаме{М}_н(Д)}$ . Бу ҳалқа оддий ҳалқадир; хусусан, у икки томонлама идеалларга нотривиал парчаланишга эга эмас.

Парчаланиш турлари

Тўғридан-тўғри йиғиндининг бир неча турлари ўрганилган:

• Ярим содда парчаланиш : оддий модулларнинг тўғридан-тўғри йиғиндиси.
• Ажралмайдиган парчаланиш : парчаланмайдиган модулларнинг тўғридан-тўғри йиғиндиси.
• Маҳаллий эндоморфизм ҳалқалари билан парчаланиш (қаранг. #Азумая теоремаси): эндоморфизм ҳалқалари маҳаллий ҳалқалар бўлган модулларнинг тўғридан-тўғри йиғиндиси (ҳар бир х элемент учун х ёки 1 — х бирлик бўлса, ҳалқа маҳаллий ҳисобланади).
• Кетма-кет парчаланиш : бир серияли модулларнинг тўғридан-тўғри йиғиндиси (агар пастки модуллар панжараси чекли занжир бўлса, модул бир қаторли ҳисобланади) парчаланиши.

Оддий модул ажралмайдиган бўлгани учун, ярим оддий парчаланиш ажралмайдиган парчаланишдир (лекин аксинча эмас). Агар модулнинг эндоморфизм ҳалқаси маҳаллий бўлса, у ҳолда, хусусан, нотривиал идемпотентга эга бўлиши мумкин эмас чунки модул ажратилмайди. Шундай қилиб, маҳаллий эндоморфизм ҳалқалари билан парчаланиш ажралмас парчаланиш бўлади.

Тўғридан-тўғри йиғинди, агар у ажралмайдиган тўлдирувчини қабул қилса, максимал парчаланиш дейилади. Парчаланиш ${\дисплайстйле \техцтйле{М = \бигоплус_{и \ин И} М_и}}$ Агар М нинг ҳар бир максимал тўғридан-тўғри йиғиндиси Л учун кичик тўплам мавжуд бўлса, максимал тўғридан-тўғри йиғиндиларни тўлдирувчи дейилади. ${\дисплайстйле Ж \субсет И}$ шу каби

${\дисплайстйле М = \лефт(\бигоплус_{ж \ин Ж} М_ж \ригҳт) \бигоплус Л.}$.

Икки парчаланиш ${\дисплайстйле М = \бигоплус_{и \ин И} М_и = \бигоплус_{ж \ин Ж} Н_ж}$ бижеcтион мавжуд бўлса, эквивалент дейилади ${\дисплайстйле \варпҳи : И \оверсет{\сим}\то Ж}$ ҳар бири учун шундай ${\дисплайстйле и \ин И}$, ${\дисплайстйле М_и \симеқ Н_{\варпҳи(и)}}$ .Агар модул максимал тўғридан-тўғри йиғиндиларни тўлдирувчи ажралмайдиган декомпозицияни қабул қилса, модулнинг ҳар қандай иккита ажралмайдиган парчаланиши эквивалент бўлади.

Азумая теоремаси

Энг оддий шаклда Азумая теоремасида айтилади.Сундай парчаланиш берилган ${\дисплайстйле М = \бигоплус_{и \ин И} М_и}$ Шундай қилиб, ҳар бирининг эндоморфизм ҳалқаси ${\дисплайстйле М_и}$ маҳаллий (шунинг учун парчаланиш ажралмас), М нинг ҳар бир парчаланмайдиган парчаланиши шу берилган парчаланишга тенг. Теореманинг аниқроқ версиясида айтилади.Бундай парчаланиш берилган, агар ${\дисплайстйле М = Н \оплус К}$, кейин

1. агар нол бўлмаса, Н ажралмайдиган тўғридан-тўғри йиғиндини ўз ичига олади,
2. агар ${\дисплайстйле Н}$ ажралмайди, унинг эндоморфизм ҳалқаси маҳаллий ва ${\дисплайстйле К}$ берилган парчаланиш билан тўлдирилади:

   ${\дисплайстйле М = М_ж \оплус К}$ ва ҳоказо ${\дисплайстйле М_ж \симеқ Н}$ баъзилар учун ${\дисплайстйле ж \ин И}$ ,

3. Ҳар бирига ${\дисплайстйле и \ин И}$, тўғридан-тўғри йиғиндилар мавжуд ${\дисплайстйле Н'}$ нинг ${\дисплайстйле Н}$ ва ${\дисплайстйле К'}$ нинг ${\дисплайстйле К}$ шу каби ${\дисплайстйле М = М_и \оплус Н' \оплус К'}$ .

