Gamilton mexanikasi sahifasining manbasini koʻrish

[[Fayl:WilliamRowanHamilton.jpeg|thumb| Ser Uilyam Rouen Hamilton]]
'''Gamilton mexanikasi''' 1833 yilda Lagranj mexanikasining islohoti sifatida paydo boʻldi. Sir Uilyam Rouen Hamilton tomonidan kiritilgan <ref>{{Kitob manbasi |last=Hamilton, William Rowan, Sir |url=http://worldcat.org/oclc/68159539 |title=On a general method of expressing the paths of light, & of the planets, by the coefficients of a characteristic function. |date=1833 |publisher=Printed by P.D. Hardy |oclc=68159539}}</ref>. Gamilton mexanikasi (umumlashtirilgan) tezliklarni almashtiradi <math>\dot q^i</math> (umumlashtirilgan) ''impuls'' bilan Lagranj mexanikasida qoʻllanadi. Ikkala nazariya ham [[Klassik mexanika|klassik mexanikaning]] talqinini beradi va bir xil fizik hodisalarni tavsiflaydi.

Gamilton mexanikasi geometriya (ayniqsa, simplektik geometriya va Puasson tuzilmalari) bilan yaqin aloqada boʻlib, klassik va [[Kvant mexanika|kvant mexanikasi]] oʻrtasida bogʻlovchi boʻlib xizmat qiladi.

== Umumiy koʻrinish ==

=== Fazo fazosi koordinatalari (p, q) va Gamilton H ===
Mayli <math>(M, \mathcal L)</math> [[Konfiguratsiya maydoni (fizika)|konfiguratsiya maydoni]] boʻlgan mexanik tizim boʻlishi kerak <math>M</math> va silliq Lagrangian <math> \mathcal L.</math> Standart koordinata tizimini tanlaymiz: <math>(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q})</math>. <math>\textstyle p_i(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t) ~\stackrel{\text{def}}{=}~ {\partial \mathcal L}/{\partial \dot q^i}</math> miqdorlar ''impuls'' deyiladi. (Shuningdek, ''umumlashtirilgan impuls'', qoʻshma ''impuls'' va ''kanonik impulslar''). Bir zumda <math>t,</math> Legendre transformatsiyasi <math>\mathcal{L}</math>ning xaritasi sifatida belgilanadi <math>(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{\dot q}) \to \left(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\right) </math> silliq teskari boʻlishi taxmin qilinadi <math>(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}) \to (\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q}).</math> bilan tizim uchun <math>n</math> erkinlik darajasi, Lagranj mexanikasi ''energiya funksiyasini'' belgilaydi:

<math display="block">E_{\mathcal L}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t)\, \stackrel{\text{def}}{=}\, \sum^n_{i=1} \dot q^i \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^i} - \mathcal L.</math>

Legendre ning oʻzgarishi <math>\mathcal{L}</math> aylanadi <math>E_{\mathcal L}</math> funksiyaga aylanadi <math> \mathcal H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t)</math> {{Em|Hamiltonian}} sifatida tanilgan. Gamiltonianlik qanoatlantiradi

<math display="block">
 \mathcal H\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol{\dot q}},\boldsymbol{q},t\right) = E_{\mathcal L}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t)
</math>

bu shuni anglatadi

<math display="block">
 \mathcal H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t) = \sum^n_{i=1} p_i\dot q^i - \mathcal L(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t),
</math>

tezliklar bu yerda <math>\boldsymbol{\dot q} = (\dot q^1,\ldots, \dot q^n)</math> dan topiladi (<math>n</math> -oʻlchovli) tenglama <math>\textstyle \boldsymbol{p} = {\partial \mathcal L}/{\partial \boldsymbol{\dot q}}</math> Bu, taxminga koʻra, yagona echilishi mumkin <math>\boldsymbol{\dot q}.</math> (<math>2n</math> -oʻlchovli) juftlik <math>(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q})</math> ''fazo fazosi koordinatalari'' deb ataladi. (Shuningdek, ''kanonik koordinatalar'').

=== Eyler-Lagranj tenglamasidan Gamilton tenglamalariga ===
Fazoviy fazoda koordinatalar <math>(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}),</math> (<math>n</math> -oʻlchovli) Eyler-Lagranj tenglamasi

<math display="block">\frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol{q}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol{\dot q}} = 0</math>

dagi ''Gamilton tenglamalariga'' aylanadi <math>2n</math> oʻlchamlari

<math>
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{p}},\quad
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{q}}.
</math>

=== Statsionar harakat tamoyilidan Gamilton tenglamalarigacha ===
Mayli <math> \mathcal P(a,b,\boldsymbol x_a,\boldsymbol x_b)</math> silliq yoʻllar toʻplami boʻlsin <math>\boldsymbol q: [a,b] \to M</math> buning uchun <math>\boldsymbol q(a) = \boldsymbol x_a</math> va <math>\boldsymbol q(b) = \boldsymbol x_{b}. </math> Funksional harakat <math> \mathcal S : \mathcal P(a,b,\boldsymbol x_a,\boldsymbol x_b) \to \Reals</math> orqali aniqlanadi

<math display="block"> \mathcal S[\boldsymbol q] = \int_a^b \mathcal L(t,\boldsymbol q(t),\dot{\boldsymbol q}(t))\, dt = \int_a^b \left(\sum^n_{i=1} p_i\dot q^i - \mathcal H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t) \right)\, dt,</math>

bu yerda <math>\boldsymbol{q} = \boldsymbol{q}(t),</math> va <math>\boldsymbol{p} = \partial \mathcal L/\partial \boldsymbol{\dot q}</math> (yuqoriga qarang). Yoʻl <math>\boldsymbol q \in \mathcal P(a,b,\boldsymbol x_a,\boldsymbol x_b)</math> ning statsionar nuqtasi hisoblanadi <math> \mathcal S</math> (va demak, harakat tenglamasi) agar va faqat yoʻl boʻlsa <math>(\boldsymbol{p}(t),\boldsymbol{q}(t))</math> fazo fazosida koordinatalar Gamilton tenglamalariga boʻysunadi.

