Virtual joy almashish

1-даражали эркинлик.

2-даражали эркинлик.

Эгри чизиқ билан чегараланган м массали зарра учун C чеклаш кучи ва виртуал силжиш δр. Натижада чекланмаган куч Н дир. Виртуал силжишнинг компонентлари чеклаш тенгламаси билан бог'ланган.

Аналитик механикада амалий математика ва физиканинг бир бўлими, виртуал силжиш (ёки чексиз кичик ўзгариш) ${\дисплайстйле \делта \гамма}$ Механик тизимнинг траекторияси гипотетик (шунинг учун виртуал атамаси) ҳақиқий траэкториядан қандай қилиб бироз четга чиқиши мумкинлигини кўрсатади. ${\дисплайстйле \гамма}$ тизимнинг чекловларини бузмасдан . Ҳар лаҳза учун ${\дисплайстйле т,}$${\дисплайстйле \делта \гамма(т)}$ нуқтадаги конфигурация фазосига тангенсиал вектордир ${\дисплайстйле \гамма(т).}$ Векторлар ${\дисплайстйле \делта \гамма(т)}$ қайси йўналишларни кўрсатинг ${\дисплайстйле \гамма(т)}$ чекловларни бузмасдан „бориш“ мумкин.

Мисол учун, икки ўлчовли сиртдаги битта заррачадан ташкил топган тизимнинг виртуал силжишлари, қўшимча чекловлар йўқ деб ҳисоблаб, бутун тангенс текислигини тўлдиради.

Бироқ, чекловлар барча траекторияларни талаб қилса ${\дисплайстйле \гамма}$ берилган нуқтадан ўтинг ${\дисплайстйле \матҳбф{қ}}$ берилган вақтда ${\дисплайстйле \тау,}$ яъни ${\дисплайстйле \гамма(\тау) = \матҳбф{қ},}$ кейин ${\дисплайстйле \делта\гамма (\тау) = 0.}$

Белгилари

Майли ${\дисплайстйле М}$ механик тизимнинг конфигурация майдони бўлсин, ${\дисплайстйле т_0,т_1 \ин \матҳбб{Р}}$ вақт лаҳзалари бўлсин, ${\дисплайстйле қ_0,қ_1 \ин М,}$${\дисплайстйле C^\инфтй[т_0, т_1]}$ устидаги силлиқ функсиялардан иборат.

Чекловлар ${\дисплайстйле \гамма(т_0)=қ_0,}$${\дисплайстйле \гамма(т_1)=қ_1}$ Бу ерда фақат тасвир учун. Амалда, ҳар бир алоҳида тизим учун индивидуал чекловлар тўплами талаб қилинади.

Таърифи

Ҳар бир йўл учун ${\дисплайстйле \гамма \ин П(М)}$ ва ${\дисплайстйле \эпсилон_0 > 0,}$ нинг ўзгариши ${\дисплайстйле \гамма}$ функсия ҳисобланади ${\дисплайстйле \Гамма : [т_0,т_1] \тимес [-\эпсилон_0,\эпсилон_0] \то М}$ шундай, ҳар бир учун ${\дисплайстйле \эпсилон \ин [-\эпсилон_0,\эпсилон_0],}$${\дисплайстйле \Гамма(\cдот,\эпсилон) \ин П(М)}$ ва ${\дисплайстйле \Гамма(т,0) = \гамма(т).}$ Виртуал жой алмашиш ${\дисплайстйле \делта \гамма : [т_0,т_1] \то ТМ}$${\дисплайстйле (ТМ}$ нинг тангенс тўпламидир ${\дисплайстйле М)}$ ўзгаришига мос келади ${\дисплайстйле \Гамма}$ ҳар бирига қуйидагини белгилайди ${\дисплайстйле т \ин [т_0,т_1]}$ тангенс вектори

${\дисплайстйле \делта \гамма(т) = \фраc{д\Гамма(т,\эпсилон)}{д\эпсилон}\Биггл|_{\эпсилон=0} \ин Т_{\гамма(т)}М.}$

Тангенс харитаси нуқтаи назаридан,

${\дисплайстйле \делта \гамма(т) = \Гамма^т_*\лефт(\фраc{д}{д\эпсилон}\Биггл|_{\эпсилон=0}\ригҳт).}$

