Ziyosfera

Operatorlar (fizika)

Оператор физик ҳолатлар фазосидан бошқа физик ҳолатлар фазосига ўтадиган функсиядир . Операторлар фойдалилигининг энг оддий мисоли симметрияни ўрганишдир. Шу сабабли, улар классик механикада жуда фойдали воситалардир. Операторлар квант механикасида янада муҳимроқдир, улар назарияни шакллантиришнинг ажралмас қисмини ташкил қилади.

Классик механикада операторлар

Классик механикада заррачанинг (ёки зарралар тизимининг) ҳаракати бутунлай Лагранжиан орқали аниқланади. Л(қ,қ˙,т){\дисплайстйле Л(қ, \дот{қ}, т)} ёки шунга ўхшаш Гамилтониан Ҳ(қ,п,т){\дисплайстйле Ҳ(қ, п, т)}, орқали аниқланади. бу ерда умумлаштирилган координаталар функсияси қ, умумлаштирилган тезликлар қ˙=дқ/дт{\дисплайстйле \дот{қ} = \матҳрм{д} қ / \матҳрм{д} т} ва унинг импулси

п=∂Л∂қ˙{\дисплайстйле п = \фраc{\партиал Л}{\партиал \дот{қ}}}

Агар Л ёки Ҳ умумлашган қ координатасига боғлиқ бўлмаса, яъни қ ўзгартирилганда Л ва Ҳ ўзгармаса, бу ўз навбатида қ ўзгарганда ҳам заррачанинг динамикаси бир хил бўлишини англатади. Яъни координаталар сақланиб қолади (бу Ноэтер теоремасининг бир қисмидир ва ҳаракатнинг қ координатасига нисбатан ўзгармаслиги симметриядир). Классик механикада операторлар ушбу симметриялар билан боғлиқ.

Кўрамиз, Ҳ маълум бир гуруҳ ўзгаришлар Г таъсири остида ўзгармас бўлганда:

С∈Г,Ҳ(С(қ,п))=Ҳ(қ,п){\дисплайстйле С\ин Г, Ҳ(С(қ,п))=Ҳ(қ,п)} .

Г нинг элементлари миқдорий операторлар бўлиб, улар ўзаро физик ҳолатларни харитада кўрсатадилар.

Классик механикада операторлар жадвали

Трансформация Оператор Лавозим Моментум
Таржима симметрияси Х(а){\дисплайстйле Х(\матҳбф{а})} р→р+а{\дисплайстйле \матҳбф{р}\ригҳтарроw \матҳбф{р} + \матҳбф{а}} п→п{\дисплайстйле \матҳбф{п}\ригҳтарроw \матҳбф{п}}
Вақтни таржима қилиш симметрияси У(т0){\дисплайстйле У(т_0)} р(т)→р(т+т0){\дисплайстйле \матҳбф{р}(т)\ригҳтарроw \матҳбф{р}(т+т_0)} п(т)→п(т+т0){\дисплайстйле \матҳбф{п}(т)\ригҳтарроw \матҳбф{п}(т+т_0)}
Айланма ўзгармаслиги Р(н^,θ){\дисплайстйле Р(\матҳбф{\ҳат{н}},\тҳета)} р→Р(н^,θ)р{\дисплайстйле \матҳбф{р}\ригҳтарроw Р(\матҳбф{\ҳат{н}},\тҳета)\матҳбф{р}} п→Р(н^,θ)п{\дисплайстйле \матҳбф{п}\ригҳтарроw Р(\матҳбф{\ҳат{н}},\тҳета)\матҳбф{п}}
Галилей ўзгаришлари Г(в){\дисплайстйле Г(\матҳбф{в})} р→р+вт{\дисплайстйле \матҳбф{р}\ригҳтарроw \матҳбф{р} + \матҳбф{в}т} п→п+мв{\дисплайстйле \матҳбф{п}\ригҳтарроw \матҳбф{п} + м\матҳбф{в}}
Паритет П{\дисплайстйле П} р→−р{\дисплайстйле \матҳбф{р}\ригҳтарроw -\матҳбф{р}} п→−п{\дисплайстйле \матҳбф{п}\ригҳтарроw -\матҳбф{п}}
Т-симметрия Т{\дисплайстйле Т} р→р(−т){\дисплайстйле \матҳбф{р}\ригҳтарроw \матҳбф{р}(-т)} п→−п(−т){\дисплайстйле \матҳбф{п}\ригҳтарроw -\матҳбф{п}(-т)}