=== Asosiy fizikaviy talqin ===
Gamilton mexanikasining oddiy talqini uni {{Mvar|m}} massali bitta relyativistik boʻlmagan zarrachadan tashkil topgan bir oʻlchovli tizimda qoʻllashdan kelib chiqadi. Qiymat <math>H(p,q)</math> Gamiltonian — tizimning umumiy energiyasi, bu holda [[Kinetik energiya|kinetik]] va [[Potensial energiya|potentsial energiya]] yigʻindisi, anʼanaviy ravishda mos ravishda {{Mvar|T}} va {{Mvar|V}} bilan belgilanadi. Bu yerda {{Mvar|p}} — impuls {{Mvar|mv}}, {{Mvar|q}} — fazo koordinatasi. Keyin

<math display="block">\mathcal{H} = T + V, \qquad T = \frac{p^2}{2m}, \qquad V = V(q) </math>

T faqat p ning funksiyasi, V esa faqat q funksiyasi (yaʼni, T va V skleronomik).

Bu misolda {{Mvar|q}} ning vaqt hosilasi tezlikdir va shuning uchun birinchi Gamilton tenglamasi zarraning tezligi uning impulsga nisbatan kinetik energiyasining hosilasiga teng ekanligini bildiradi. Impuls momentining vaqt hosilasi {{Mvar|p}} ''Nyuton kuchiga'' teng va shuning uchun ikkinchi Gamilton tenglamasi kuch potensial energiyaning salbiy [[Gradiyent|gradientiga]] teng ekanligini anglatadi.

== Misol ==
Sferik mayatnik [[Sfera|shar]] yuzasida [[Ishqalanish|ishqalanishsiz]] harakatlanuvchi ''m'' [[Massa|massadan]] iborat boʻlsin. Massaga taʼsir qiluvchi yagona [[Kuch|kuchlar]] sfera va [[Gravitatsiya|tortishish]] reaksiyasidir . [[Sferik koordinatalar]] massaning holatini (''r'', ''θ'', ''φ'') koʻrinishida tasvirlash uchun ishlatiladi, bu yerda {{Math|''r''}} oʻzgarmas, {{Math|1=''r'' = ''ℓ''}} .
[[Fayl:Spherical_pendulum_Lagrangian_mechanics.svg|thumb|300x300px| Sferik mayatnik : burchaklar va tezliklar.]]
Ushbu tizim uchun Lagrangian <ref>{{Harvard citation no brackets|Landau|Lifshitz|1976|pp=33–34}}</ref>:

<math display="block">L = \frac{1}{2} m\ell^2\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\ \dot{\varphi}^2 \right) + mg\ell\cos\theta.</math>

Gamiltonian shunday

<math display="block">H = P_\theta\dot \theta + P_\varphi\dot \varphi - L</math>

bu yerda

<math display="block">P_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = m\ell^2\dot \theta</math>

va

<math display="block">P_\varphi=\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = m\ell^2\sin^2 \!\theta \, \dot \varphi .</math>

Koordinatalar va impulslar nuqtai nazaridan, Gamiltonian buni oʻqiydi

<math display="block">H = \underbrace{\left[\frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 + \frac{1}{2} m\ell^2\sin^2\!\theta \,\dot \varphi^2\right]}_{T} + \underbrace{ \Big[-mg\ell\cos\theta\Big]}_{V} = \frac{P_\theta^2}{2m\ell^2} + \frac{P_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta} - mg\ell\cos\theta</math>

Gamilton tenglamalari toʻrtta birinchi tartibli differensial tenglamalarda koordinatalar va qoʻshma impulslarning vaqt evolyutsiyasini beradi,

<math display="block">\begin{align}
\dot {\theta}&={P_\theta \over m\ell^2}\\[6pt]
\dot {\varphi}&={P_\varphi \over m\ell^2\sin^2\theta}\\[6pt]
\dot {P_\theta}&={P_\varphi^2\over m\ell^2\sin^3\theta}\cos\theta-mg\ell\sin\theta \\[6pt]
\dot {P_\varphi}&=0.
\end{align}</math>

impulsi, bu burchak momentumining vertikal komponentiga mos keladi <math>L_z = \ell\sin\theta \times m\ell\sin\theta\,\dot\varphi</math>, harakat doimiysi. Bu vertikal oʻq atrofida tizimning aylanish simmetriyasining natijasidir. Gamiltonian, [[Azimut|azimutdan]] yoʻq boʻlish <math>\varphi</math> siklik koordinata boʻlib, uning qoʻshma impulsining saqlanishini nazarda tutadi.

