Ziyosfera

Plastik raqam

Томонларнинг нисбати бўлган квадратлар ρ{\дисплайстйле \рҳо} ёпиқ спирал ҳосил қилади

Математикада пластик рақам ρ (шунингдек, пластик константа, пластик нисбат, минимал Писот рақами, платина рақами[1] Сиэгел рақами ёки франсузча, ле номбре радиант деб ҳам аталади) — куб тенгламанинг ягона ҳақиқий ечими бўлган математик доимий ҳисобланади

х3=х+1.{\дисплайстйле х^3 = х + 1.}

У аниқ иррационал қийматга эга

ρ=9+69183+9−69183.{\дисплайстйле \рҳо = \сқрт[3]{\фраc{9+\сқрт{69}}{18}}+\сқрт[3]{\фраc{9-\сқрт{69}}{18}}.}

Унинг касрли кенгайиши 1.3247179572 44746 02596 09088 54…. дан бошланади.

Хусусиятлари

Такрорланишлар

А(н) = ρн пластик сонининг ваколатлари н > 2 учун А(н) = А(н − 2) + А(н − 3) учинчи тартибли чизиқли такрорланиш муносабатини қондиради. Демак, бу такрорланишни қондирувчи ҳар қандай (нолдан фарқли) бутун сонлар кетма-кетлигининг кетма-кет ҳадларининг чегаравий нисбати, масалан, Падован кетма-кетлиги (Кордонниэр рақамлари деб ҳам аталади), Перрин рақамлари ва Ван дер Лаан рақамлари ва олтин нисбатнинг иккинчи тартибли Фибоначчи ва Лукас рақамларига, кумуш нисбати ва Пелл рақамлари ўртасидаги муносабатларга ўхшаш бу кетма-кетликларга бўлган муносабатлар ҳисобланади[2].

Пластик рақам ўрнатилган радикал такрорланишни қондиради.

ρ=1+1+1+⋯333.{\дисплайстйле \рҳо = \сқрт[3]{1 + \сқрт[3]{1 + \сқрт[3]{1 + \cдоц}}}.}

Рақамлар назарияси

Пластмасса сон х3 − х − 1 = 0, минимал кўпҳадга эга бўлгани учун у х3 − х − 1, га каррали бўлган ҳар бир п полином учун п(х) = 0 полином тенгламасининг ечими х3 − х − 1, бу эмас. бутун сонли коэффициэнтли бошқа ҳар қандай полиномлар учун. Унинг минимал кўпҳадининг дискриминанти −23 бўлгани учун унинг рационалларга бўлиниш майдони Қ(−23,ρ).{\дисплайстйле \матҳбб{Қ}(\сқрт{-23}, \рҳо).} Бу майдон, шунингдек, Ҳилберт синфига тегишли Қ(−23).{\дисплайстйле \матҳбб{Қ}(\сқрт{-23}).} Шундай қилиб, уни Дедекинд эта функсияси билан ифодалаш мумкин η(τ){\дисплайстйле \эта(\тау)} аргумент билан τ=1+−232{\дисплайстйле \тау = \тфраc{1+\сқрт{-23}}2}га тенг ,

ρ=−1з23η(τ)2η(2τ)=1.3247…{\дисплайстйле \рҳо= \фраc{-1}{з^{23}}\фраc{\эта(\тау)}{\сқрт2\,\эта(2\тау)} = 1.3247\доц}

ва бирликнинг илдизи з=э2πи/48{\дисплайстйле з = э^{2\пи и/48}} . Худди шундай, аргумент билан суперолтин нисбати учун β=1+−312{\дисплайстйле \бета = \тфраc{1+\сқрт{-31}}2} ўринли бўлади,

ψ=−1з23η(β)2η(2β)=1.4655…{\дисплайстйле \пси= \фраc{-1}{з^{23}}\фраc{\эта(\бета)}{\сқрт2\,\эта(2\бета)} = 1.4655\доц}

Бундан ташқари, пластик рақам энг кичик Писот-Вижаярагҳаван рақамидир . Унинг алгебраик конжугатлари қуйидагилар

(−12±32и)12+162333+(−12∓32и)12−162333≈−0.662359±0.56228и,{\дисплайстйле \лефт(-\тфраc12 \пм \тфраc{\сқрт3}{2}и\ригҳт) \сқрт[3]{\тфраc{1}{2} + \тфраc{1}{6} \сқрт{\тфраc{23}{3}}} + \лефт(-\тфраc12 \мп \тфраc{\сқрт3}{2}и\ригҳт) \сқрт[3]{\тфраc{1}{2} - \тфраc{1}{6} \сқрт{\тфраc{23}{3}}} \аппрох -0.662359 \пм 0.56228и,}

мутлақ қийматга эга ≈ 0,868837. Бу қиймат ҳам 1ρ{\дисплайстйле \фраc{1}{\сқрт{\рҳо}}} чунки минимал кўпҳаднинг учта илдизининг кўпайтмаси 1 га тенг бўлади.