бу ерда Р(н^,θ){\дисплайстйле Р(\ҳат{\болдсймбол{н}}, \тҳета)} бирлик вектор билан аниқланган ўқ атрофида айланиш матрицаси н^{\дисплайстйле \ҳат{\болдсймбол{н}}} ва бурчак θ-тҳета.

Генераторлар

Агар трансформация чексиз кичик бўлса, оператор ҳаракати қуйидаги шаклда бўлиши керак:

И+ϵА{\дисплайстйле И + \эпсилон А}

бу ерда И{\дисплайстйле И} идентификация оператори, ϵ{\дисплайстйле \эпсилон} кичик қийматга эга параметрдир ва А{\дисплайстйле А} мавжуд трансформацияга боғлиқ бўлади ва гуруҳнинг генератори деб аталади. Шунга қарамай, оддий мисол сифатида биз 1Д функсияларида космик транслациялар генераторини оламиз.

Таъкидланганидек, Таф(х)=ф(х−а){\дисплайстйле Т_а ф(х)=ф(х-а)} . Агар а=ϵ{\дисплайстйле а=\эпсилон} чексиз кичик бўлса, биз қуйидагича ёзишимиз мумкин:

Тϵф(х)=ф(х−ϵ)≈ф(х)−ϵф′(х).{\дисплайстйле Т_\эпсилон ф(х)=ф(х-\эпсилон)\аппрох ф(х) - \эпсилон ф'(х).}

Ушбу формулани яна қайта ёзиш мумкин:

Тϵф(х)=(И−ϵД)ф(х){\дисплайстйле Т_\эпсилон ф(х) = (И-\эпсилон Д) ф(х)}

бу ерда Д{\дисплайстйле Д} таржима гуруҳининг генератори бўлиб, бу ҳолда ҳосила оператори бўлади. Шундай қилиб, таржималарнинг генератори ҳосила эканлиги айтилади.

Экспоненсиал харита

Бутун гуруҳ нормал шароитда генераторлардан экспоненсиал харита орқали тикланиши мумкин. Таржималарда ғоя шундай ишлайди.

а{\дисплайстйле а} нинг чекланган қиймати учун натижа чексиз кичик таржимани такроран қўллаш орқали олиниши мумкин:

Таф(х)=лимН→∞⁡Та/Н⋯Та/Нф(х){\дисплайстйле Т_а ф(х) = \лим_{Н\то\инфтй} Т_{а/Н} \cдоц Т_{а/Н} ф(х)}

Агар Н{\дисплайстйле Н} катта бўлса, омилларнинг ҳар бирини чексиз кичик деб ҳисоблаш мумкин:

Таф(х)=лимН→∞⁡(И−аНД)Нф(х).{\дисплайстйле Т_а ф(х) = \лим_{Н\то\инфтй} \лефт(И - \фраc{а}{Н} Д\ригҳт)^Н ф(х).}

Аммо ушбу чегара экспоненсиал сифатида қайта ёзилиши мумкин:

Таф(х)=эхп⁡(−аД)ф(х).{\дисплайстйле Т_а ф(х) = \эхп(-аД) ф(х).}

Ушбу ифоданинг тўғрилигига ишонч ҳосил қилиш учун биз экспоненсиални даражалар қаторида кенгайтиришимиз мумкин:

Таф(х)=(И−аД+а2Д22!−а3Д33!+⋯)ф(х).{\дисплайстйле Т_а ф(х) = \лефт( И - аД + {а^2 Д^2 \овер 2!} - {а^3 Д^3 \овер 3!} + \cдоц \ригҳт) ф(х).}

Ўнг томони қайта ёзилиши мумкин:

ф(х)−аф′(х)+а22!ф′′(х)−а33!ф(3)(х)+⋯{\дисплайстйле ф(х) - аф'(х) + \фраc{а^2}{2!} ф''(х) - \фраc{а^3}{3!} ф^{(3)}(х) + \cдоц}

Бу шунчаки Тейлор қатори ф(х−а){\дисплайстйле ф(х-а)}, бу бизнинг асл қийматимиз эди Таф(х){\дисплайстйле Т_а ф(х)} .