== Gamilton tenglamalarini chiqarish ==
Gamilton tenglamalarini Lagrangian bilan hisoblash yoʻli bilan olish mumkin <math>\mathcal L</math>, umumlashtirilgan pozitsiyalar {{Mvar|q<sup>i</sup>}} va umumlashtirilgan tezliklar {{Mvar|q̇<sup>i</sup>}}, bu yerda <math>i = 1,\ldots,n</math> <ref>This derivation is along the lines as given in {{Harvard citation no brackets|Arnol'd|1989|pp=65–66}}</ref>. Bu yerda biz qobiqdan tashqari ishlaymiz, yaʼni <math>q^i, \dot{q}^i, t</math> Har qanday harakat tenglamalariga rioya qilish uchun cheklanmagan faza fazosidagi mustaqil koordinatalar (xususan, <math>\dot{q}^i</math> ning hosilasi emas <math>q^i</math>). Lagrangianning umumiy farqi :

<math display="block">\mathrm{d} \mathcal{L}
= \sum_i \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^i} \, \mathrm{d} \dot{q}^i \right)
+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t \ .</math>

Umumlashtirilgan impuls koordinatalari quyidagicha aniqlandi:<math>p_i = \partial \mathcal{L}/\partial \dot{q}^i</math>, shuning uchun tenglamani quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

<math display="block"> \begin{align}
\mathrm{d} \mathcal{L} 
=& \sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d} q^i 
+ p_i \mathrm{d} \dot{q}^i \right) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t
\\
=& 
\sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d}q^i + \mathrm{d}( p_i \dot{q}^i) - \dot{q}^i \, \mathrm{d} p_i \right) 
+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\,.
\end{align}
</math>

Qayta tartibga solishdan keyin quyidagilar olinadi:

<math display="block">\mathrm{d}\! \left ( \sum_i p_i \dot{q}^i - \mathcal{L} \right ) 
= \sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d} q^i + \dot{q}^i \mathrm{d}p_i \right) 
- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .</math>

Chap tarafdagi qavs ichidagi atama faqat Gamiltoniandir

<math display="inline">\mathcal H = \sum p_i \dot{q}^i - \mathcal L</math>

ilgari belgilangan, shuning uchun:

<math display="block">\mathrm{d} \mathcal{H} 
= \sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d} q^i + \dot{q}^i \, \mathrm{d} p_i \right) 
- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .</math>

Gamiltonianning umumiy differensialini ham hisoblash mumkin <math>\mathcal H</math> koordinatalariga nisbatan <math>q^i, p_i, t</math> oʻrniga <math>q^i, \dot{q}^i, t</math>, hosil beradi:

<math display="block">\mathrm{d} \mathcal{H}
=\sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i +
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right) 
+ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .</math>

Endi bu ikki ifodani tenglashtirish mumkin <math>d\mathcal H</math>, jihatidan biri <math>\mathcal L</math>, ikkinchisi jihatidan <math>\mathcal H</math> :

<math display="block">\sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i + \dot{q}^i \mathrm{d} p_i \right) 
- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t
\ =\ 
\sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i +
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right) 
+ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .</math>

Ushbu hisob-kitoblar qobiqdan tashqari boʻlgani sababli, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirish mumkin <math>\mathrm{d}q^i, \mathrm{d}p_i, \mathrm{d}t</math> ikki tomondan:

<math display="block">\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} = - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \quad, 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} = \dot{q}^i \quad, 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}\ . </math>

Bunda, biri parametrik funksiyalarni almashtiradi <math>q^i=q^i(t) </math> tezliklar bilan faza fazosida trayektoriyani belgilaydi <math display="inline">\dot q^i = \tfrac{d}{dt}q^i(t) </math>, Lagrange tenglamalariga boʻysunish:

<math display="block">\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} = 0\ . </math>

Qobiqdagi nuqtai nazardan qayta tartibga solish va yozish <math>p_i = p_i(t) </math> beradi:

<math display="block">\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} = \dot{p}_i\ . </math>

Shunday qilib, Lagranj tenglamalari Gamilton tenglamalariga ekvivalentdir:

<math display="block">\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} =- \dot{p}_i \quad , 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} = \dot{q}^i \quad , 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} = - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\, .</math>

Vaqtdan mustaqil boʻlgan holda <math>\mathcal H</math> va <math>\mathcal L</math>, yaʼni <math>\partial\mathcal H/\partial t = -\partial\mathcal L/\partial t = 0</math> , Gamilton tenglamalari {{Math|2''n''}} birinchi tartibli [[Differensial tenglama|differensial tenglamalardan]], Lagranj tenglamalari esa {{Mvar|n}} ikkinchi tartibli tenglamalardan iborat. Gamilton tenglamalari odatda aniq yechimlarni topish qiyinligini kamaytirmaydi, lekin ulardan muhim nazariy natijalarni olish mumkin, chunki koordinatalar va momentlar deyarli simmetrik rollarga ega boʻlgan mustaqil oʻzgaruvchilardir.
Gamilton tenglamalarining Lagranj tenglamalaridan yana bir afzalligi bor: agar tizim simmetriyaga ega boʻlsa, baʼzi koordinatalar <math>q_i </math> Gamiltonianda (yaʼni ''tsiklik koordinatada'') yuzaga kelmaydi, mos keladigan impuls koordinatasi. <math>p_i </math> har bir traektoriya boʻylab saqlanadi va bu koordinatani toʻplamning boshqa tenglamalarida doimiyga kamaytirish mumkin. Bu muammoni {{Mvar|n}} koordinatadan {{Math|(''n'' − 1)}} koordinatagacha samarali qisqartiradi: bu geometriyadagi simplektik qisqarishning asosidir. Lagranj tizimida impulsning saqlanishi ham darhol sodir boʻladi, ammo barcha umumiy tezliklar <math>\dot q_i </math> hali ham Lagranjiyada uchraydi va {{Mvar|n}} koordinatali tenglamalar sistemasi haligacha yechilishi kerak<ref name="Goldstein">{{Harvard citation no brackets|Goldstein|Poole|Safko|2002|pp=347–349}}</ref>.
Lagrangian va Gamilton yondashuvlari klassik mexanikada chuqurroq natijalar uchun zamin yaratadi va [[Kvant mexanika|kvant]] mexanikasida oʻxshash formulalarni taklif qiladi: yoʻl integral formulasi va [[Shredinger tenglamasi]] .