Чекланган узунликдаги ажратилмайдиган модулнинг эндоморфизм ҳалқаси локалдир (масалан, Фиттинг леммаси бўйича) ва шунинг учун Азумая теоремаси Крулл-Шмидт теоремасини исботлаш учун қўлланади. Дарҳақиқат, агар М чекланган узунликдаги модул бўлса, у ҳолда узунлик бўйича индуксия бўйича у чекланган парчаланмайдиган парчаланишга эга. ${\дисплайстйле М = \бигоплус_{и=1}^н М_и}$, бу маҳаллий эндоморфизм ҳалқалари билан парчаланишдир. Айтайлик, бизга парчаланиб бўлмайдиган парчаланиш берилган ${\дисплайстйле М = \бигоплус_{и=1}^м Н_и}$ . Кейин у биринчисига тенг бўлиши керак: шундай ${\дисплайстйле м = н}$ ва ${\дисплайстйле М_и \симеқ Н_{\сигма(и)}}$ баъзи алмаштириш учун ${\дисплайстйле \сигма}$ нинг ${\дисплайстйле \{ 1, \доц, н \}}$ . Аниқроғи, бери ${\дисплайстйле Н_1}$ ажралмас, ${\дисплайстйле М = М_{и_1} \бигоплус (\бигоплус_{и=2}^н Н_и)}$ баъзилар учун ${\дисплайстйле и_1}$ . Кейин, бери ${\дисплайстйле Н_2}$ ажралмас, ${\дисплайстйле М = М_{и_1} \бигоплус М_{и_2} \бигоплус (\бигоплус_{и=3}^н Н_и)}$ ва ҳоказо; яъни ҳар бир суммани тўлдиради ${\дисплайстйле \бигоплус_{и=л}^н Н_и}$ баъзиларининг тўғридан-тўғри йиғиндиси сифатида қабул қилиниши мумкин ${\дисплайстйле М_и}$ нинг қийматидир.

Яна бир илова қуйидаги баёнотдир (бу Капланскийнинг проектив модуллар ҳақидаги теоремасини исботлашнинг асосий босқичидир):

• Элемент берилган ${\дисплайстйле х \ин Н}$, тўғридан-тўғри йиғинди мавжуд ${\дисплайстйле Ҳ}$ нинг ${\дисплайстйле Н}$ ва кичик тўплам ${\дисплайстйле Ж \субсет И}$ шу каби ${\дисплайстйле х \ин Ҳ}$ ва ${\дисплайстйле Ҳ \симеқ \бигоплус_{ж \ин Ж} М_ж}$ .

Буни кўриш учун чекланган тўпламни танланг ${\дисплайстйле Ф \субсет И}$ шу каби ${\дисплайстйле х \ин \бигоплус_{ж \ин Ф} М_ж}$ . Кейин, ёзиш ${\дисплайстйле М = Н \оплус Л}$, Азумая теоремаси бўйича, ${\дисплайстйле М = (\оплус_{ж \ин Ф} М_ж) \оплус Н_1 \оплус Л_1}$ баъзи тўғридан-тўғри йиғиндилар билан ${\дисплайстйле Н_1, Л_1}$ нинг ${\дисплайстйле Н, Л}$ ва кейин, модул қонунига кўра, ${\дисплайстйле Н = Ҳ \оплус Н_1}$ билан ${\дисплайстйле Ҳ = (\оплус_{ж \ин Ф} М_ж \оплус Л_1) \cап Н}$ . Кейин, бери ${\дисплайстйле Л_1}$ нинг бевосита йиғиндисидир ${\дисплайстйле Л}$, ёзишимиз мумкин ${\дисплайстйле Л = Л_1 \оплус Л_1'}$ ундан кейин ${\дисплайстйле \оплус_{ж \ин Ф} М_ж \симеқ Ҳ \оплус Л_1'}$, бу Ф чекли бўлгани учун, бу дегани ${\дисплайстйле Ҳ \симеқ \оплус_{ж \ин Ж} М_ж}$ баъзи Ж учун Азумая теоремасини такроран қўллаш орқали ҳисобланади.