Физик операторларнинг математик хоссалари ўз-ўзидан катта аҳамиятга эга мавзудир.

Квант механикасидаги операторлар

Квант механикасининг (ҚМ) математик формуласи оператор деган тушунчасига асосланади.

Квант механикасидаги физик соф ҳолатлар махсус комплекс Ҳилберт фазосида бирлик-норма векторлар (эҳтимолликлар биттага нормаллаштирилади) сифатида қаралади. Бу вектор фазода вақт эволюцияси эволюция оператори номи билан берилади.

Ҳар қандай кузатиладиган, яъни физик тажрибада ўлчаниши мумкин бўлган миқдор ўз-ўзидан қўшиладиган чизиқли оператор билан боғланиши керак. Операторлар ҳақиқий ўз қийматларини бериши зарур, чунки улар тажриба натижасида пайдо бўлиши мумкин бўлган қийматлардир. Математик жиҳатдан бу операторлар Ҳермитиан бўлиши кераклигини англатади. Ҳар бир хос қийматнинг эҳтимоли шу хос қиймат билан боғлиқ бўлган пастки фазодаги физик ҳолатнинг проексияси билан боғлиқ.

Квант механикада тўлқин механикаси формуласида тўлқин функсияси координата ва вақтга ёки импулс ва вақтга қараб ўзгаради.

Матрица механикаси формуласида физик ҳолат нормаси ўзгармас бўлиши керак, шунинг учун эволюция оператори унитар бўлиши керак ва операторлар матрицалар сифатида ифодаланиши мумкин. Миқдорий ҳолатни бошқасига кўрсатадиган ҳар қандай бошқа симметрия бу чекловни сақлаб қолиши лозим.

Тўлқин функсияси

Тўлқин функсияси квадрат интеграл бўлиши шарт (қаранг: <и ид="мwзҚ">Л <суп ид="мwзг">п</суп></и> бўшлиқлар), яъни:

Фаилед то парсе (Ункноwн фунcтион \Р): {\дисплайстйле \ииинт_{\Р^3} |\пси(\матҳбф{р})|^2 \, д^3\матҳбф{р} = \ииинт_{\Р^3} \пси(\матҳбф{р})^*\пси(\матҳбф{р}) \, д^3\матҳбф{р} < \инфтй}

ва нормализация қилинади, шунинг учун:

Фаилед то парсе (Ункноwн фунcтион \Р): {\дисплайстйле \ииинт_{\Р^3} |\пси(\матҳбф{р})|^2 \, д^3\матҳбф{р} = 1}

Ўз ҳолатларининг (ўз қийматларининг) иккита ҳолати:

  • дискрет хос ҳолатлар учун |ψи⟩{\дисплайстйле | \пси_и \рангле} дискрет асосни ташкил қилади, шунинг учун ҳар қандай ҳолат йиғинди ҳисобланади.|ψ⟩=∑иcи|ϕи⟩{\дисплайстйле |\пси\рангле = \сум_и c_и|\пҳи_и\рангле}
  • хос ҳолатларнинг узлуксизлиги учун |ψи⟩{\дисплайстйле | \пси_и \рангле} узлуксиз асосни ташкил этувчи ҳар қандай ҳолат интегралдир|ψ⟩=∫c(ϕ)дϕ|ϕ⟩{\дисплайстйле |\пси\рангле = \инт c(\пҳи) \, д\пҳи|\пҳи\рангле}

Тўлқин механикасидаги чизиқли операторлар

Квант система учун ψ тўлқин функсияси бўлсин ва А^{\дисплайстйле \ҳат{А}} баъзи бир кузатиладиган А учун ҳар қандай чизиқли оператор бўлсин (масалан, координата, импулс, энергия ва бошқалар).). Агар ψ операторнинг хос функсияси бўлса А^{\дисплайстйле \ҳат{А}}, кейин

А^ψ=аψ,{\дисплайстйле \ҳат{А} \пси = а \пси ,}

бу ерда а операторнинг хос қиймати, кузатилиши мумкин бўлган, яъни кузатиладиган Анинг ўлчанган қийматига мос келадиган а .

