Kasr

Каср (арабча: كسر‎‎ — бўлак, парча) — математикада бирнинг битта ёки бир нечта қисмидан (бўлагидан) иборат сон. Каср иккита бутун соннинг нисбати билан ифодаланади: ${\дисплайстйле \тфраc{н}{м}}$ ёки н/м. Бу ерда м касрнинг махражи, н бўлса сурати дейилади. Махраж чизиқнинг остига (ёки кетига), сурат бўлса чизиқнинг устига (ёки олдига) ёзилади.

Махраж бир сонни неча бўлакка бўлинганини кўрсатади, сурат бўлса шу касрда шундай улушлардан нечта борлигини кўрсатади. Масалан, ${\дисплайстйле \тфраc{3}{4}}$ касрида сурат 3 дир ва у каср тенг уч бўлакни ифодалашини кўрсатади. Махраж бўлса 4 дир ва у тўртта бўлак бир бўлиб бутунни ҳосил қилишини англатади.

Математикада ${\дисплайстйле \тфраc{а}{б}}$ кўринишида ёзса бўладиган барча сонлар рационал сонлар тўпламига киради. Бу ерда а ва б бутун сонлардир ва б 0 га тенг эмас (б‡0).

Каср сонлар яққол сурат ёки махражли бўлмаслиги ҳам мумкин, масалан ўнли каср, фоиз, манфий даражалар (мос равишда 0,01, 1% ва 10⁻²; буларнинг ҳар бири 1/100 га тенг). Бутун сонни ҳам махражи 1 га тенг каср кўринишида ёзиш мумкин: масалан 7 ва 7/1 бир-бирига тенг.

Касрлар нисбат ва бўлинмаларни ифодалашда ҳам ишлатилади.^[1] Масалан, 3/4 каср 3:4 нисбат ва 3 ÷ 4 бўлинмани ифодалайди.

Каср турлари

Оддий касрлар

Оддий (ёки содда) каср рационал сонинг ${\дисплайстйле \пм \фраc{м}{н}}$ ёки ${\дисплайстйле \пм м/н}$ кўринишида ёзилганидир. Бунда ${\дисплайстйле н \не 0.}$ Бўлинувчи касрнинг сурати дейилади. Бўлувчи бўлса касрнинг махражи деб аталади.

Оддий касрларни ёзиш

Илмий босма этишда касрларни ёзишнинг тўрт усули бор:^[2]

махсус касрлар: эгри чизиқли ва бир белги қилиб берилган касрлар. Матндаги бошқа белгилар билан тенг баландликка ва кенгликка эга. Одатда содда касрлар учун қўлланади, масалан: ½, ⅓, ⅔, ¼ ва ¾. Сонлар кичиклиги учун кўп фонтларда бундай ёзилган касрларни ўқиш муаммо бўлиши мумкин.

Замонавий математик анализда ишлатилмайди. Бошқа жойларда ишлатилади;

сатр касрлари: махсус касрларга ўхшаш, аммо горизонтал чизиқ билан ёзилади. Масалан, бошқа белгилар билан бир хил баландликдаги ${\дисплайстйле \тфраc{1}{2}}$ касри;
шиллинг касрлари: 1/2; бундай номланишига сабаб бу ёзиш Британия пули (£сд) билан ишлатилган. Масалан, 2 шиллинг ва 6 пеннини ярим крона деб 2/6 каби ёзишган. „Икки шиллинг ва 6 пенни“ каср бўлмаган бўлса ҳам, олдинга қараган эгри чизиқ ҳозир касрлар билан ишлатилади. Масалан, сатрларни бир текис қилиб ёзиш учун. Яна касрлар ичидаги касрларни ёки даражалар ичидаги касрларни ёзиш учун ишлатилади (қаранг: мураккаб каср);
қаватли касрлар: ${\дисплайстйле \тфраc{1}{2}}$ ; Бу белгилашда матннинг икки ёки ундан кўп сатри ишлатилади. Бундай ёзиш матнда сатрлар орасида жой ажратади. Катта бўлгани учун ўқиш осон. Аммо, содда касрларни ёзишда ёки мураккаб касрлар ичидаги касрларни ёзишда ишлатилса муаммоли бўлиши мумкин.