Азумая теоремасини ўрнатишда, агар қўшимча равишда ҳар бир ${\дисплайстйле М_и}$ ҳисоблаш мумкин бўлса, қуйидаги такомиллаштириш мавжуд (дастлаб Кроули-Жонссон ва кейинчалик Уорфилд туфайли): ${\дисплайстйле Н}$ га изоморфдир ${\дисплайстйле \бигоплус_{ж \ин Ж} М_ж}$ баъзи бир кичик тўплам учун ${\дисплайстйле Ж \субсет И}$ (Маълум маънода, бу Капланский теоремасининг кенгайтмаси ва теоремани исботлашда ишлатиладиган иккита лемма билан исботланган.), бу тахмин номаълум „ ${\дисплайстйле М_и}$ cоунтаблй генеред“ ни ўчириб қўйиш мумкин; яъни, бу яхшиланган версия жудаям тўғри.

Ҳалқанингнинг парчаланиши

Ҳалқанинг парчаланиши бўйича Артин-Веддерберн теоремаси деб номланувчи энг асосий, аммо муҳим кузатув бу: Р ҳалқаси берилганда, қуйидагилар эквивалентлигидир:

1. Р — ярим оддий ҳалқа; яъни, ${\дисплайстйле {}_Р Р}$ ярим оддий чап модулдир.
2. ${\дисплайстйле Р \симеқ \прод_{и=1}^р \операторнаме{М}_{м_и}(Д_и)}$ қаерда ${\дисплайстйле \операторнаме{М}_н(Д)}$ н -бй- н матрицалар ҳалқасини ва мусбат сонларни билдиради ${\дисплайстйле р, м_1, \доц, м_р}$ Р билан белгиланади (лекин ${\дисплайстйле Д_и}$ с Р билан аниқланмайди).
3. Р устидаги ҳар бир чап модул ярим оддий модулдир.

Биринчи иккитасининг эквивалентлигини кўриш учун эътибор беринг: агар ${\дисплайстйле {}_Р Р \симеқ \бигоплус_{и=1}^р И_и^{\оплус м_и}}$ қаерда ${\дисплайстйле И_и}$ ўзаро изоморф бўлмаган чап минимал идеаллар, демак, эндоморфизмлар ўнгдан ҳаракат қилади.

${\дисплайстйле Р \симеқ \операторнаме{Энд}({}_Р Р) \симеқ \бигоплус_{и=1}^р \операторнаме{Энд}(И_и^{\оплус м_и})}$

ҳар бири қаэрда ${\дисплайстйле \операторнаме{Энд}(И_и^{\оплус м_и})}$ бўлиниш ҳалқаси устидаги матрица ҳалқаси сифатида кўриш мумкин ${\дисплайстйле Д_и = \операторнаме{Энд}(И_и)}$ . (Бунинг акси шундаки, 2.нинг парчаланиши минимал чап идеалларга = оддий чап субмодулларга парчаланишга тенг бўлади.) Эквивалентлик 1. ${\дисплайстйле \Лефтригҳтарроw}$ 3. чунки ҳар бир модул бўш модулнинг қисмидир ва ярим оддий модулнинг қисми аниқ ярим оддий модулдир.

Яна қаранг

• Соф инъэкцион модул

Манбалар

• Андерсон, Франк W.; Фуллер, Кент Р. (1992), Рингс анд cатегориэс оф модулес, Градуате Техц ин Матҳематиcс, 13-жилд (2-нашр), Неw Ёрк: Спрингер-Верлаг, х+376-бет, дои:10.1007/978-1-4612-4418-9, ИСБН 0-387-97845-3, МР 1245487
• Франк W. Андерсон, Леcтурес он Нон-Cоммутативе Рингс (Wайбаcк Мачине сайтида 2021-06-13 санасида архивланган), Университй оф Орегон, Фалл, 2002.
• Жаcобсон, Натҳан (2009), Басиc алгебра, 2-жилд (2нд-нашр), Довер, ИСБН 978-0-486-47187-7
• Й. Лам, Басс’с wорк ин ринг тҳеорй анд прожеcтиве модулес [МР 1732042]
• Cлаудио Проcеси (2007) Лиэ Гроупс: ан аппроач тҳроугҳ инварианц анд репресентатион, Спрингер, ИСБН 9780387260402.
• Р. Wарфиэлд: Эхчанге рингс анд деcомпоситионс оф модулес, Матҳ. Аннален 199(1972), 31-36.