Тригонометрия

Пластик рақамни гиперболик косинус (cош) ва унинг тескариси ёрдамида ёзиш мумкин бўлади:

ρ=1ccош⁡(13cош⁡−1(3c)),c=cос⁡(2π12)=син⁡(2π6)=32.{\дисплайстйле \рҳо = \тфраc{1}{c} \cош\лефт(\тфраc{1}{3} \cош^{-1} (3 c)\ригҳт), \ққуад c = \cос\лефт(\тфраc{2 \пи}{12}\ригҳт) = \син\лефт(\тфраc{2 \пи}{6}\ригҳт) = \тфраc{\сқрт{3}}{2} \, .}

Геометрия

Квадратнинг учта бўлими ўхшаш тўртбурчаклар

Квадратни учта ўхшаш тўртбурчакларга бўлишнинг учта усули мавжуд[3][4] ва улар қуйидагилар:

  1. Томонлар нисбати 3:1 бўлган учта конгруэнт тўртбурчаклар томонидан берилган ечим.
  2. Учта тўртбурчакнинг иккитаси мос келадиган, учинчиси эса қолган иккитасидан икки баравар каттароқ бўлган ечим, бунда тўртбурчаклар томонлар нисбати 3:2 бўлиши керак.
  3. Учта тўртбурчаклар ўзаро мос бўлмаган (барча ўлчамдаги) ва томонлар нисбати ρ2 бўлган ечим. Учта тўртбурчакнинг чизиқли ўлчамлари нисбати: р (катта: ўрта); ρ2 (ўрта: кичик); ва ρ3 (катта: кичик). Энг катта тўртбурчакнинг ички, узун қирраси (квадратнинг ёриқ чизиғи) квадратнинг тўрт четидан иккитасини ҳар бири р нисбатда бир-бирига боғланган иккита сегментга ажратади. Ўрта тўртбурчакнинг ички, бир-бирига тўғри келадиган қисқа қирраси ва кичик тўртбурчакнинг узун қирраси квадратнинг иккинчи, иккита четидан бирини ρ4 нисбатда бир-бирига боғланган иккита сегментга ажратади.

Тўртбурчаклар нисбати ρ2 бўлган тўртбурчакдан квадратни ўхшаш тўртбурчакларга ажратиш учун фойдаланиш мумкинлиги Рут-Ҳурвиц теоремаси билан боғлиқ ρ2 сонининг алгебраик хусусиятига тенг: унинг барча конжугатлари ижобий ҳақиқий қисмга эга бўлади[5][6].

х 2 + й 2 = 1 айлананинг х 3 = й 2 эгри чизиғи билан кесишган жойлари Декарт координаталарида(ρ−1,ρ-3/2) ва (ρ−1,-ρ-3/2) нуқталарда бўлади.

Тарих ва номлар

Ҳанс ван дер Лаан томонидан 1967-йилги Санкт-Бенедиктусберг Аббей черкови пластик-рақамли нисбатларга эга.

Голландиялик архитектор ва Бенедикт роҳиби Дом Ханс ван дер Лаан 1928-йилда пластик рақам номини берган (нидерландча: ҳет пластисче гетал). 1924-йилда, ван дер Лаан рақам номини сувга чўмишидан тўрт йил олдин, франсуз муҳандиси Гéрард Cордонниэр [фр] рақамни аллақачон кашф этган ва уни нурли рақам деб атаган (франсузча: ле номбре радиант)). Олтин нисбат ва кумуш нисбат номларидан фарқли ўлароқ, пластмасса сўзи ван дер Лаан томонидан маълум бир моддага мурожаат қилиш учун эмас, балки унинг сифатдош маъносида, уч ўлчамли шакл берилиши мумкин бўлган нарсани англатади[7]. Ричард Падованнинг сўзларига кўра, бу рақамнинг характерли нисбатлари,3/4 ва 1/7 жисмоний ўлчамни бошқасига боғлашда инсон идрокининг чегаралари билан боғлиқ эди. Ван дер Лаан 1967-йилги Санкт-Бенедиктусберг Аббей черковини ушбу пластик сон нисбатларига мос равишда ишлаб чиқди[8].