Тўғри ва нотўғри касрлар

Тўғри каср деб суратининг модули махражининг модулидан кичкина касрга айтилади. Агар каср тўғри бўлмаса у нотўғри каср деб аталади. Нотўғри касрлар бирга тенг ёки катта бўлади.

Масалан, ${\дисплайстйле \фраc{3}{5}}$ , ${\дисплайстйле \фраc{7}{8}}$ ва ${\дисплайстйле \фраc{1}{2}}$ касрлари тўғри касрлардир. ${\дисплайстйле \фраc{8}{3}}$ , ${\дисплайстйле \фраc{9}{5}}$ , ${\дисплайстйле \фраc{2}{1}}$ ва ${\дисплайстйле \фраc{1}{1}}$ касрлари бўлса нотўғри касрлардир. Ҳар қандай бутун сонни нотўғри каср қилиб ёзиш учун, 1 сонини махраж қилиб олиш керак.

Аралаш касрлар

Бутун сон ва тўғри каср билан ёзилган каср аралаш каср деб номланади. Мураккаб касрни ундаги бутун сон билан касрнинг йиғиндиси деб тушунилади. Ҳар қандай рационал сонни аралаш каср қилиб ёзиш мумкин. Фақат сурат ва махражга эга каср содда каср деб номланади.

Масалан, ${\дисплайстйле 2 \фраc{3}{7}}$ касри мураккаб касрдир. Бунда ${\дисплайстйле 2 \фраc{3}{7} = 2 + \фраc{3}{7} = \фраc{14}{7} + \фраc{3}{7} = \фраc{17}{7}}$ .

Касрнинг баландлиги

Оддий касрнинг баландлиги — шу касрнинг сурати ва махражи модуллари йиғиндисидир. Рационал соннинг баландлиги — шу сонга мос келувчи қисқармайдиган оддий касрнинг сурат ва махражи модуллари йиғиндисидир.

Масалан, ${\дисплайстйле -\фраc{15}{6}}$ касрнинг баландлиги ${\дисплайстйле 15+6=21}$ га тенг. Мос келувчи рационал соннинг баландлиги бўлса ${\дисплайстйле 5+2=7}$ га тенг. Чунки ${\дисплайстйле -\фраc{15}{6}}$ касри ${\дисплайстйле 3}$ билан қисқаради (берилган каср ${\дисплайстйле 3}$ га қисқарганидан кейин ${\дисплайстйле -\фраc{5}{2}}$ ҳосил бўлади ва ${\дисплайстйле 5+2=7}$ ).

Қисмли касрлар

Кўп қаватли ёки қисмли каср деб бир неча горизонтал чизиқларга эга ифода айтилади. Баъзан бундай касрларда эгри чизиқ ишлатилади. Масалан:

{\дисплайстйле \фраc{1}{2}/\фраc{1}{3}}

ёки

{\дисплайстйле \фраc{1/2}{1/3}}

ёки

{\дисплайстйле \фраc{12\фраc{3}{4}}{26}}

Ўнли касрлар

Ўнли каср деб касрни хонали қилиб ёзилганига айтилади. Ўнли касрлар қуйидаги кўринишга эга бўлади:

{\дисплайстйле \пм а_1 а_2 \доц а_н{,}б_1 б_2 \доц}

Мисол: ${\дисплайстйле 3{,}1415926}$ .

Касрнинг хонани белгиловчи вергулгача бўлган қисми касрнинг бутун қисми ҳисобланади. Вергулдан кейинги қисми — каср қисми бўлади. Вергулдан кейин каср таркибига кирган ўндан бир, юздан бир ва бошқа улушлар ёзилади.