Бу ерда ${\дисплайстйле \Гамма^т_*: Т_0[-\эпсилон,\эпсилон] \то Т_{\Гамма(т,0)}М = Т_{\гамма(т)}М}$ нинг тангенс харитаси ҳисобланади ${\дисплайстйле \Гамма^т : [-\эпсилон,\эпсилон] \то М,}$ бу ерда ${\дисплайстйле \Гамма^т(\эпсилон) = \Гамма(т,\эпсилон),}$ ва ${\дисплайстйле \техцтйле \фраc{д}{д\эпсилон}\Бигл|_{\эпсилон = 0} \ин Т_0[-\эпсилон,\эпсилон].}$

Хусусиятлари

• Координатали вакиллик. Агар ${\дисплайстйле \{қ_и\}^н_{и=1}}$ ихтиёрий диаграммадаги координаталар ${\дисплайстйле М}$ ва Фаилед то парсе (Ункноwн фунcтион \матҳоп): {\дисплайстйле н = \матҳоп{\рм дим}М,} кейин

${\дисплайстйле \делта \гамма(т) = \сум^н_{и=1} \фраc{д[қ_и(\Гамма(т,\эпсилон))]}{д\эпсилон}\Биггл|_{\эпсилон=0} \cдот \фраc{д}{дқ_и}\Биггл|_{\гамма(т)}.}$

• Агар, бир зумда ${\дисплайстйле \тау}$ ва ҳар бир ${\дисплайстйле \гамма \ин П(М),}$${\дисплайстйле \гамма(\тау)=\техт{cонст},}$ кейин, ҳар бири учун ${\дисплайстйле \гамма \ин П(М),}$${\дисплайстйле \делта \гамма (\тау) = 0.}$

• Агар ${\дисплайстйле \техцтйле \гамма,\фраc{д\гамма}{дт} \ин П(М),}$ кейин ${\дисплайстйле \делта \фраc{д\гамма}{дт} = \фраc{д}{дт}\делта \гамма.}$

Мисоллар

Р ³ даги эркин заррача

Ягона заррача эркин ҳаракатланади ${\дисплайстйле \матҳбб{Р}^3}$ 3 эркинлик даражасига эга. Конфигурация майдони ${\дисплайстйле М=\матҳбб{Р}^3,}$ ва ${\дисплайстйле П(М)=C^\инфтй([т_0,т_1], М).}$ Ҳар бир йўл учун ${\дисплайстйле \гамма \ин П(М)}$ ва вариация ${\дисплайстйле \Гамма(т,\эпсилон)}$ нинг ${\дисплайстйле \гамма,}$ ноёби мавжуд ${\дисплайстйле \сигма \ин Т_0\матҳбб{Р}^3}$ шу каби ${\дисплайстйле \Гамма(т,\эпсилон) = \гамма(т) + \сигма(т)\эпсилон + о(\эпсилон),}$ каби ${\дисплайстйле \эпсилон \то 0.}$ Таърифга кўра,

${\дисплайстйле \делта \гамма (т) = \лефт(\фраc{д}{д\эпсилон} \Бигл(\гамма(т) + \сигма(т)\эпсилон + о(\эпсилон)\Бигр)\ригҳт)\Биггл|_{\эпсилон=0}}$

олиб келади

${\дисплайстйле \делта \гамма (т) = \сигма(т) \ин Т_{\гамма(т)} \матҳбб{Р}^3.}$

Сиртдаги эркин зарралар

${\дисплайстйле Н}$ икки ўлчовли сиртда эркин ҳаракатланадиган зарралар ${\дисплайстйле С \субсет \матҳбб{Р}^3}$ бор ${\дисплайстйле 2Н}$ эркинлик даражаси. Бу ерда конфигурация майдони

${\дисплайстйле М= \{(\матҳбф{р}_1, \лдоц, \матҳбф{р}_Н)\ин \матҳбб{Р}^{3\, Н} \мид \матҳбф{р}_и \ин \матҳбб{Р}^3;\ \матҳбф{р}_и \неқ \матҳбф{р}_ж\ \техт{иф}\ и \неқ ж\},}$

бу ерда ${\дисплайстйле \матҳбф{р}_и \ин \матҳбб{Р}^3}$ нинг радиус вектори ${\дисплайстйле и^\техт{тҳ}}$ заррача. Бундан қуйидаги келиб чиқади

