Operatorlarning xususiya funksiyalari

Вибрацияли барабан муаммосининг бу ечими вақтнинг исталган нуқтасида дискдаги Лаплас операторининг хос функциясидир.

Математикада баъзи бир функсиялар фазосида аниқланган Д чизиқли операторининг хос функсияси нолга тенг бўлмаган ҳар қандай функсиядир. ${\дисплайстйле ф}$ ўша бўшлиқда, Д билан таъсир қилганда, фақат ўзига хос қиймат деб аталадиган қандайдир масштаблаш факторига кўпайтирилади. Бу шартни тенглама сифатида қуйидагича ёзиш мумкин: ${\дисплайстйле Дф=\ламбда ф}$

баъзи бир скаляр хос қиймат учун ${\дисплайстйле \ламбда.}$ Бу тенгламанинг ечимлари рухсат этилган хос қийматлар ва хос функсияларни чекловчи чегара шартларига ҳам боғлиқ бўлиши мумкин.

Хусусий функсия хос векторнинг бир тури.

Хусусий функсиялар

Умуман олганда, баъзи векторлар фазода аниқланган Д чизиқли операторининг хос вектори Д соҳасидаги нолга тенг бўлмаган вектори бўлиб, Д унга таъсир қилганда оддийгина ўзига хос қиймат деб аталадиган қандайдир скаляр қиймат билан мослаштирилади. Функсия фазосида Д аниқланган махсус ҳолатда, хос векторлар хос функсиялар деб аталади. Яъни, ф функсия тенгламани қаноатлантирса, Д нинг хос функсияси ҳисобланади:

${\дисплайстйле Дф=\ламбда ф}$

бу λ ерда скалардир. Юқоридаги тенгламанинг ечимлари ҳам чегаравий шартларга бўйсуниши мумкин. Чегаравий шартлар туфайли λ нинг мумкин бўлган қийматлари одатда чекланган, масалан, дискрет л₁, л₂, … ёки баъзи диапазондаги узлуксиз тўплам билан. Д нинг барча мумкин бўлган хос қийматлари тўплами баъзан унинг спектри деб аталади, бу дискрет, узлуксиз ёки иккаласининг комбинацияси бўлиши мумкин.

λ нинг ҳар бир қиймати бир ёки бир нечта хос функсияларга мос келади. Агар бир нечта чизиқли мустақил хусусий функсиялар бир хил хос қийматга эга бўлса, хусусий қиймат дегенератив деб аталади ва бир хил ўзига хос қиймат билан боғлиқ бўлган чизиқли мустақил хусусий функсияларнинг максимал сони хусусий қийматнинг дегенерация даражаси ёки геометрик кўплик даражасидир.

Ҳосилавий мисол

Чексиз ўлчовли фазоларга таъсир қилувчи чизиқли операторларнинг кенг қўлланиладиган синфи ҳақиқий ёки комплекс аргумент т нинг чексиз дифференсиалланадиган ҳақиқий ёки комплекс функсияларининг C ^∞ фазодаги дифференсиал операторларидир. Масалан, ҳосила операторини кўриб чиқайлик ${\дисплайстйле \фраc{д}{дт}}$ хос қиймат тенгламаси билан ${\дисплайстйле \фраc{д}{дт}ф(т)=\ламбда ф(т)}$

Бу дифференсиал тенгламани иккала томонни кўпайтириш йўли билан ечиш мумкин ${\дисплайстйле \фраc{дт}{ф(т)}}$. Унинг ечими, кўрсаткичли функсия бўлади:

${\дисплайстйле ф(т)=ф_0э^{\ламбда т}}$

ҳосила операторнинг хос функсияси бўлиб, ф₀ чегара шартларига боғлиқ бўлган параметрдир. Бу ҳолда хос функсиянинг ўзи ҳар қандай ҳақиқий ёки мураккаб қийматни қабул қилиши мумкин бўлган ўзига боғлиқ бўлган л нинг ўз функсиясидир. Хусусан, λ=0 учун ф (т) хос функсия доимий ҳисобланади.