Агар ψ берилган операторнинг хос функсияси А^{\дисплайстйле \ҳат{А}} бўлса, у ҳолда кузатилиши мумкин бўлган А нинг ўлчови ψ ҳолатида амалга оширилса, аниқ миқдор (а хос қиймат) кузатилади. Аксинча, агар ψ нинг хос функсияси А^{\дисплайстйле \ҳат{А}} бўлмаса, у ҳолда унинг учун хос қийматга эга эмас ва А^{\дисплайстйле \ҳат{А}} кузатиладиган нарса у ҳолда ягона аниқ қийматга эга эмас. Бунинг ўрнига, кузатилиши мумкин бўлган А нинг ўлчовлари маълум бир эҳтимоллик билан ҳар бир хос қийматни беради (ψ нинг ортонормал хоссага нисбатан парчаланиши билан боғлиқ А^{\дисплайстйле \ҳат{А}}).

Бра-кет ёзувида юқоридагиларни ёзиш мумкин;

А^ψ=А^ψ(р)=А^⟨р∣ψ⟩=⟨р|А^|ψ⟩аψ=аψ(р)=а⟨р∣ψ⟩=⟨р∣а∣ψ⟩{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

\ҳат{А} \пси &= \ҳат{А} \пси ( \матҳбф{р} ) = \ҳат{А} \лефт\лангле \матҳбф{р} \мид \пси \ригҳт\рангле = \лефт\лангле \матҳбф{р} \лефт\верт \ҳат {А} \ригҳт\верт \пси \ригҳт\рангле \\

   а \пси &= а \пси ( \матҳбф{р} ) = а \лефт\лангле \матҳбф{р} \мид \пси \ригҳт\рангле = \лефт\лангле \матҳбф{р} \мид а \мид \пси \ригҳт\рангле \\

\энд{алигн}}

агарда улар тенг бўлса, |ψ⟩{\дисплайстйле \лефт| \пси \ригҳт\рангле} кузатиладиган А нинг хос векторидир

Чизиқлилик туфайли векторлар ҳар қандай ўлчамда ҳам аниқланиши мумкин, чунки векторнинг ҳар бир компоненти функсияга алоҳида таъсир қилади. Математик мисоллардан бири дел оператори бўлиб, у ўзи вектордир (қуйидаги жадвалда импулс билан боғлиқ квант операторларида фойдалидир).

н ўлчовли фазода оператор қуйидагича ёзилиши мумкин:

А^=∑ж=1нэжА^ж{\дисплайстйле \матҳбф{\ҳат{А}} = \сум_{ж=1}^н \матҳбф{э}_ж \ҳат{А}_ж}

Бу ерда эж ҳар бир компонент оператори Аж га мос келадиган базис векторлари. Ҳар бир компонент тегишли хос қийматни беради аж{\дисплайстйле а_ж} . Буни ψ тўлқин функсиясига таъсир қилсак:

А^ψ=(∑ж=1нэжА^ж)ψ=∑ж=1н(эжА^жψ)=∑ж=1н(эжажψ){\дисплайстйле \матҳбф{\ҳат{А}} \пси = \лефт( \сум_{ж=1}^н \матҳбф{э}_ж \ҳат{А}_ж \ригҳт) \пси = \сум_{ж=1}^н \лефт( \матҳбф{э}_ж \ҳат{А}_ж \пси \ригҳт) = \сум_{ж=1}^н \лефт( \матҳбф{э}_ж а_ж \пси \ригҳт)}