== Gamiltonianning xossalari ==

* Gamiltonning qiymati <math> \mathcal H</math> tizimning umumiy energiyasi, agar energiya funksiyasi boʻlsa <math>E_ \mathcal L</math> bir xil xususiyatga ega. (Tanrifiga qarang <math> \mathcal H).</math>
* <math>\frac{d \mathcal H}{dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}</math> qachonki <math>\mathbf p(t), \mathbf q(t)</math> Gamilton tenglamalarining yechimini hosil qilamiz.{{Abzats}} Haqiqatdan ham, <math display="inline">\frac{d \mathcal H}{dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{p}}\cdot \dot\boldsymbol{p} + \frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{q}}\cdot \dot\boldsymbol{q} + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t},</math> va oxirgi muddatdan tashqari hamma narsa bekor qilinadi.
* <math> \mathcal H</math> ''nuqta oʻzgarishlarida'', yaʼni silliq oʻzgarishlarda oʻzgarmaydi <math>\boldsymbol{q} \leftrightarrow \boldsymbol{q'}</math> kosmik koordinatalar. (Energetika funksiyasining oʻzgarmasligidan kelib chiqadi <math>E_{\mathcal L}</math> nuqta oʻzgarishlari ostida. <math>E_{\mathcal L}</math> ning oʻzgarmasligi bevosita oʻrnatilishi mumkin).
* <math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}.</math> (Qarang: Gamilton tenglamalarini chiqarish).
* <math>-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = \dot p_i = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i}.</math> (Gemilton va Eyler-Lagranj tenglamalarini solishtiring yoki Gamilton tenglamalarini chiqarishga qarang).
* <math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = 0</math> agar va faqat agar <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i}=0.</math>{{Abzats}} Oxirgi tenglama bajariladigan koordinata ''tsiklik'' (yoki ''inkor etilmaydigan'') deyiladi. Har bir siklik koordinata <math>q^i</math> tomonidan erkinlik darajalari sonini kamaytiradi <math>1,</math> mos keladigan impulsni keltirib chiqaradi <math>p_i</math> saqlanishi kerak va Gamilton tenglamalarini yechishni osonlashtiradi .

== Elektromagnit maydondagi zaryadlangan zarrachaning Gamiltoniani ==
Gamilton mexanikasining yetarlicha tasviri [[Elektromagnit maydon|elektromagnit maydondagi]] zaryadlangan zarrachaning Gamiltonian tomonidan berilgan. [[Dekart koordinatalar tizimi|Dekart]] koordinatalarida elektromagnit maydondagi relyativistik boʻlmagan klassik zarrachaning lagranjiyani ([[Xalqaro birliklar tizimi|SI birliklarida]]):

<math display="block"> \mathcal{L} = \sum_i \tfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 + \sum_i q \dot{x}_i A_i - q \varphi</math>

Bu yerda {{Mvar|q}} — zarrachaning [[Elektr zaryad|elektr zaryadi]], {{Mvar|φ}} — [[Elektrostatik potensial|elektr skayar potentsiali]] va {{Mvar|A<sub>i</sub>}} — magnit vektor potentsialining tarkibiy qismlari, ularning barchasi aniq bogʻliq boʻlishi mumkin. <math>x_i</math> va <math>t</math> .

Ushbu Lagranj Eyler-Lagranj tenglamasi bilan birgalikda [[Lorents kuchi|Lorents kuch]] qonunini hosil qiladi.


<math display="block">m \ddot{\mathbf{x}} = q \mathbf{E} + q \dot{\mathbf{x}} \times \mathbf{B} \,, </math>va minimal ulanish deb ataladi.

Kanonik impulslar quyidagicha ifodalanadi:<math display="block"> p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial \dot{x}_i} = m \dot{x}_i + q A_i </math>

Gamiltonian, Lagrangianning Legendre oʻzgarishi sifatida, shuning uchun:

<math display="block"> \mathcal{H} = \sum_i \dot{x}_i p_i - \mathcal{L} = \sum_i \frac{ \left(p_i - q A_i\right)^2 }{2m} + q \varphi </math>

Bu tenglama [[Kvant mexanika|kvant mexanikasida]] tez-tez ishlatiladi.

Oʻlchov transformatsiyasi ostida:<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla f \,, \quad \varphi \rightarrow \varphi-\dot f \,, </math>Bu yerda {{Math|''f''('''r''', ''t'')}} fazo va vaqtning har qanday skalyar funksiyasi boʻlib, yuqorida aytib oʻtilgan Lagranj, kanonik impuls va Gamilton oʻzgarishiga oʻxshash:
<math display="block">L \rightarrow L'= L+q\frac{df}{dt} \,, \quad \mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p'} = \mathbf{p}+q\nabla f \,, \quad H \rightarrow H' = H-q\frac{\partial f}{\partial t} \,, </math>

Bu hali ham xuddi shu Gamilton tenglamasini ishlab chiqaradi:

<math display="block"> \begin{align}
\left.\frac{\partial H'}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}&=\left.\frac{\partial}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}(\dot x_ip'_i-L')=-\left.\frac{\partial L'}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i} \\
&=-\left.\frac{\partial L}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}-q\left.\frac{\partial}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}\frac{df}{dt} \\
&= -\frac{d}{dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial{\dot x_i}}\right|_{p'_i}+q\left.\frac{\partial f}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}\right)\\
&=-\dot p'_i
\end{align} </math>