Ҳар қандай оддий касрни ўнли каср кўринишида ёзиш мумкин. Бундай қилганда ҳосил бўлган ўнли касрларда вергулдан кейин чекланган миқдорда сон бўлиши ёки маълум бир сонлар гуруҳи қайтарилиб келиши мумкин, яъни даврий каср ҳосил бўлиши мумкин. Даврий бўлмаган ўнли касрлар ҳам мавжуд. Даврий ўнли касрларни оддий касрга айлантириш усуллари бор. Даврий бўлмаган чексиз ўнли каср ҳеч қандай оддий касрга тенг эмас. Бундай сонлар иррационал сонлар дейилади.

Касрнинг маъноси ва унинг асосий хоссалари

Каср соннинг фақат ёзилишидир. Битта сонга бир неча каср тўғри келиши мумкин, ҳам оддий касрлар, ҳам ўнли касрлар. Агар касрнинг сурат ва махражини бир хил сонга кўпайтирсак,

{\дисплайстйле \фраc П Р = \фраc{C\cдот П}{C\cдот Р}}

касрнинг қиймати ўзидек қолади, касрлар ҳар хил бўлса ҳам. Масалан,

{\дисплайстйле \фраc 3 4 = \фраc{9}{12} = \фраc{12}{16}}

Бунинг акси ҳам тўғридир. Яъни, агар касрнинг сурати ва махражи умумий бўлувчига эга бўлса, унда иккала қисмни ўша сонга бўлиш мумкин. Бу амал касрни қисқартириш деб аталади. Мисол:

{\дисплайстйле ~\фраc {12}{16} = \фраc{12 : 4}{16 : 4} = \фраc{3}{4}}

— бу ерда касрнинг сурати ва махражи умумий бўлувчи 4 билан қисқартирилган.

Қисқармайдиган каср деб сурати ва махражи содда сонлардан иборат ва ${\дисплайстйле ~\пм 1}$ дан бошқа умумий бўлувчига эга бўлмаган касрга айтилади.

Ўнли касрни одатда фақат битта кўринишда ёзиш мумкин. Аммо, истиснолар мавжуд. Мисол:

{\дисплайстйле 0,999...=1}

— икки хил каср бир сонга тўғри келади.

Барча касрлар тўпламининг муҳим хоссаларидан бири унинг зичлиги, яъни ихтиёрий иккита турли касрлар орасига учинчи каср жойлаштириш мумкин (бутун сонлар тўплами бундай хоссага эга эмас).

Касрлар устида амаллар

Бу бўлимда оддий касрлар устида қилинадиган амаллар берилган. Ўнли касрлар устидаги амаллар учун ўнли каср мақоласига қаранг.

Умумий махраж топиш

Касрларни солиштириш, қўшиш ва айириш учун уларни бир хил махражли қилиб қайтадан тузиш керак. Икки каср берилган бўлсин:

${\дисплайстйле \фраc{а}{б}}$ ва ${\дисплайстйле \фраc{c}{д}}$ .

Амаллар кетма-кетлиги:

Махражларнинг энг кичик умумий карралисини (ЭКУК) топамиз: ${\дисплайстйле М=[б,д]}$ .
Биринчи касрнинг суратини ва махражини ${\дисплайстйле М/б}$ га кўпайтирамиз.
Иккинчи касрнинг суратини ва махражини ${\дисплайстйле М/д}$ га кўпайтирамиз.

Бундан кейин иккала касрнинг махражи мос келади (М га тенг бўлади). Энг кичик умумий карралиси сифатида содда ҳолларда М ўрнига исталган бошқа умумий кўпайтувчини олиш мумкин, масалан, махражларнинг кўпайтмасини.