Фараз қилайлик, мисолда ф (т): ф (0)=1 чегара шартларига бўйсунади ва ${\дисплайстйле \лефт.\фраc{дф}{дт}\ригҳт|_{т=0} = 2}$ . Кейин биз буни топамиз

${\дисплайстйле ф(т)=э^{2т}}$

бу ерда λ=2 дифференсиал тенгламанинг чегаравий шартни ҳам қаноатлантирадиган ягона хос қийматидир.

Матрицаларнинг хос қийматлари ва хос векторларига ҳавола

Хусусий функсиялар устун векторлари, чизиқли операторлар эса матрицалар сифатида ифодаланиши мумкин, гарчи улар чексиз ўлчамларга эга бўлиши мумкин. Натижада, матрицаларнинг хос векторлари билан боғлиқ кўплаб тушунчалар хос функсияларни ўрганишга ўтади.

Д га белгиланган функсия майдонидаги ички маҳсулотни аниқланг ${\дисплайстйле \лангле ф,г \рангле = \инт_{\Омега} \ ф^*(т)г(т) дт}$ Ω деб номланган т учун қизиқишнинг баъзи диапазонида бирлаштирилган. * комплекс қўшмани билдиради.

Фараз қилайлик, функсия фазоси {у₁(т), у₂(т), …, у_н(т)} функсиялар тўплами томонидан берилган ортонормал асосга эга бўлсин, бу ерда н чексиз бўлиши мумкин. Ортонормал асос учун, ${\дисплайстйле \лангле у_и, у_ж \рангле = \инт_{\Омега} \ у_и^*(т)у_ж(т) дт = \делта_{иж} = \бегин{cасес}$

 1 & и=ж \\
 0 & и \не ж

\энд{cасес},} Бу ерда δ_иж Кронеcкер делтасидир ва уни идентификация матрицаси элементлари сифатида кўриб чиқиш мумкин.

Функсияларни асосий функсияларнинг чизиқли бирикмаси сифатида ёзиш мумкин, ${\дисплайстйле ф(т) = \сум_{ж=1}^н б_ж у_ж(т)}$ масалан ф (т) нинг Фуре кенгайиши орқали. б_ж коэффициэнтлари н га 1 устунли вектор б = [б₁ б₂ … б_н]^Т жойлаштирилиши мумкин. Баъзи махсус ҳолатларда, масалан, синусоидал функсиянинг Фуре сериясининг коэффициэнтлари, бу устун вектори чекланган ўлчамга эга.

Бундан ташқари, элементлар билан чизиқли Д операторининг матрицали тасвирини аниқлашимиз мумкин: ${\дисплайстйле А_{иж} = \лангле у_и,Ду_ж \рангле = \инт_{\Омега}\ у^*_и(т)Ду_ж(т) дт}$. Биз Д ф (т) функсияни базис функсияларнинг чизиқли бирикмаси сифатида ёки ф (т) нинг кенгайишига таъсир этувчи Д кўринишида ёзишимиз мумкин, ${\дисплайстйле Дф(т) = \сум_{ж=1}^н c_ж у_ж(т) = \сум_{ж=1}^н б_ж Ду_ж(т)}$. Бу тенгламанинг ҳар бир томонининг ички маҳсулотини ихтиёрий базис функсияси у_и(т) билан олиб, ${\дисплайстйле \бегин{алигн}$

 \сум_{ж=1}^н c_ж \инт_{\Омега} \ у_и^*(т)у_ж(т) дт &= \сум_{ж=1}^н б_ж \инт_{\Омега} \ у_и^*(т)Ду_ж(т) дт, \\
 c_и &= \сум_{ж=1}^н б_ж А_{иж}.

\энд{алигн}} Бу йиғиндиси ёзувида ёзилган Аб = c матрица кўпайтмаси ва ортонормал асосда ифодаланган ф (т) функсияга таъсир қилувчи Д операторининг матрица эквиваленти. Агар ф (т) ўз қиймати л бўлган Д нинг хос функсияси бўлса, Аб = лб бўлади.

Манбалар

• Ландау ва Лифшис „Назарий механика“
• Г.аҳмедова „Атом физикаси“