Kvant mexanikasida [[Toʻlqin funksiyasi|toʻlqin funksiyasi]] ham oʻlchagich transformatsiyasi vaqtida mahalliy U(1) guruh transformatsiyasiga oʻtadi, bu esa mahalliy U(1) transformatsiyalar ostida barcha fizik natijalar oʻzgarmas boʻlishi kerakligini bildiradi<ref>{{Cite journal|last=Zinn-Justin|first1=Jean|last2=Guida|first2=Riccardo|date=2008-12-04|title=Gauge invariance|journal=Scholarpedia|language=en|volume=3|issue=12|pages=8287|doi=10.4249/scholarpedia.8287|bibcode=2008SchpJ...3.8287Z|issn=1941-6016}}</ref>.

=== Elektromagnit maydondagi relativistik zaryadlangan zarracha ===
Zarra uchun relativistik lagranj (tinch massa <math>m</math> va [[Elektr zaryad|zaryadlash]] <math>q</math>) tomonidan berilgan:

<math display="block">\mathcal{L}(t) = - m c^2 \sqrt {1 - \frac{{\dot{\mathbf{x}}(t)}^2}{c^2}} + q \dot{\mathbf{x}}(t) \cdot \mathbf{A} \left(\mathbf{x}(t),t\right) - q \varphi \left(\mathbf{x}(t),t\right) </math>

Shunday qilib, zarrachaning kanonik impulsi:

<math display="block">\mathbf{p}(t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{x}}} = \frac{m \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt {1 - \frac{{\dot{\mathbf{x}}}^2}{c^2}}} + q \mathbf{A} </math>

yaʼni kinetik impuls va potensial impulsning yigʻindisi.

Tezlikni yechib, biz olamiz

<math display="block">\dot{\mathbf{x}}(t) = \frac{\mathbf{p} - q \mathbf{A} }{\sqrt {m^2 + \frac{1}{c^2}{\left( \mathbf{p} - q \mathbf{A} \right) }^2}} </math>

Gamiltonian ham shunday

<math display="block">\mathcal{H}(t) = \dot{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{p} - \mathcal{L} = c \sqrt {m^2 c^2 + {\left( \mathbf{p} - q \mathbf{A} \right) }^2} + q \varphi </math>

Natijada kuch tenglamasi (Eyler-Lagranj tenglamasiga teng)

<math display="block">\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{x}} = q \dot{\mathbf{x}}\cdot(\boldsymbol{\nabla} \mathbf{A}) - q \boldsymbol{\nabla} \varphi = q \boldsymbol{\nabla}(\dot{\mathbf{x}} \cdot\mathbf{A}) - q \boldsymbol{\nabla} \varphi </math>

undan olish mumkin

<math display="block">\begin{align}
\frac\mathrm{d}{\mathrm{d} t}\left(\frac{m \dot{\mathbf{x}}} {\sqrt {1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^2}{c^2}}}\right)
&=\frac\mathrm{d}{\mathrm{d} t}(\mathbf{p} - q \mathbf{A})=\dot\mathbf{p}-q\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-q(\dot\mathbf{x}\cdot\nabla)\mathbf{A}
\\
&=q \boldsymbol{\nabla}(\dot{\mathbf{x}} \cdot\mathbf{A}) - q \boldsymbol{\nabla} \varphi -q\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-q(\dot\mathbf{x}\cdot\nabla)\mathbf{A} \\
&= q \mathbf{E} + q \dot{\mathbf{x}} \times \mathbf{B}
\end{align} </math>

Yuqoridagi hosila vektor hisob identifikatoridan foydalanadi:<math display="block"> \tfrac{1}{2} \nabla \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \right)
= \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{A}
= \mathbf{A} \cdot (\nabla \mathbf{A})
= (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) .</math>Relyativistik (kinetik) impulsning funksiyasi sifatida Gamiltonian uchun ekvivalent ifoda, <math>\mathbf{P} = \gamma m \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{p} - q \mathbf{A}</math>, hisoblanadi

<math display="block">\mathcal{H}(t) = \dot{\mathbf{x}}(t) \cdot \mathbf{P}(t) +\frac{mc^2}{\gamma} + q \varphi (\mathbf{x}(t),t)=\gamma mc^2+ q \varphi (\mathbf{x}(t),t)=E+V</math>

Bu kinetik impulsning afzalligi <math>\mathbf{P}</math> kanonik impulsni eksperimental ravishda oʻlchash mumkin, <math>\mathbf{p}</math>da mumkin emas. Eʼtibor bering, Gamiltonian ([[Energiya|toʻliq energiya]]) [[Kinetik energiya|nisbiy energiya (kinetik + dam)]] yigʻindisi sifatida koʻrib chiqilishi mumkin, <math>E = \gamma m c^2</math>, ortiqcha [[Potensial energiya|potentsial energiya]], <math>V = q \varphi</math> .