Солиштириш

Икки содда касрни солиштириш учун, уларни умумий махражга олиб келиш керак ва ҳосил бўлган касрларнинг суратларини солиштириш керак. Сурати катта бўлган каср катта бўлади.

Масалан, ${\дисплайстйле \фраc{3}{4}}$ ва ${\дисплайстйле \фраc{4}{5}}$ касрларини солиштириш керак бўлсин. ЭКУБ (4, 5) = 20. Касрларнинг махражини 20 қиламиз.

{\дисплайстйле \фраc{3}{4} = \фраc{15}{20}; \қуад \фраc{4}{5} = \фраc{16}{20}}

Бундан келиб чиқиб, ${\дисплайстйле \фраc{3}{4} < \фраc{4}{5}}$ , чунки ${\дисплайстйле 15 < 16}$ .

Қўшиш ва айириш

Икки содда касрни қўшиш учун уларни умумий махражга олиб келиш керак. Кейин суратларни қўшиш керак. Махраж ўзидай қолади. Масалан:

{\дисплайстйле \фраc{1}{2}}

+

{\дисплайстйле \фраc{1}{3}}

=

{\дисплайстйле \фраc{3}{6}}

+

{\дисплайстйле \фраc{2}{6}}

=

{\дисплайстйле \фраc{5}{6}}

Махражлар (бу ерда 2 ва 3) учун энг кичик умумий бўлувчи 6 га тенгдир.

${\дисплайстйле \фраc{1}{2}}$ касрининг махражини 6 га олиб келамиз. Бунинг учун сурат ва махражни 3 га кўпайтириш керак. Бу амалдан кейин ${\дисплайстйле \фраc{3}{6}}$ ҳосил бўлади.

${\дисплайстйле \фраc{1}{3}}$ касрини ҳам шу махражга олиб келамиз. Бунинг учун сурат ва махражни 2 га кўпайтирамиз. Натижада ${\дисплайстйле \фраc{2}{6}}$ ҳосил бўлади.

Касрлар орасидаги айирмани топиш учун уларни умумий махражга олиб келиш керак. Сўнгра суратларни бир-биридан айириб, махражни ўзидай қолдириш керак. Масалан:

{\дисплайстйле \фраc{1}{2}}

—

{\дисплайстйле \фраc{1}{4}}

=

{\дисплайстйле \фраc{2}{4}}

—

{\дисплайстйле \фраc{1}{4}}

=

{\дисплайстйле \фраc{1}{4}}

Махражлар (бу ерда 2 ва 4) учун энг кичик умумий бўлувчи 4 га тенгдир. ${\дисплайстйле ~\фраc{1}{2}}$ касрини 4 махражига олиб келамиз. Бунинг учун сурат ва махражни 2 га кўпайтирамиз. Натижа ${\дисплайстйле ~\фраc{2}{4}}$ га тенгдир.

Кўпайтириш ва бўлиш

Икки оддий касрни кўпайтириш учун берилган касрларнинг сурат ва махражларини ўзаро кўпайтириш керак:

{\дисплайстйле \фраc{а}{б} \cдот \фраc{c}{д} = \фраc{аc}{бд}.}

Касрни натурал сонга кўпайтириш учун суратни берилган сон билан кўпайтириш керак. Махражни ўзидай қолдириш керак:

{\дисплайстйле \фраc{2}{3} \cдот 3 = \фраc{6}{3}= 2}

Кўпайтиришдан ҳосил бўлган касрнинг сурати ва махражи қисқарса, уларни қисқартириш керак. Масалан:

{\дисплайстйле \фраc{5}{8} \cдот \фраc{2}{5} = \фраc{10}{40} = \фраc{1}{4}.}

Кўпайтиришни қулайлаштириш учун касрларни соддалаштириш мумкин. Бунда сурат ва махраждаги сонлар нисбати сақланиб, энг кичик қийматларга келтирилади. Масалан:

{\дисплайстйле \фраc{2}{3} \тимес \фраc{3}{4} = \фраc{\cанcел{2} ^{~1}}{\cанcел{3} ^{~1}} \тимес \фраc{\cанcел{3} ^{~1}}{\cанcел{4} ^{~2}} = \фраc{1}{1} \тимес \фраc{1}{2} = \фраc{1}{2}}

Икки оддий касрни бўлиш учун биринчи касрни иккинчи касрнинг тескарисига кўпайтириш керак:

{\дисплайстйле \фраc{а}{б} : \фраc{c}{д} = \фраc{а}{б} \cдот \фраc{д}{c} = \фраc{ад}{бc},\қуад c \не 0.}

Масалан:

{\дисплайстйле \фраc{1}{2} : \фраc{1}{3} = \фраc{1}{2} \cдот \фраc{3}{1} = \фраc{3}{2}.}

Ёзиш усулини ўзгартириш

Оддий касрни ўнли каср кўринишида ёзиш учун суратни махражга бўлиш керак. Натижа чекли ўнли белгига эга бўлиши ёки чексиз даврий каср бўлиши мумкин. Мисоллар:

{\дисплайстйле \фраc{1}{2} = \фраc{5}{10} = 0{,}5}

{\дисплайстйле \фраc{1}{7} = 0{,}142857142857142857\доц = 0{,}(142857)}

— чексиз такрорланувчи даврни қавсга олиб ёзиш қабул қилинган.

Ўнли касрни оддий каср кўринишида ёзиш учун берилган ўнли касрнинг каср қисмини 10 сонининг мос келувчи даражасига бўлиб натурал сон кўринишида ёзиш керак. Сўнгра каср қисм билан бутун қисмни бирлаштириб ёзиш зарур. Бунда аралаш каср ҳосил бўлади. Мисол:

{\дисплайстйле 71{,}1475 = 71 + \фраc{1475}{10000} = 71 \фраc{1475}{10000} = 71 \фраc{59}{400}.}

Тарихи

Энг қадимги касрлар бутун сонларнинг тескари ёзилгани бўлган. Бу қадимий белгилар иккининг бир қисмини, учнинг бир қисмини, тўртнинг бир қисмини ва ҳоказони ифодалаган.^[3] Мисрликлар миср касрларидан эрамиздан аввал тахминан 1000-йилларда фойдаланишган. Тахминан 4000-йил аввал мисрликлар сонларни каср билан бўлиш учун бир оз бошқача услублардан фойдаланишган. Улар сурати бир бўлган касрлар устида амаллар бажариш учун энг кичик умумий бўлувчидан фойдаланишган. Уларнинг услублари замонавий услублар билан бир хил натижалар берган.^[4]

Юнонлар сурати бир бўлган касрлардан фойдаланишган. Эрамиздан аввалги тахминан 530-йилда юнон файласуфи Пифагорнинг шогирдлари иккининг квадрат илдизини каср кўринишида ёзиб бўлмаслигини аниқлашган. Эрамиздан аввалги тахминан 150-йилда ҳиндистонлик жаинчи математиклар „Стҳананга сутра“ (талаффузи: Сананга сутра) асарини ёзишган. Бу асарда сонлар теорияси, арифметик амаллар ва касрлар устида амаллар ҳақида ёзилган.

Бир сонни иккинчиси остида ёзиш ва касрларни ҳисоблаш усуллари бизнинг эранинг 499-йили атрофида Арябҳатта ёзган асарда учрайди. Санскрит адабиётларда касрлар ёки рационал сонлар доим бутун сон ва унинг кетидан каср сон кўринишида ёзилган. Каср сон бутун сон ёзилган қаторнинг остига ёзилган. Касрнинг ўзи икки қаторда ёзилган. Биринчи қаторда ёзилган сурат амса деб аталган, иккинчи қаторга ёзилган махраж чеда деб аталган. Агар каср бирон-бир бошқа белгисиз ёзилган бўлса, демак бу касрни юқоридаги бутун сонга қўшиш керак бўлган деб тушунилади. Агар касрнинг ўнг тарафига кичкина айлана ёки „+“ белгиси қўйилган бўлса, бу касрни бутун сондан айириш керак бўлган деб тушунилади. Масалан, ҳинд математиги Бҳаскара И қуйидагича ёзган:

६ १ २

१ १ १_०

४ ५ ९

Яъни,

6 1 2

1 1 1_०

4 5 9

ёзуви 6+1/4, 1+1/5 ва 2-1/9 ни ифодалаган.

Ўрта асрларда яшаган марокашлик мусулмон математик Абу Бакр ал-Ҳассар биринчи марта сурат ва махражни ажратувчи горизонтал чизиқ ҳақида ёзган. Ўз асарида ал-Ҳассар: „…масалан, агар сизга бешдан уч ва бешдан бирнинг учдан бирини ёз дейишса, бундай деб ёзинг: ${\дисплайстйле \фраc{3 \қуад 1}{5 \қуад 3}}$ .“^[5] Касрни шу услубда ёзиш озгинадан кейин ХИИИ асрда Леонардо Фибонаccининг ишларида ҳам учрайди.^[6]

Ўнли касрларнинг келиб чиқиши ҳақида Дирк Жан Струик бундай деб ёзади:^[7]

"Ўнли касрларни ҳисобда ишлатишни кенг фойдаланишга киргизган асар деб 1585-йил Лейденда чоп этилган Де Тҳиэнде фламанд памфлетини айтиш мумкин. Ўша пайтда Нидерландияда яшаган математик Симон Стевин (1548-1620) асарни франсуз тилига ўгирган. Хитой математиклари ўнли касрлардан Стевиндан бир неча аср аввал фойдаланишгани рост. Форс астрономи Ал-Каши „Арифметика калити“ асарида олтмишли саноқ системасидан ва ўнли касрлардан фойдалангани ҳам рост. (ХВ аср бошлари, Самарқанд)^[8]"

Форс математиги Жамшид ал-Каши ўнли касрларни ХВ асрда ўйлаб топганман деб айца ҳам, Ж. Леннарт Берггренга кўра у адашган. Чунки ўнли касрлар ундан 5 аср олдин, яъни Х асрда яшаган бағдодлик математик Абу'л-Ҳасан ал-Уқлидиси ишларида учрайди.^[9] Математика тарихчилари орасида ал-Уқлидиси биринчилардан бўлгани ҳақида ҳар хил қарашлар бўлса ҳам, унинг ўнли каср тушунчасига катта ҳисса қўшганига шубҳа йўқ.^[10]

Манбалар

↑ Ҳ. Wу, Тҳе Мис-Эдуcатион оф Матҳематиcс Теачерс, Нотиcес оф тҳе Америcан Матҳематиcал Соcиэтй, Волуме 58, Иссуэ 03 (Марч 2011), паге 374 (Wайбаcк Мачине сайтида 2017-08-20 санасида архивланган)
↑ Гален, Леслиэ Блаcкwелл (2004), „Путтинг Фраcтионс ин Тҳеир Плаcе“ (ПДФ), Америcан Матҳематиcал Монтҳлй, 111 (3), 2011-07-13да асл нусхадан (ПДФ) архивланди, қаралди: 2013-02-05 {{cитатион}}: Ункноwн параметер |монтҳ= игноред (ёрдам)
↑ Эвес, Ҳоwард. Ан интродуcтион то тҳе ҳисторй оф матҳематиcс, 6тҳ эд., Пҳиладелпҳиа: Саундерс Cоллеге Пуб., 1990. ИСБН 0-03-029558-0.
↑ Мило Гарднер. „Эгяптиан Матҳ Ҳисторй“ (12-11-2008). Қаралди: 10-02-2013.
↑ Cажори, Флориан (1928), А Ҳисторй оф Матҳематиcал Нотатионс (Вол.1) (ПДФ), Ла Салле, Иллиноис: Тҳе Опен Cоурт Публишинг Cомпанй, 269-бет
↑ (Cажори 1928, пг.89)
↑ А Соурcе Боок ин Матҳематиcс 1200-1800. Неw Жерсей: Принcетон Университй Пресс, 1986. ИСБН 0-691-02397-2.
↑ Диэ Реченкунст беи Ğамšīд б. Мас'ūд ал-Кāšī. Wиэсбаден: Стеинер, 1951.
↑ Берггрен, Ж. Леннарт „Матҳематиcс ин Медиэвал Ислам“, . Тҳе Матҳематиcс оф Эгйпт, Месопотамиа, Чина, Индиа, анд Ислам: А Соурcебоок. Принcетон Университй Пресс, 2007 — 518-бет. ИСБН 978-0-691-11485-9.
↑ „Абу'л Ҳасан Аҳмад ибн Ибраҳим Ал-Уқлидиси“. Қаралди: 10-02-2013.