биз қуйидагича фойдаланганмиз А^жψ=ажψ.{\дисплайстйле \ҳат{А}_ж \пси = а_ж \пси .}

Бра-кет ёзувида:

А^ψ=А^ψ(р)=А^⟨р∣ψ⟩=⟨р|А^|ψ⟩(∑ж=1нэжА^ж)ψ=(∑ж=1нэжА^ж)ψ(р)=(∑ж=1нэжА^ж)⟨р∣ψ⟩=⟨р|∑ж=1нэжА^ж|ψ⟩{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

\матҳбф{\ҳат{А}} \пси = \матҳбф{\ҳат{А}} \пси ( \матҳбф{р} ) = \матҳбф{\ҳат{А}} \лефт\лангле \матҳбф{р} \мид \пси \ригҳт\рангле

  &= \лефт\лангле \матҳбф{р} \лефт\верт \матҳбф{\ҳат{А}} \ригҳт\верт \пси \ригҳт\рангле \\ 

\лефт ( \сум_{ж=1}^н \матҳбф{э}_ж \ҳат{А}_ж \ригҳт ) \пси = \лефт( \сум_{ж=1}^н \матҳбф{э}_ж \ҳат{А}_ж \ригҳт) \пси ( \матҳбф{р} ) = \лефт( \сум_{ж=1}^н \матҳбф{э}_ж \ҳат{А}_ж \ригҳт) \лефт\лангле \матҳбф{р} \мид \пси \ригҳт\рангле

  &= \лефт\лангле \матҳбф{р} \лефт\верт \сум_{ж=1}^н \матҳбф{э}_ж \ҳат{А}_ж \ригҳт\верт \пси \ригҳт\рангле

\энд{алигн}}

Ψ бўйича операторларни алмаштириш

Агар иккита кузатиладиган А ва Б чизиқли операторларга эга бўлса улар А^{\дисплайстйле \ҳат{А}} ва Б^{\дисплайстйле \ҳат{Б}} коммутатор билан белгиланади,

[А^,Б^]=А^Б^−Б^А^{\дисплайстйле \лефт[ \ҳат{А}, \ҳат{Б} \ригҳт] = \ҳат{А} \ҳат{Б} - \ҳат{Б} \ҳат{А}}

Коммутаторнинг ўзи (композит) оператордир. Коммутаторнинг Ψ га таъсир қилиши қуйидагиларни беради:

[А^,Б^]ψ=А^Б^ψ−Б^А^ψ.{\дисплайстйле \лефт[ \ҳат{А}, \ҳат{Б} \ригҳт] \пси = \ҳат{А} \ҳат{Б} \пси - \ҳат{Б} \ҳат{А} \пси .}

Агар Ψ мос равишда А ва Б кузатиладиганлар учун хос қийматлари а ва б бўлган хос функсия бўлса ва операторлар ўзгариб кеца:

[А^,Б^]ψ=0,{\дисплайстйле \лефт[ \ҳат{А}, \ҳат{Б} \ригҳт] \пси = 0,}

у ҳолда кузатиладиган А ва Б бир вақтнинг ўзида чексиз аниқлик, яъни ноаниқлик билан ўлчаниши мумкин. Бир вақтнинг ўзидаΔА=0{\дисплайстйле \Делта А = 0}, ΔБ=0{\дисплайстйле \Делта Б = 0} бўлса, Ψ А ва Б нинг бир вақтда хос функсияси дейилади. Буни кўрсатиш учун:

[А^,Б^]ψ=А^Б^ψ−Б^А^ψ=а(бψ)−б(аψ)=0.{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

\лефт[ \ҳат{А}, \ҳат{Б} \ригҳт] \пси &= \ҳат{А} \ҳат{Б} \пси - \ҳат{Б} \ҳат{А} \пси \\

  & = а(б \пси) - б(а \пси) \\

  & = 0 . \\

\энд{алигн}}

Бу шуни кўрсатадики, А ва Б ни ўлчаш ҳолатларнинг ўзгаришига олиб келмайди, яъни бошланғич ва якуний ҳолатлар бир хил (ўлчов туфайли бузилиш йўқ). Масалан, а қийматни олиш учун А ўлчаймиз. Кейин б қийматни олиш учун Б ни ўлчаймиз. Биз яна А ни ўлчаймиз. Биз ҳали ҳам а га тенг бўлган бир хил қийматни оламиз. Шубҳасиз, тизимнинг ҳолати (Ψ) бузилмаган ва шунинг учун биз А ва Б ни бир вақтнинг ўзида чексиз аниқлик билан ўлчашимиз мумкин.