== Simplektik geometriyadan Gamilton tenglamalarigacha ==

=== Gamilton sistemalarining geometriyasi ===
Gamiltonian bir necha ekvivalent usullar bilan silliq juft oʻlchamli {{Math|''M''<sup>2''n''</sup>}} koʻp qirrali simplektik strukturani keltirib chiqarishi mumkin, eng yaxshi maʼlum boʻlganlari quyidagilardir{{Sfn|Arnol'd|Kozlov|Neĩshtadt|1988}}:

Yopiq degenerativ simplektik 2-forma sifatida ō. Darbu teoremasiga koʻra, {{Mvar|M}} ning istalgan nuqtasi atrofidagi kichik mahallada tegishli mahalliy koordinatalar mavjud. <math>p_1, \cdots, p_n, \ q_1, \cdots, q_n</math> (''kanonik'' yoki ''simplektik'' koordinatalar), bunda simplektik shakl quyidagicha boʻladi:

<math display="block">\omega = \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq_i \, .</math>Shakl <math>\omega</math> kotangent fazo bilan tangens fazoning tabiiy izomorfizmini keltirib chiqaradi: <math>T_xM \cong T^*_xM.</math> Bu vektorni xaritalash orqali amalga oshiriladi <math>\xi \in T_x M</math> 1-shaklga <math>\omega_\xi \in T^*_xM,</math> bu yerda <math>\omega_\xi (\eta) = \omega(\eta, \xi)</math> Barcha uchun <math>\eta \in T_x M.</math> Bilinearligi va degeneratsiyasi tufayli <math>\omega,</math> va bu haqiqat <math>\dim T_x M = \dim T^*_x M,</math> xaritalash <math>\xi \to \omega_\xi</math> Bu, albatta, chiziqli izomorfizmdir . Bu izomorfizm ''tabiiydir'', chunki u koordinatalar oʻzgarishi bilan oʻzgarmaydi <math>M.</math> Hammasini takrorlash <math>x \in M,</math> biz izomorfizm bilan yakunlaymiz <math>J^{-1} : \text{Vect}(M) \to \Omega^1(M)</math> silliq vektor maydonlarining cheksiz oʻlchovli fazosi va silliq 1-shakllar orasidagi. Har biri uchun <math>f,g \in C^\infty(M,\Reals)</math> va <math> \xi,\eta \in \text{Vect}(M),</math>

<math display="block">J^{-1}(f\xi + g\eta) = fJ^{-1}(\xi) + gJ^{-1}(\eta).</math>

(Algebraik nuqtai nazardan, shuni aytish mumkin <math>C^\infty(M,\Reals)</math> -modullar <math> \text{Vect}(M) </math> va <math>\Omega^1(M)</math> izomorf). Agar <math>H \in C^\infty(M \times \R_t, \R),</math> keyin, har bir sobit uchun <math>t \in \R_t,</math><math>dH \in \Omega^1(M),</math> va <math>J(dH) \in \text{Vect}(M).</math><math>J(dH)</math> Gamilton vektor maydoni sifatida tanilgan. <math>M</math>da tegishli differensial tenglama yoqilgan.

<math display="block">\dot{x} = J(dH)(x)</math>

{{Em|Hamilton tenglamasi}} deyiladi. Bu yerda <math>x=x(t)</math> va <math>J(dH)(x) \in T_xM</math> vektor maydonining (vaqtga bogʻliq) qiymati <math>J(dH)</math> da <math>x \in M.</math>

Gamilton tizimini {{Mvar|R}} [[vaqt]] davomida tolalar toʻplami {{Mvar|E}} deb tushunish mumkin, {{Mvar|E<sub>t</sub>}} tolasi {{Math|''t'' ∈ ''R''}} vaqtidagi joylashuv maydonidir. Shunday qilib, Lagrangian jet toʻplamining {{Mvar|J}} ustida {{Mvar|E}} ustidagi funksiyasi; Lagranjning tolali Legendre konvertatsiyasini olib, vaqt oʻtishi bilan dual toʻplamda funksiya hosil qiladi, uning tolasi {{Mvar|t}} dagi kotangent fazosi {{Math|''T''<sup>∗</sup>''E<sub>t</sub>''}} boʻlib, u tabiiy simplektik shakl bilan jihozlangan va bu oxirgi funksiya Gamiltoniandir. Lagranj va Gamilton mexanikasi oʻrtasidagi yozishmalarga tavtologik bir shakl bilan erishiladi.

Simplektik manifolddagi har qanday silliq real qiymatli H funksiyasidan Gamilton tizimini aniqlash uchun foydalanish mumkin. H funksiyasi „Gamiltonian“ yoki „energiya funksiyasi“ deb nomlanadi. Simplektik manifold keyin fazo fazosi deb ataladi. Gamiltonian simplektik manifoldda Gamilton vektor maydoni deb nomlanuvchi maxsus vektor maydonini induksiya qiladi.

Gamilton vektor maydoni manifoldda Gamilton oqimini keltirib chiqaradi. Bu kollektor oʻzgarishlarining bir parametrli oilasi (egri chiziqlar parametri odatda „vaqt“ deb ataladi); boshqacha qilib aytganda, simplektomorfizmlarning izotopi, identifikatsiyadan boshlab. Liuvil teoremasiga koʻra, har bir simplektomorfizm faza fazosida hajm shaklini saqlaydi. Gamilton oqimi tomonidan qoʻzgʻatilgan simplektomorfizmlar toʻplami odatda Gamilton tizimining „Gamilton mexanikasi“ deb ataladi.

Simplektik tuzilma Puasson qavsni keltirib chiqaradi. Puasson qavs Lie algebrasining strukturasi manifoldidagi funksiyalar maydonini beradi.

