Uchburchak

Бу атаманинг бошқа маънолари ҳам мавжуд. Қаранг: Учбурчак (маънолари).

Учбурчак – бир тўғри чизиқда ётмаган учта нуқта ва учлари шу нуқталарда бўлган учта кесмадан ясалган фигура. Учбурчакни ясовчи учта нуқта учбурчакнинг учлари, учларини туташтирувчи кесмалар учбурчакнинг томонлари, томонлари орасидаги учта бурчак учбурчакнинг бурчаклари дейилади.

Учбурчакда фақат битта тўғри ёки ўтмас бур

чак бўлади (чунки учбурчакнинг ички бурчаклари йиғиндиси 180° ёки ${\дисплайстйле \пи}$ га тенг).

Учбурчакнинг исталган томони узунлиги қолган икки томон узунликлари йиғиндисидан кичик, айирмасидан эса каттадир.

Учбурчакларнинг кўпгина бошқа хоссаларини тригонометрия, сферик геометрия, сферик тригонометрия ва бошқа соҳаларда ўрганилади.

Учбурчак унинг учларини кўрсатиш орқали ифодаланади. Мисол учун, А, Б ва C нуқталарни туташтиришдан ҳосил бўлувчи учбурчак ${\дисплайстйле \триангле}$ АБC каби белгиланади.

Учбурчак турлари

Учбурчак томонларининг узунлигига кўра, уч хил бўлади ва улар:

Тенг томонли учбурчак – барча томонлари тенг бўлган учурчак. Унинг ҳамма ички бурчаклари 60°дан.
Тенг ёнли учбурчак – иккита томони тенг бўлган учбурчак. Асосидаги бурчаклари ўзаро тенг.
Турли томонли учбурчак – учала томони узунликлари турлича бўлган учбурчак. Ҳеч қайси бурчаклари бир-бировига тенг эмас


Тенг томонли (мунтазам) учбурчак	Тенг ёнли учбурчак	Турли томонли учбурчак

Учбурчак бурчакларининг катталикларига кўра улар уч хил бўлади:

Тўғри бурчакли учбурчак – бурчакларидан бири 90° бўлган учбурчак. Тўғри бурчакли учбурчакнинг тўғри бурчаги қаршисида ётувчи томони гипотенуза, қолган икки томони катетлари деб аталади.
Ўтмас бурчакли учбурчак – битта ва фақат битта бурчаги 90°дан катта (ўтмас) бўлган учбурчак.
Ўткир бурчакли учбурчак – барча бурчаклари 90°дан кичкина (ўткир) бўлган учбурчак.

Тўғри бурчакли учбурчак	Ўткир бурчакли учбурчак	Ўтмас бурчакли учбурчак

Асосий хоссалари

учбурчак ички бурчаклари йиғиндини 180° га тенг
учбурчакнинг ташқи бурчаги ўзига қўшни бўлмаган иккита ички бурчаклар йиғиндисига тенг
учбурчак ташқи бурчаклари йиғиндиси 360° га тенг

Юзини ҳисоблаш

Томон ва унга туширилган баландлик орқали учбурчак юзасини топиш

Учбурчак юзасини томон ва шу томонга туширилган баландлик орқали топиш

Учбурчак юзини ҳисоблашнинг бир неча усулллари мавжуд. Буларнинг ичида энг соддаси ушбу формула орқали топишдир: ${\дисплайстйле \матҳрм{С}=\фраc{аҳ}{2}}$

Бу ерда С – учбурчак юзи, а – учбурчак томони, ҳ – ўша томонга туширилган баландлик

Герон формуласи ёрдамида учбурчак юзасини ҳисоблаш

Учбурчак юзини топишда Герон формуласидан ҳам фойдаланилади. Герон формуласидан фақат учбурчак учала томони аниқ бўлгандагина фойдаланиш мумкин. Герон формуласи қуйидагича:

 ${\дисплайстйле \матҳрм{С} = \сқрт{п(п-а)(п-б)(п-c)}}$

Бу ерда ${\дисплайстйле п=\фраc{а+б+c}{2}}$ га тенг (учбурчак яримпериметри) , ${\дисплайстйле а,б,c}$ – учбурчак томонлари узунлиги.