Пластик рақам баъзан кумуш рақам деб ҳам аталади, унга Мидҳат Ж. Газалé[9] томонидан берилган ва кейинчалик Мартин Гарднер томонидан қўлланган[10] лекин бу ном кўпроқ кумуш нисбати учун ишлатилади. 1+2,{\дисплайстйле 1 + \сқрт{2},} биринчи марта 1998-йилда Вера В. де Спинадел томонидан тасвирланган металл воситалар оиласининг нисбатларидан биридир[11].

Мартин Гарднер мурожаат қилишни таклиф қилди ρ2{\дисплайстйле \рҳо^2} „юқори пҳи“ сифатида ва Доналд Кнут бу ном учун махсус типографик белги яратди, грузинча пари („Ⴔ“) ҳарфига ўхшаш марказий доираси кўтарилган юнонча пҳи (" φ ") ҳарфининг вариантидир[12].

Яна қаранг

  • Снуб икозидокадодекаэдр
  • Суперолтин нисбати

Манбалар

  1. ↑ Чоулет, Ричард (Жануарй–Фебруарй 2010), „Алорс аргент оу пас ? Эуҳ ... же сераис ассез платине“ (ПДФ), Ле Буллетин Верт, Ассоcиатион дес Профессеурс де Матҳéматиқуэс де л'Энсеигнемент Публиc (АПМЕП) Парис (486): 89–96, ИССН 0240-5709, ОCЛC 477016293, 2017-11-14да асл нусхадан (ПДФ) архивланди, қаралди: 2017-11-14
  2. ↑ Шаннон, Андерсон & Ҳорадам (2006).
  3. ↑ Иан Стеwарт, А Гуиде то Cомпутер Датинг (Феэдбаcк), Сcиэнтифиc Америcан, Вол. 275, Но. 5, Новембер 1996, п. 118
  4. ↑ де Спинадел, Вера W.; Антониа, Редондо Буитраго (2009), „Тоwардс ван дер Лаан'с пластиc нумбер ин тҳе плане“ (ПДФ), Жоурнал фор Геометрй анд Грапҳиcс, 13 (2): 163–175.
  5. ↑ Фреилинг, C.; Ринне, Д. (1994), „Тилинг а сқуаре wитҳ симилар реcтанглес“, Матҳематиcал Ресеарч Леттерс, 1 (5): 547–558, дои:10.4310/МРЛ.1994.в1.н5.а3, МР 1295549
  6. ↑ Лаcзкович, М.; Сзекерес, Г. (1995), „Тилингс оф тҳе сқуаре wитҳ симилар реcтанглес“, Дисcрете & Cомпутатионал Геометрй, 13 (3–4): 569–572, дои:10.1007/БФ02574063, МР 1318796
  7. ↑ Падован (2002); Шаннон, Андерсон & Ҳорадам (2006).
  8. ↑ Падован (2002).
  9. ↑ Газалé, Мидҳат Ж. (Април 19, 1999), „Чаптер ВИИ: Тҳе Силвер Нумбер“, Гномон: Фром Пҳараоҳс то Фраcталс, Принcетон, Н.Ж.: Принcетон Университй Пресс, 135–150-бет, ИСБН 9780691005140, ОCЛC 40298400
  10. ↑ Мартин Гарднер, А Гарднер’с Wоркоут (2001), Чаптер 16, пп. 121-128.
  11. ↑ де Спинадел, Вера W. (1998), Wиллиамс, Ким (муҳ.), „Тҳе Металлиc Меанс анд Десигн“, Нехус ИИ: Арчитеcтуре анд Матҳематиcс, Фуcеcчио (Флоренcе): Эдизиони делл'Эрба: 141–157, 2020-05-12да асл нусхадан архивланди, қаралди: 2022-11-26
  12. ↑ „Сих чалленгинг диссеcтион таскс“ (ПДФ), Қуантум, 4 (5): 26–27, Май–Жуне 1994

Ҳаволалар

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/19914441" dan olindi