Agar {{Mvar|F}} va {{Mvar|G}} {{Mvar|M}} da silliq funksiyalar boʻlsa, silliq funksiya {{Math|ω<sup>2</sup>(''IdG'', ''IdF'')}} toʻgʻri aniqlanadi; u {{Mvar|F}} va {{Mvar|G}} funksiyalarning ''Puasson qavsi'' deyiladi va {{Math|{''F'', ''G''}<nowiki/>}} bilan belgilanadi. Poisson qavs quyidagi xususiyatlarga ega:

# ikkilik
# antisimmetriya
# Leybnits qoidasi : <math>\{F_1 \cdot F_2, G\} = F_1\{F_2, G\} + F_2\{F_1, G\}</math>
# Yakobi identifikatori : <math>\{\{H,F\}, G\} + \{\{F, G\}, H\} + \{\{G, H\}, F\} \equiv 0</math>
# degeneratsiya emas: agar {{Mvar|M}} dagi {{Mvar|x}} nuqta {{Mvar|F}} uchun muhim boʻlmasa, u holda silliq {{Mvar|G}} funktsiyasi mavjud boʻladi <math>\{F, G\}(x) \neq 0</math> .

{{Mvar|f}}  funksiya berilgan<math display="block">\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f = \frac{\partial }{\partial t} f + \left\{f,\mathcal{H}\right\},</math>


agar ehtimollik taqsimoti mavjud boʻlsa {{Mvar|ρ}}, u holda (fazo fazo tezligidan beri <math>(\dot{p}_i, \dot{q}_i)</math> nol divergensiyaga ega va ehtimollik saqlanib qolgan) uning konvektiv hosilasi nolga teng ekanligini koʻrsatish mumkin va shuning uchun

<math display="block">\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \left\{\rho ,\mathcal{H}\right\}</math>

Bu Liuvil teoremasi deb ataladi. Simplektik manifold ustidagi har bir silliq funksiya {{Mvar|G}} simplektomorfizmlarning bir parametrli oilasini hosil qiladi va agar {{Math|1={''G'', ''H''} = 0}} boʻlsa, u holda {{Mvar|G}} saqlanib qoladi va simplektomorfizmlar [[Simmetriya|simmetriya oʻzgarishlari]] hisoblanadi.

Gamiltonian bir nechta saqlangan miqdorlarga ega boʻlishi mumkin {{Mvar|G<sub>i</sub>}} . Agar simplektik manifold {{Math|2''n''}} oʻlchamga ega boʻlsa va involyutsiyada boʻlgan {{Mvar|n}} funksional mustaqil saqlangan {{Mvar|G<sub>i</sub>}} kattaliklari mavjud boʻlsa (yaʼni, {{Math|1={''G''<sub>''i''</sub>, ''G''<sub>''j''</sub>} = 0}}), u holda Gamiltonian Liuvil integrallanishi mumkin . Liuvil-Arnold teoremasi shuni koʻrsatadiki, lokal ravishda har qanday Liuvil integrallanadigan Gamiltonian simplektomorfizm orqali yangi Gamiltonianga koordinatalar sifatida {{Mvar|G<sub>i</sub>}} saqlanib qolgan kattaliklarga aylantirilishi mumkin; yangi koordinatalar ''harakat burchagi koordinatalari'' deb ataladi. Oʻzgartirilgan Gamiltonian faqat {{Mvar|G<sub>i</sub>}} ga bogʻliq va shuning uchun harakat tenglamalari oddiy shaklga ega.

<math display="block"> \dot{G}_i = 0 \quad, \quad \dot{\varphi}_i = F_i(G)</math>baʼzi funksiyalar uchun {{Mvar|F}} <ref>{{Harvard citation no brackets|Arnol'd|Kozlov|Neĩshtadt|1988}}</ref>. KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser) teoremasi tomonidan boshqariladigan integral tizimlardan kichik ogʻishlarga qaratilgan butun bir maydon mavjud.

Gamilton vektor maydonlarining integralligi ochiq savol. Umuman olganda, Gamilton tizimlari xaotikdir; oʻlchov, toʻliqlik, yaxlitlik va barqarorlik tushunchalari kam taʼriflangan.

=== Riman manifoldlari ===
Muhim maxsus holat kvadrat shakllar boʻlgan Gamiltonianlardan iborat, yaʼni shunday yozilishi mumkin boʻlgan Gamiltonianlar.

<math display="block">\mathcal{H}(q, p) = \tfrac{1}{2} \langle p, p\rangle_q</math>

Bu yerda {{math|⟨ , ⟩<sub>''q''</sub>}} — {{math|''T''{{su|b=''q''|p=∗}}''Q''}} tolalaridagi silliq oʻzgaruvchan ichki mahsulot, [[Konfiguratsiya maydoni (fizika)|konfiguratsiya maydonidagi]] {{Mvar|q}} nuqtasiga kotangent boʻshliq, baʼzan komerik deb ataladi. Bu Gamiltonian butunlay kinetik atamadan iborat.

Agar Rieman manifoldu yoki psevdo-Riman manifoldini hisobga oladigan boʻlsak, Rieman metrikasi tangens va kotangens toʻplamlari oʻrtasida chiziqli izomorfizmni keltirib chiqaradi. (Qarang: Musiqiy izomorfizm). Ushbu izomorfizmdan foydalanib, komerikni aniqlash mumkin. (Koordinatalarda belgilovchi matritsa metrikani belgilovchi matritsaga teskarisidir.) Bu Gamiltonian uchun Gamilton-Jakobi tenglamalarining yechimlari manifolddagi [[Geodezik chiziq|geodeziya]] bilan bir xil boʻladi. Xususan, bu holda Gamilton oqimi [[Geodezik chiziq|geodezik oqim]] bilan bir xil narsadir. Bunday yechimlarning mavjudligi va yechimlar toʻplamining toʻliqligi [[Geodezik chiziq|geodeziya]] maqolasida batafsil muhokama qilinadi. Hamilton oqimlari sifatida Geodeziyaga qarang.