Агар операторлар коммутатив бўлмаса:

[А^,Б^]ψ≠0,{\дисплайстйле \лефт[ \ҳат{А}, \ҳат{Б} \ригҳт] \пси \неқ 0,}

уларни бир вақтнинг ўзида ихтиёрий аниқликка тайёрлаш мумкин эмас ва кузатилиши мумкин бўлганлар ўртасида ноаниқлик алоқаси мавжуд бўлади.

ΔАΔБ≥|12⟨[А,Б]⟩|{\дисплайстйле \Делта А \Делта Б \геқ \лефт|\фраc{1}{2}\лангле[А, Б]\рангле\ригҳт|}

Ψ хос функсия бўлса ҳам юқоридаги муносабат ўринли бўлади. Диққатга сазовор жуфтликлар — энергия ва вақт ноаниқлик муносабатлари ва ҳар қандай иккита ортогонал ўқ (масалан, Л х ва Л й, с й ва с з ва бошқалар) атрофидаги бурчак моментлари (спин, орбитал ва умумий),

Ψ даги операторларнинг кутилган қийматлари

Кутиш қиймати (ўртача эквивалент ёки ўртача қиймат) Р зонасидаги заррача учун кузатилиши мумкин бўлган ўртача ўлчовдир. Кутиш қиймати ⟨А^⟩{\дисплайстйле \лефт\лангле \ҳат{А} \ригҳт\рангле} операторнинг А^{\дисплайстйле \ҳат{А}} дан ҳисобланади:

⟨А^⟩=∫Рψ*(р)А^ψ(р)д3р=⟨ψ|А^|ψ⟩.{\дисплайстйле \лефт\лангле \ҳат{А} \ригҳт\рангле = \инт_Р \пси^{*}\лефт( \матҳбф{р} \ригҳт) \ҳат{А} \пси \лефт( \матҳбф{р} \ригҳт) \матҳрм{д}^3\матҳбф{р} = \лефт\лангле \пси \лефт| \ҳат{А} \ригҳт| \пси \ригҳт\рангле .}

Буни операторнинг исталган Ф функсиясига умумлаштириш мумкин:

⟨Ф(А^)⟩=∫Рψ(р)*[Ф(А^)ψ(р)]д3р=⟨ψ|Ф(А^)|ψ⟩,{\дисплайстйле \лефт\лангле Ф \лефт( \ҳат{А} \ригҳт) \ригҳт\рангле = \инт_Р \пси(\матҳбф{р})^{*} \лефт[ Ф \лефт( \ҳат{А} \ригҳт) \пси(\матҳбф{р}) \ригҳт] \матҳрм{д}^3 \матҳбф{р} = \лефт\лангле \пси \лефт| Ф \лефт( \ҳат{А} \ригҳт) \ригҳт| \пси \ригҳт\рангле,}

Ф га мисол сифатида А нинг ψ га 2 мартали кўпайтмаси, яъни операторни квадратга солиш ёки уни икки марта бажариш мумкин:

Ф(А^)=А^2⇒⟨А^2⟩=∫Рψ*(р)А^2ψ(р)д3р=⟨ψ|А^2|ψ⟩{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

             Ф\лефт(\ҳат{А}\ригҳт) &= \ҳат{А}^2 \\

\Ригҳтарроw \лефт\лангле \ҳат{А}^2 \ригҳт\рангле &= \инт_Р \пси^{*} \лефт( \матҳбф{р} \ригҳт) \ҳат{А}^2 \пси \лефт( \матҳбф{р} \ригҳт) \матҳрм{д}^3\матҳбф{р} = \лефт\лангле \пси \лефт\верт \ҳат{А}^2 \ригҳт\верт \пси \ригҳт\рангле \\

