Ziyosfera

Kechikuvchi potensiallar

Электромагнит тўлқинлар қуйидаги дифференсиал тенгламаларга бўйсунади:

дивА+1c∂φ∂т=0;(1){\дисплайстйле \техтрм{див}\техтбф{А}+\фраc{1}{c}\дфраc{\партиал\варпҳи}{\партиал т}=0;\ \ \ \ \ \ (1)}
ΔА−1c2∂2А∂т2=−4π1c;(2){\дисплайстйле \Делта\техтбф{А}-\фраc{1}{c^{2}}\дфраc{\партиал^{2}\техтбф{А}}{\партиал т^{2}}=-4\пи\фраc{1}{c};\ \ \ \ \ \ (2)}
Δφ−1c2∂2φ∂т2=−4πρ;(3){\дисплайстйле \Делта\варпҳи-\фраc{1}{c^{2}}\дфраc{\партиал^{2}\варпҳи}{\партиал т^{2}}=-4\пи\рҳо;\ \ \ \ \ \ \ (3)}

Кўриниб турибдики, хусусий ҳосилалардан иборат чизиқли дифференсиал тенгламалар системаси билан амал қилишга тўғри келади.

Чексиз кичик ҳажмдаги заряд δэ=ρдВ{\дисплайстйле \делта э=\рҳо дВ} бўлади. Координаталар бошини шу зарядда жойлашган деб ҳисоблаймиз. У вақтда, дВ{\дисплайстйле дВ} ҳажмдан ташқаридаги (Р≠0){\дисплайстйле (Р\не 0)} нуқталарда заряд йўқ, демак (2 — 3) га мувофиқ

дивА+1c∂φ∂т=0;(4){\дисплайстйле \техтрм{див}\техтбф{А}+\фраc{1}{c}\дфраc{\партиал\варпҳи}{\партиал т}=0;\ \ \ \ \ \ (4)}
ΔА−1c2∂2А∂т2=0;(5){\дисплайстйле \Делта \техтбф{А}-\фраc{1}{c^{2}}\дфраc{\партиал^{2}\техтбф{А}}{\партиал т^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (5)}
Δφ−1c∂2φ∂т2=0;(6){\дисплайстйле \Делта\варпҳи-\фраc{1}{c}\дфраc{\партиал^{2}\варпҳи}{\партиал т^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (6)}

δэ{\дисплайстйле \делта э} заряднинг дв{\дисплайстйле дв} ҳажмдан ташқаридаги нуқталарда ҳосил қилган майдони координаталар бошигача бўлган масофа ва вақтгагина боғлиқ, яъни майдон сферик симметрияга эга. Энди Лаплас операторини сферик координаталарда ёзиб кўрсак, (6) га мувофиқ

1Р2∂∂Р(Р2∂φ∂Р)−1c2∂2φ∂т2=0;(7){\дисплайстйле \фраc{1}{Р^{2}}\дфраc{\партиал}{\партиал Р}\лефт(Р^{2}\фраc{\партиал\варпҳи}{\партиал Р}\ригҳт)-\фраc{1}{c^{2}}\дфраc{\партиал^{2}\варпҳи}{\партиал т^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (7)}

Қуйидаги кўринишда янги функсия киритамиз:

φ(т)=ψ(Р,т)Р;(8){\дисплайстйле \варпҳи(т)=\фраc{\пси(Р,т)}{Р};\ \ \ \ \ \ (8)}

Кўриниб турибдики,

∂φ∂Р=1Р∂ψ∂Р−ψР2,{\дисплайстйле \фраc{\партиал\варпҳи}{\партиал Р}=\фраc{1}{Р}\фраc{\партиал\пси}{\партиал Р}-\фраc{\пси}{Р^{2}},}
Р2∂φ∂Р=Р∂ψ∂Р−ψ,{\дисплайстйле Р^{2}\фраc{\партиал\варпҳи}{\партиал Р}=Р\фраc{\партиал\пси}{\партиал Р}-\пси,}
∂∂Р(Р2∂φ∂Р)=Р∂2ψ∂Р2+∂ψР−∂ψР=Р∂2ψ∂Р2,{\дисплайстйле \дфраc{\партиал}{\партиал Р}\лефт(Р^{2}\фраc{\партиал\варпҳи}{\партиал Р}\ригҳт)=Р\фраc{\партиал^{2}\пси}{\партиал Р^{2}}+\фраc{\партиал\пси}{Р}-\фраc{\партиал\пси}{Р}=Р\фраc{\партиал^{2}\пси}{\партиал Р^{2}},}
1Р2∂∂Р(Р2∂φ∂Р)=1Р∂2ψ∂Р2{\дисплайстйле \фраc{1}{Р^{2}}\дфраc{\партиал}{\партиал Р}\лефт(Р^{2}\фраc{\партиал\варпҳи}{\партиал Р}\ригҳт)=\фраc{1}{Р}\фраc{\партиал^{2}\пси}{\партиал Р^{2}}}
1c2∂2φ∂т2=1c2∂2ψ∂т2{\дисплайстйле \фраc{1}{c^{2}}\дфраc{\партиал^{2}\варпҳи}{\партиал т^{2}}=\фраc{1}{c^{2}}\фраc{\партиал^{2}\пси}{\партиал т^{2}}}

Демак, (7) га мувофиқ

∂2ψ∂Р2−1c∂2ψ∂т2=0;(9){\дисплайстйле \дфраc{\партиал^{2}\пси}{\партиал Р^{2}}-\фраc{1}{c}\дфраc{\партиал^{2}\пси}{\партиал т^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (9)}