=== Sub-Riman manifoldlari ===
Kometrika degenerativ boʻlsa, u teskari emas. Bunday holda, metrikaga ega boʻlmaganidek, Rieman manifoldiga ega emas. Biroq, Gamiltonian hali ham mavjud. Kometrik konfiguratsiya manifoldu {{Mvar|Q}} ning har {{Mvar|q}} nuqtasida degeneratsiyaga uchragan holatda, komerikning darajasi manifold {{Mvar|Q}} oʻlchamidan kichik boʻlishi uchun, birida Riemanning pastki manifoldiga ega boʻladi.

Bu holatda Gamiltonian '''sub-rimanlik Gamiltonian''' sifatida tanilgan. Har bir bunday Gamiltonian komerikni oʻziga xos tarzda aniqlaydi va aksincha. Bu shuni anglatadiki, har bir sub-rimanlik manifold oʻzining sub-rimanlik Gamiltonian tomonidan noyob tarzda aniqlanadi va buning aksi toʻgʻri: har bir sub-rimanlik manifold noyob sub-rimanlik Gamiltonianga ega. Sub-Riman geodeziyasining mavjudligi Chou-Rashevskiy teoremasi bilan berilgan.

Uzluksiz, haqiqiy qiymatli Heisenberg guruhi sub-Riemann manifoldining oddiy misolini beradi. Heisenberg guruhi uchun Gamiltonian tomonidan berilgan


<math display="block">\mathcal{H}\left(x,y,z,p_x,p_y,p_z\right) = \tfrac{1}{2}\left( p_x^2 + p_y^2 \right).</math>

{{Mvar|p<sub>z</sub>}} Hamiltonianni ichiga kirmaydi.

=== Puasson algebralari ===
Gamilton tizimlarini turli yoʻllar bilan umumlashtirish mumkin. Simplektik manifold ustidagi silliq funksiyalar algebrasini oddiygina koʻrib chiqish oʻrniga, Gamilton mexanikasi umumiy kommutativ birlik [[Haqiqiy sonlar|real]] Puasson algebralarida shakllantirilishi mumkin. Holat Puasson algebrasidagi [[Uzluksiz funksiya|uzluksiz]] chiziqli funksionaldir (baʼzi mos topologiyalar bilan jihozlangan), algebraning istalgan {{Mvar|A}} elementi uchun {{Math|''A''<sup>2</sup>}} manfiy boʻlmagan haqiqiy songa mos keladi.

Yana bir umumlashtirish Nambu dinamikasi tomonidan berilgan.

=== Puasson qavs orqali kvant mexanikasiga umumlashtirish ===
Yuqoridagi Gamilton tenglamalari [[klassik mexanika]] uchun yaxshi ishlaydi, lekin [[Kvant mexanika|kvant mexanikasi]] uchun emas, chunki muhokama qilingan differensial tenglamalar bir vaqtning oʻzida istalgan vaqtda zarrachaning aniq oʻrni va momentumini belgilash mumkinligini taxmin qiladi. Shu bilan birga, tenglamalarni keyinchalik umumlashtirish mumkin, keyin esa kvant mexanikasiga, shuningdek klassik mexanikaga, Puasson algebrasini {{Mvar|p}} va {{Mvar|q}} nisbatan Moyal qavslar algebrasiga deformatsiya qilish orqali kengaytirish mumkin.

Xususan, Gamilton tenglamasining umumiy shakli oʻqiydi

<math display="block">\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \left\{f, \mathcal{H}\right\} + \frac{\partial f}{\partial t}</math>Bu yerda {{Mvar|f}} {{Mvar|p}} va {{Mvar|q}} ning baʼzi funksiyasi, H esa Gamiltonian. Differensial tenglamalarga murojaat qilmasdan Puasson qavsni baholash qoidalarini bilish uchun Li algebrasiga qarang; Puasson qavs — bu Puasson algebrasidagi Li qavsning nomi. Keyinchalik bu Puasson qavslari Hilbrand J. Groenewold tomonidan isbotlanganidek, tengsiz Li algebrasiga mos keladigan Moyal qavslariga kengaytirilishi mumkin va shu bilan fazalar fazosida kvant mexanik diffuziyasini tasvirlaydi (Faza fazosining formulasiga va Wigner-Veyl konvertatsiyasiga qarang). Ushbu koʻproq algebraik yondashuv nafaqat fazalar boʻshligʻida ehtimollik taqsimotini Wigner kvazi-ehtimollik taqsimotiga kengaytirish imkonini beradi, balki oddiy Puasson qavs klassik sozlamalarida tizimdagi tegishli saqlangan miqdorlarni tahlil qilishda koʻproq kuch beradi.

==Manbalar==
{{reflist}}

==Adabiyotlar==
* Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgenii Mikhailovich (1976). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1. Sykes, J. B. (John Bradbury), Bell, J. S. (3rd ed.). Oxford. ISBN 0-08-021022-8. OCLC 2591126.
* Abraham, R.; Marsden, J.E. (1978). Foundations of mechanics (2d ed., rev., enl., and reset ed.). Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC 3516353.
* Arnol'd, V. I.; Kozlov, V. V.; Neĩshtadt, A. I. (1988). "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics". Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III. Vol. 3. Anosov, D. V. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC 16404140.
* Arnol'd, V. I. (1989). Mathematical methods of classical mechanics (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352.
* Goldstein, Herbert; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Classical mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311.
* Vinogradov, A. M.; Kupershmidt, B A (1977-08-31). "The structure of Hamiltonian mechanics". Russian Mathematical Surveys. 32 (4): 177–243. 

[[Turkum:Fizika]]
[[Turkum:Mexanika]]