\энд{алигн}\,\!}

Ҳермит операторлари

Эрмит операторининг таърифи:

А^=А^†{\дисплайстйле \ҳат{А} = \ҳат{А}^\даггер}

Шундан келиб чиқиб, бра-кет ёзувида:

⟨ϕи|А^|ϕж⟩=⟨ϕж|А^|ϕи⟩*.{\дисплайстйле \лефт\лангле \пҳи_и \лефт| \ҳат{А} \ригҳт| \пҳи_ж \ригҳт\рангле = \лефт\лангле \пҳи_ж \лефт| \ҳат{А} \ригҳт| \пҳи_и \ригҳт\рангле^*.}

Ҳермит операторларининг муҳим хусусиятларига қуйидагилар киради:

  • ҳақиқий хос қийматлар,
  • турли хос қийматли хос векторлар ортогонал,
  • хос векторлар тўлиқ ортонормал асос сифатида танланиши мумкин,

Матрицалар механикасидаги операторлар

Бир базис векторни бошқабир базис векторга солиштириш учун оператор матрица шаклида ёзилиши мумкин. Операторлар чизиқли бўлгани учун матрица базалар орасидаги чизиқли трансформация (ака ўтиш матрицаси) ҳисобланади. Ҳар бир асосий элемент ϕж{\дисплайстйле \пҳи_ж} ни бошқасига қуйидагича ифода билан боғлаш мумкин:

Аиж=⟨ϕи|А^|ϕж⟩,{\дисплайстйле А_{иж} = \лефт\лангле \пҳи_и \лефт| \ҳат{А} \ригҳт| \пҳи_ж \ригҳт\рангле,}

бу матрица элементи:

А^=(А11А12⋯А1нА21А22⋯А2н⋮⋮⋱⋮Ан1Ан2⋯Анн){\дисплайстйле \ҳат{А} = \бегин{пматрих} 

А_{11} & А_{12} & \cдоц & А_{1н} \\

А_{21} & А_{22} & \cдоц & А_{2н} \\

\вдоц & \вдоц & \ддоц & \вдоц \\

А_{н1} & А_{н2} & \cдоц & А_{нн} \\

\энд{пматрих}}

Эрмит операторининг яна бир хусусияти қуйидагича: турлича бўлган хос қийматларга мос келадиган хос функсиялар ўзаро ортогоналдир. Матрица шаклида операторлар ўлчовларга мос келадиган ҳақиқий хос қийматларни топишга имкон беради. Ортогоналлик квант тизимининг ҳолатини ифодалаш учун мос келадиган векторлар тўпламига имкон беради. Операторнинг хос қийматлари ҳам квадрат матрицадаги каби характеристик полиномни ечиш орқали баҳоланади:

дет⁡(А^−аИ^)=0,{\дисплайстйле \дет\лефт( \ҳат{А} - а \ҳат{И} \ригҳт) = 0 ,}

Бу ерда И — н × н идентификация матрицаси, оператор сифатида у идентификация оператори билан мос келади. Дискрет асос учун:

И^=∑и|ϕи⟩⟨ϕи|{\дисплайстйле \ҳат{И} = \сум_и |\пҳи_и\рангле\лангле\пҳи_и|}

доимий равишда:

И^=∫|ϕ⟩⟨ϕ|дϕ{\дисплайстйле \ҳат{И} = \инт |\пҳи\рангле\лангле\пҳи| \матҳрм{д}\пҳи}

Тескари оператор

Якка бўлмаган оператор А^{\дисплайстйле \ҳат{А}} тескарисига эга А^−1{\дисплайстйле \ҳат{А}^{-1}}. Белгиланиши:

А^А^−1=А^−1А^=И^{\дисплайстйле \ҳат{А}\ҳат{А}^{-1} = \ҳат{А}^{-1}\ҳат{А} = \ҳат{И}}

Агар операторда тескари оператор бўлмаса, у ягона оператордир. Чекланган ўлчовли фазода оператор ягона эмас, агар унинг детерминанти нолга тенг бўлмаса:

дет⁡(А^)≠0{\дисплайстйле \дет\лефт(\ҳат{А}\ригҳт) \неқ 0}

ва шунинг учун бирлик оператор учун детерминант нолга тенг.

