Taqqoslash alomati (testi)

Matematikada taqqoslash alomati (testi), ba'zan u o'xshash testlardan (ayniqsa, limitni taqqoslash testi) ajratish uchun to'g'ridan- to'g'ri taqqoslash alomati deb ataladi, cheksiz qator yoki xosmas integralning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlash usulini ta'minlaydi. Ikkala holatda ham alomat berilgan qator yoki integralni yaqinlashish xossalari ma'lum bo'lgan qatorga solishtirish orqali ishlaydi. Taqqoslash insonning ijtimoyi faoliyatida bilimlarining o'zlashtirishda voqelikni to'laroq aks ettirishda bir-birga o'xshash jihatlar tafovutning talqinidir.

Qatorlar uchun

Differensial hisobda qatorlar uchun taqqoslash alomati odatda nomanfiy (haqiqiy qiymatli) hadli cheksiz qatorlar uchun quyidagi shartlar majmuasidan iborat:

• Agar $\sum b_n$ cheksiz qator yaqinlashuvchi bo'lib, $0 \le a_n \le b_n$ munosabat barcha yetarlicha katta n (ya'ni, barcha $n>N$ uchun, bunda N qandaydir fiksrlangan son) lar uchun o'rinli bo'lsa, u holda $\sum a_n$ cheksiz qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi.
• Agar $\sum b_n$ cheksiz qator uzoqlashuvchi bo'lib, $0 \le b_n \le a_n$ munosabat barcha yetarlicha katta n lar uchun o'rinli bo'lsa, u holda $\sum a_n$ cheksiz qator ham uzoqlashuvchi bo'ladi.

Shu bilan bir qatorda, alomat absolyut yaqinlashish nuqtai nazaridan ifodalanishi mumkin, bu holda u kompleks hadli qatorlarga ham tegishli bo'ladi:

• Agar $\sum b_n$ cheksiz qator absolyut yaqinlashuvchi bo'lib, $|a_n| \le |b_n|$ munosabat barcha yetarlicha katta n lar uchun o'rinli bo'lsa, u holda $\sum a_n$ cheksiz qator ham absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi.
• Agar $\sum b_n$ cheksiz qator absolyut yaqinlashuvchi bo'lmasa va $|b_n| \le |a_n|$ munosabat barcha yetarlicha katta n lar uchun o'rinli bo'lsa, u holda $\sum a_n$ cheksiz qator ham absolyut yaqinlashuvchi bo'lmaydi.

E'tibor bering, ushbu so'nggi jumlada $\sum a_n$ qator shartli yaqinlashuvchi bo'lishi mumkin; haqiqiy qiymatli qatorlar uchun, agar a_n ning hadlarining hammasi ham nomanfiy bo'lmasa, bu sodir bo'lishi mumkin.

Haqiqiy qiymatli qatorlar holida, ikkinchi juft shartlar birinchisiga teng kuchli. Chunki $\sum c_n$ qator absolyut yaqinlashadi faqat va faqat $\sum |c_n|$ (nomanfiy hadli qator) yaqinlashuvchi bo'lsa.

Isbot

Yuqorida keltirilgan barcha jumlalarning isbotlari o'xshashdir. Quyida uchinchi jumlaning isboti.

$\sum a_n$ va $\sum b_n$ lar shunday cheksiz qatorlar bo'lsinki, bunda $\sum b_n$ absolyut yaqinlashuvchi (shuning uchun $\sum |b_n|$ yaqinlashadi) bo'lsin. Umumiylikka zarar yetkazmasdan faraz qilamizki, $|a_n| \le |b_n|$ munosabat barcha musbat butun n lar uchun o'rinli bo'ladi. Quyidagi qismiy yig'indilarni qaraylik,

$S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n|,\ T_n = |b_1| + |b_2| + \ldots + |b_n|.$

$\sum b_n$ absolyut yaqinlashuvchi bo'lganligi uchun, $\lim_{n\to\infty} T_n = T$ munosabat qandaydir haqiqiy son T uchun o'rinli bo'ladi. Barcha n lar uchun,

$0 \le S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n| \le |a_1| + \ldots + |a_n| + |b_{n+1}| + \ldots = S_n + (T-T_n) \le T.$

$S_n$ kamaymaydigan va $S_n + (T - T_n)$ o'smaydigan ketma-ketliklardir. Berilgan $m,n > N$ lar uchun $S_n, S_m$ larning ikkalasi ham $[S_N, S_N + (T - T_N)]$ intervalga tegishli, bunda $T - T_N$ ning uzunligi $N$ cheksizlikka intilganda nolga intiladi. Bu $(S_n)_{n=1,2,\ldots}$ ning Koshi ketma-ketligi ekanligini va shuning uchun ham limitga yaqinlashishi kerakligini ko'rsatadi. Shuning uchun, $\sum a_n$ absolyut yaqinlashuvchi hisoblanadi.

Integrallar uchun

Quyida integrallar uchun taqqoslash alomati (testi) ni keltiramiz.

f va g haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalar $[a,b)$ da aniqlangan va b ning qiymati $+\infty$ ga yoki f va g larning har biri vertikal asimptotaga ega bo'ladigan haqiqiy songa teng:

• Agar $\int_a^b g(x)\,dx$ xosmas integral yaqinlashuvchi bo'lsa va $0 \le f(x) \le g(x)$ munosabat $a \le x < b$ da o'rinli bo'lsa, u holda $\int_a^b f(x)\,dx$ xosmas integral yaqinlashadi va $\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx.$
• Agar $\int_a^b g(x)\,dx$ xosmas integral uzoqlashuvchi bo'lsa va $0 \le g(x) \le f(x)$ munosabat $a \le x < b$ da o'rinli bo'lsa, u holda $\int_a^b f(x)\,dx$ xosmas integral ham uzoqlashadi.

Nisbatlarni taqqoslash alomati (testi)

Yuqoridagi to'g'ridan-to'g'ri taqqoslash testi va nisbatlar testiga o'xshash haqiqiy qiymatli qatorlarning yaqinlashuvi uchun boshqa test nisbatlarni taqqoslash testi deb ataladi:

• Agar $\sum b_n$ cheksiz qator yaqinlashsa va $a_n>0$, $b_n>0$ hamda $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}$ munosabatlar barcha yetarlicha katta n lar uchun o'rinli bo'lsa, u holda $\sum a_n$ cheksiz qator ham yaqinlashadi.
• Agar $\sum b_n$ cheksiz qator uzoqlashsa va $a_n>0$, $b_n>0$ hamda $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge \frac{b_{n+1}}{b_n}$ munosabatlar barcha yetarlicha katta n lar uchun o'rinli bo'lsa, u holda $\sum a_n$ cheksiz qator ham uzoqlashadi.

Manbalar

• Ayres, Frank Jr.. Schaum's Outline of Calculus, 4th, New York: McGraw-Hill, 1999. ISBN 0-07-041973-6. 
• Buck, R. Creighton. Advanced Calculus, 2nd, New York: McGraw-Hill, 1965. 
• Knopp, Konrad. Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications, 1956. ISBN 0-486-60153-6. 
• Munem, M. A.. Calculus with Analytic Geometry, 2nd, Worth Publishers, 1984. ISBN 0-87901-236-6. 
• Silverman, Herb. Complex Variables. Houghton Mifflin Company, 1975. ISBN 0-395-18582-3. 
• Whittaker, E. T.. A Course in Modern Analysis, 4th, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3.