Ҳаволалар

Сонлар ҳақида тушунча (Wайбаcк Мачине сайтида 2012-06-19 санасида архивланган), фикр.уз
Каср (Wайбаcк Мачине сайтида 2014-10-21 санасида архивланган), Онлайн математика энсиклопедияси (инглизча)
Каср, Cитизендиум (инглизча)

Ушбу мақолада Ўзбекистон миллий энсиклопедияси (2000-2005) маълумотларидан фойдаланилган.

[1] Ҳ. Wу, Тҳе Мис-Эдуcатион оф Матҳематиcс Теачерс, Нотиcес оф тҳе Америcан Матҳематиcал Соcиэтй, Волуме 58, Иссуэ 03 (Марч 2011), паге 374 (Wайбаcк Мачине сайтида 2017-08-20 санасида архивланган)

[galen-2] Гален, Леслиэ Блаcкwелл (2004), „Путтинг Фраcтионс ин Тҳеир Плаcе“ (ПДФ), Америcан Матҳематиcал Монтҳлй, 111 (3), 2011-07-13да асл нусхадан (ПДФ) архивланди, қаралди: 2013-02-05 {{cитатион}}: Ункноwн параметер |монтҳ= игноред (ёрдам)

[eves-3] Эвес, Ҳоwард. Ан интродуcтион то тҳе ҳисторй оф матҳематиcс, 6тҳ эд., Пҳиладелпҳиа: Саундерс Cоллеге Пуб., 1990. ИСБН 0-03-029558-0.

[4] Мило Гарднер. „Эгяптиан Матҳ Ҳисторй“ (12-11-2008). Қаралди: 10-02-2013.

[5] Cажори, Флориан (1928), А Ҳисторй оф Матҳематиcал Нотатионс (Вол.1) (ПДФ), Ла Салле, Иллиноис: Тҳе Опен Cоурт Публишинг Cомпанй, 269-бет

[6] (Cажори 1928, пг.89)

[7] А Соурcе Боок ин Матҳематиcс 1200-1800. Неw Жерсей: Принcетон Университй Пресс, 1986. ИСБН 0-691-02397-2.

[8] Диэ Реченкунст беи Ğамšīд б. Мас'ūд ал-Кāšī. Wиэсбаден: Стеинер, 1951.

[9] Берггрен, Ж. Леннарт „Матҳематиcс ин Медиэвал Ислам“, . Тҳе Матҳематиcс оф Эгйпт, Месопотамиа, Чина, Индиа, анд Ислам: А Соурcебоок. Принcетон Университй Пресс, 2007 — 518-бет. ИСБН 978-0-691-11485-9.

[10] „Абу'л Ҳасан Аҳмад ибн Ибраҳим Ал-Уқлидиси“. Қаралди: 10-02-2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]