Герон формуласи ёзилишининг яна 2 та эквивалент йўли бор:

{\дисплайстйле \матҳрм{С} = \фраc{1}{4} \сқрт{(а^2+б^2+c^2)^2-2(а^4+б^4+c^4)}}

{\дисплайстйле \матҳрм{С} = \фраc{1}{4} \сқрт{2(а^2б^2+а^2c^2+б^2c^2)-(а^4+б^4+c^4)}}

{\дисплайстйле \матҳрм{С} = \фраc{1}{4} \сқрт{(а+б-c) (а-б+c) (-а+б+c) (а+б+c)}.}

Бурчак синуси ёрдамида учбурчак юзасини ҳисоблаш

Учбурчак юзини берилган ихтиёрий икки томони ва улар орасидаги бурчаги бўйича ҳисоблаш мумкин. Яъни қуйидаги формула орқали: ${\дисплайстйле \матҳрм{С} = \фраc{1}{2}аб\син \гамма = \фраc{1}{2}бc\син \алпҳа = \фраc{1}{2}cа\син \бета}$ . Бу ерда а, б, c – учбурчак тономлари, α,β,γ – учбурчак тономлари орасидаги бурчаги.

Медианалар орқали учбурчак юзасини ҳисоблаш

Учбурчак томонларига туширилган учала медиана маълум бўлганда қуйидаги формула орқали учбурчак юзи ҳисобланади:

{\дисплайстйле \матҳрм{С} = \фраc{4}{3} \сқрт{м(м-м_а)(м-м_б)(м-м_c)}}

Бу ерда ${\дисплайстйле м=\фраc{м_а+м_б+м_c}{2}}$ , ${\дисплайстйле м_а,м_б,м_c}$ – мос равишда учбурчакнинг а, б, c томонларига туширилган медианалар

Учбурчаклар тенглиги ва ўхшашлиги

Учбурчаклар тенглигининг уч хил аломати мавжуд:

Учбурчаклар тенглигининг ТТТ аломати – Бир учбурчакнинг барча томонлари иккинчи учбурчакнинг барча томонларига мос равишда тенг бўлса, иккита учбурчак ўзаро тенг дейилади
Учбурчаклар тенглигининг ТБТ аломати – Бир учбурчак икки томони ва улар орасидаги бурчак, иккинчи учбурчак мос иккита томони ва улар орасида бурчакка тенг бўлса, бу учбурчаклар ўзаро тенг дейилади
Учбурчаклар тенглигининг БТБ аломати – Бир учбурчакнинг икки бурчаги ва улар орасидаги томон, иккинчи учбурчакнинг мос икки бурчаги ва улар орасидаги томонга тенг бўлса, бу учбурчаклар ўзаро тенг дейилади.

Ўхшаш учбурчакнинг мос бурчаклари тенг, мос томонлари эса пропорсионал бўлади. Икки ўхшаш учбурчак томонлари нисбати ўхшашлик коэффициэнтига, юзлари нисбати эса унинг квадратида тенг.

Учбурчаклар ўхшашлигининг аломатлари

Учбурчаклар ўхшашлигининг ББ аломати:Агар бир учбурчакнинг иккита бурчаги иккинчи учбурчакнинг иккита бурчагига мос равишда тенг бўлса, бундай учбурчаклар ўхшаш бўлади.
Учбурчак ўхшашлигининг ТБТ аломати: Агар бир учбурчакнинг икки томони иккинчи учбурчакнинг икки томонига пропорсионал ва бу томонлар ҳосил қилган бурчаклар тенг бўлса, бундай учбурчаклар ўхшаш бўлади.
Учбурчаклар ўхшашлигининг ТТТ аломати: Агар бир учбурчакнинг учта томони иккинчи учбурчакнинг учта томонига мос равишда пропорсионал бўлса, бундай учбурчаклар ўхшаш бўлади.

Ҳаволалар

Учбурчак калкулятори- учбурчакнинг учта томони ва бурчаги берилганда, қолган бурчак ва томонларини ҳисоблайди.