${\дисплайстйле Т_{(\матҳбф{р}_1, \лдоц, \матҳбф{р}_Н)} М = Т_{\матҳбф{р}_1}С \оплус \лдоц \оплус Т_{\матҳбф{р}_Н}С,}$

ва ҳар бир йўл ${\дисплайстйле \гамма \ин П(М)}$ радиус векторлари ёрдамида тасвирланиши мумкин ${\дисплайстйле \матҳбф{р}_и}$ ҳар бир алоҳида заррачанинг, яъни

${\дисплайстйле \гамма (т) = (\матҳбф{р}_1(т),\лдоц, \матҳбф{р}_Н(т)).}$

Бу шуни англатадики, ҳар бир киши учун ${\дисплайстйле \делта \гамма(т) \ин Т_{(\матҳбф{р}_1(т), \лдоц, \матҳбф{р}_Н(т))} М,}$

${\дисплайстйле \делта \гамма(т) = \делта \матҳбф{р}_1(т) \оплус \лдоц \оплус \делта \матҳбф{р}_Н(т),}$

бу ерда ${\дисплайстйле \делта \матҳбф{р}_и(т) \ин Т_{\матҳбф{р}_и(т)} С.}$ Баъзи муаллифлар буни шундай ифодалайдилар

${\дисплайстйле \делта \гамма = (\делта \матҳбф{р}_1, \лдоц, \делта \матҳбф{р}_Н).}$

Рухсат этилган нуқта атрофида айланадиган қаттиқ жисм

Қўшимча чекловларсиз қўзғалмас нуқта атрофида айланадиган қаттиқ жисм 3 даража эркинликка эга. Бу ерда конфигурация майдони ${\дисплайстйле М=СО(3),}$ 3 ўлчовли махсус ортогонал гуруҳ (акс ҳолда 3Д айланиш гуруҳи деб номланади) ва ${\дисплайстйле П(М)=C^\инфтй([т_0,т_1], М).}$ Биз стандарт белгидан фойдаланамиз ${\дисплайстйле \матҳфрак{со}(3)}$ барча эгри-симметрик уч ўлчовли матрицаларнинг уч ўлчовли чизиқли фазосига мурожаат қилиш. Экспоненсиал харита ${\дисплайстйле \эхп : \матҳфрак{со}(3) \то СО(3)}$ мавжудлигини кафолатлайди ${\дисплайстйле \эпсилон_0 > 0}$ Шундай қилиб, ҳар бир йўл учун ${\дисплайстйле \гамма \ин П(М),}$ унинг ўзгариши ${\дисплайстйле \Гамма(т,\эпсилон),}$ ва ${\дисплайстйле т \ин [т_0,т_1],}$ ўзига хос йўл бор ${\дисплайстйле \Тҳета^т \ин C^\инфтй([-\эпсилон_0, \эпсилон_0], \матҳфрак{со}(3))}$ шу каби ${\дисплайстйле \Тҳета^т(0) = 0}$ ва ҳар бири учун ${\дисплайстйле \эпсилон \ин [-\эпсилон_0,\эпсилон_0],}$${\дисплайстйле \Гамма(т,\эпсилон) = \гамма(т)\эхп(\Тҳета^т(\эпсилон)).}$ Таърифга кўра,

${\дисплайстйле \делта \гамма (т) = \лефт(\фраc{д}{д\эпсилон} \Бигл(\гамма(т)\эхп(\Тҳета^т(\эпсилон))\Бигр)\ригҳт)\Биггл|_{\эпсилон=0} = \гамма(т)\фраc{д\Тҳета^т(\эпсилон)}{д\эпсилон}\Биггл|_{\эпсилон=0}.}$

Чунки, баъзи функсиялар учун ${\дисплайстйле \сигма : [т_0,т_1]\то \матҳфрак{со}(3),}$${\дисплайстйле \Тҳета^т(\эпсилон) = \эпсилон\сигма(т) + о(\эпсилон)}$, каби ${\дисплайстйле \эпсилон \то 0}$ ,

${\дисплайстйле \делта \гамма (т) = \гамма(т)\сигма(т) \ин Т_{\гамма(т)}СО(3).}$