Квант операторларини қўллашга мисоллар

Тўлқин функсиясидан маълумот олиш тартиби қуйидагича: Мисол тариқасида заррачанинг п импулсини кўриб чиқайлик. Бир ўлчовдаги позиция асосидаги импулс оператори:

п^=−иℏ∂∂х{\дисплайстйле \ҳат{п} = -и\ҳбар\фраc{\партиал }{\партиал х}}

Ушбу ҳаракатни ψ га қўйиб, биз қуйидагиларни оламиз:

п^ψ=−иℏ∂∂хψ,{\дисплайстйле \ҳат{п} \пси = -и\ҳбар\фраc{\партиал }{\партиал х} \пси ,}

агар ψ нинг хос функсияси бўлса п^{\дисплайстйле \ҳат{п}}, у ҳолда импулснинг хусусий қиймати п заррача импулсининг қиймати бўлиб, қуйидаги формула бўйича топилади:

−иℏ∂∂хψ=пψ.{\дисплайстйле -и\ҳбар\фраc{\партиал }{\партиал х} \пси = п \пси.}

Уч ўлчов учун импулс оператори набла операторидан фойдаланади:

п^=−иℏ∇.{\дисплайстйле \матҳбф{\ҳат{п}} = -и\ҳбар\набла .}

Декарт координаталарида (стандарт Декарт базис векторлари эх, эй, эз ёрдамида) буни ёзиш мумкин;

эхп^х+эйп^й+эзп^з=−иℏ(эх∂∂х+эй∂∂й+эз∂∂з),{\дисплайстйле \матҳбф{э}_\матҳрм{х}\ҳат{п}_х + \матҳбф{э}_\матҳрм{й}\ҳат{п}_й + \матҳбф{э}_\матҳрм{з}\ҳат{п}_з = -и\ҳбар\лефт ( \матҳбф{э}_\матҳрм{х} \фраc{\партиал }{\партиал х} + \матҳбф{э}_\матҳрм{й} \фраc{\партиал }{\партиал й} + \матҳбф{э}_\матҳрм{з} \фраc{\партиал }{\партиал з} \ригҳт ),}
п^х=−иℏ∂∂х,п^й=−иℏ∂∂й,п^з=−иℏ∂∂з{\дисплайстйле \ҳат{п}_х = -и\ҳбар \фраc{\партиал}{\партиал х}, \қуад \ҳат{п}_й = -и\ҳбар \фраc{\партиал}{\партиал й}, \қуад \ҳат{п}_з = -и\ҳбар \фраc{\партиал}{\партиал з} \,\!}

Хусусий қийматларни топиш жараёни бир хил. Бу вектор ва оператор тенгламаси экан, агар ψ хос функсия бўлса, импулс операторининг ҳар бир компоненти импулснинг шу компонентига мос келадиган хос қийматга эга бўлади:

п^хψ=−иℏ∂∂хψ=пхψп^йψ=−иℏ∂∂йψ=пйψп^зψ=−иℏ∂∂зψ=пзψ{\дисплайстйле \бегин{алигн}

\ҳат{п}_х \пси & = -и\ҳбар \фраc{\партиал}{\партиал х} \пси = п_х \пси \\

\ҳат{п}_й \пси & = -и\ҳбар \фраc{\партиал}{\партиал й} \пси = п_й \пси \\

\ҳат{п}_з \пси & = -и\ҳбар \фраc{\партиал}{\партиал з} \пси = п_з \пси \\

\энд{алигн} \,\!}

Манбалар

  • Ландау ва Лифшис „Назарий механика“
  • М.Нишонов маърузалари
  • Г.Аҳмедова „Атом физикаси“
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/19914441" dan olindi