бўлади. Бу ясси электромагнит то'лқин тенгламасидир. Шундай қилиб,

ψ=ψ1(т+Рc)+ψ2(т−Рc).(10){\дисплайстйле \пси=\пси_{1}\лефт(т+\фраc{Р}{c}\ригҳт)+\пси_{2}\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт).\ \ \ \ \ \ \ (10)}

То'лқин тенгламанинг хусусий ечимигина бизни қизиқтиради. Шу сабабли ψ2{\дисплайстйле \пси_{2}} билан чекланамиз:

ψ=ψ(т−Рc).(11){\дисплайстйле \пси=\пси\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт).\ \ \ \ \ \ (11)}

У ҳолда, (8) га мувофиқ

φ(т)=ψ(т−Рc)Р.(12){\дисплайстйле \варпҳи (т)=\фраc{\пси\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт)}{Р}.\ \ \ \ \ \ (12)}

бўлади. Кўриниб турибдики, вақт ўтиши билан (т>0{\дисплайстйле т>0}) тўлқин радиуснинг орта бориш томонига қараб тарқалади. Номаълум ψ(т−Рc){\дисплайстйле \пси\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт)} функсияни аниқлаш лозим.

Зарядга чексиз яқин турган нуқталар учун Рc{\дисплайстйле \фраc{Р}{c}} чексиз кичик. Демак, φ(т)=ψ(т)Р{\дисплайстйле \варпҳи(т)=\фраc{\пси(т)}{Р}}. Маълумки, заряднинг Кулон потенсиали:

φ(т)=δэ(т)Р=ρ(т)дВР{\дисплайстйле \варпҳи(т)=\фраc{\делта э(т)}{Р}=\фраc{\рҳо(т)дВ}{Р}}

Демак, ψ(т)=ρ(т)дВ{\дисплайстйле \пси(т)=\рҳо(т)дВ}, бу ердан ψ(т−Рc)=ρ(т−Рc)дВ{\дисплайстйле \пси\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт)=\рҳо\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт)дВ}, у вақтда (12) га мувофиқ

φ(т)=ρ(т−Рc)дВР.(13){\дисплайстйле \варпҳи(т)=\фраc{\рҳо\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт)дВ}{Р}.\ \ \ \ \ \ (13)}

Кўрамизки, (13) га асосан, кузатиш нуқтасида вақтнинг т{\дисплайстйле т} моментидаги потенсиал вақтнинг олдинги т′=т−Рc{\дисплайстйле т^{\приме}=т-\фраc{Р}{c}} моментидаги заряд зичлиги билан аниқланади. Заряд турган жойда вақтнинг т′=т−Рc{\дисплайстйле т^{\приме}=т-\фраc{Р}{c}} моментида пайдо бўлган потенсиал Р{\дисплайстйле Р} масофани Рc{\дисплайстйле \фраc{\техтбф{Р}}{c}} вақтда ўтиб, кузатиш нуқтасига Рc{\дисплайстйле \фраc{Р}{c}} вақт кечикиш билан етиб келади. Шунинг учун (13) билан ифодаланган потенсиал кечикувчи потенсиал деб юритилади.

Зарядлар системасининг потенсиали

Зарядлар системасининг потенсиалини аниқлаш учун (13) формулани системанинг барча зарядлари жойлашган ҳажм бўйича интеграллаш лозим:

φ(т)=∫ρ(т−Рc)РдВ;(14){\дисплайстйле \варпҳи(т)=\инт \фраc{\рҳо\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт)}{Р}\,дВ;\ \ \ \ \ \ (14)}

Худди шунингдек,

А(т)=1c∫ж(т−Рc)РдВ;(15){\дисплайстйле \техтбф{А}(т)=\фраc{1}{c}\инт \фраc{\техтбф{ж}\лефт(т-\фраc{Р}{c}\ригҳт)}{Р}\,дВ;\ \ \ \ \ \ (15)}

Ушбу тенгламаларда заряд турган нуқтани координаталар боши сифатида олинган. Агар координаталар бошини системанинг ичидаги бошқа бирор нуқтага кўчирилса, янги координаталар бошига нисбатан заряд турган нуқтанинг радиус-вектори р′{\дисплайстйле \техтбф{р}^{\приме}} ва кузатиш нуқтасининг радиус-вектори р{\дисплайстйле \техтбф{р}} билан белгиланади. Демак,

Р=р−р′;(16){\дисплайстйле \техтбф{Р}=\техтбф{р}-\техтбф{р}^{\приме};\ \ \ \ \ \ (16)}

бўлади. Янги координаталар бошига нисбатан кечикувчи потенсиаллар қуйидагича ёзилади:

φ(р,т)=∫ρ(р′,т−|р−р′|c)|р−р′|дВ;(17){\дисплайстйле \варпҳи(\техтбф{р},т)=\инт \фраc{\рҳо\лефт(\техтбф{р}^{\приме},\ т-\фраc{|\техтбф{р}-\техтбф{р}^{\приме}|}{c}\ригҳт)}{|\техтбф{р}-\техтбф{р}^{\приме}|}\,дВ;\ \ \ \ \ \ (17)}
А(р,т)=1c∫ж′(р′,т−|р−р′|c)|р−р′|дВ;(18){\дисплайстйле \техтбф{А}(\техтбф{р},т)=\фраc{1}{c}\инт \фраc{\техтбф{ж}^{\приме}\лефт(\техтбф{р}^{\приме},\ т-\фраc{|\техтбф{р}-\техтбф{р}^{\приме}|}{c}\ригҳт)}{|\техтбф{р}-\техтбф{р}^{\приме}|}\,дВ;\ \ \ \ \ \ (18)}

Адабиётлар

  • Р.Х.Маллин, Классик электродинамика, Тошкент, 1974

Яна қаранг

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Kechikuvchi_potensiallar" dan olindi