Ziyosfera

Normal moda

Динамик системанинг нормал модаси – бу системанинг барча қисмлари синусоидал равишда бир хил частотада ва белгиланган фаза боғланиши билан ҳаракатланадиган ҳаракатланиш шаклидир. Нормал модалар ёрдамида тушунтириладиган эркин ҳаракат белгиланган частоталарда содир бўлади. Тизимнинг нормал модаларининг ушбу белгиланган частоталари унинг табиий частоталари ёки резонанс частоталари деб номланади. Бино, кўприк ёки молекула каби физик об’эктнинг тузилиши, материаллари ва чегаравий шартларига боғлиқ бўлган табиий частоталари ва уларнинг нормал модалар тўплами мавжуд.

Чизиқли системанинг энг умумий ҳаракати унинг нормал режимларининг суперпозициясидир. Модалар мустақил ҳаракатлана олгани учун нормалдир, яъни битта режимнинг қўзғалиши ҳеч қачон бошқа моданинг ҳаракатига сабаб бўлмайди. Математик нуқтаи назардан нормал режимлар бир-бирига перпендикулярдир.

Айлана дискнинг битта нормал модасининг тебраниши, бутун ташқи қирраси бўйлаб маҳкамланган чегара шарти билан. Бошқа модаларни кўринг .
Оддий режимларда тебранаётган бир пиёла қора қаҳванинг флеш сурати

Файл:Спҳериcал ҳармониc ин wатер дроп.огв

Умумий тавсифлар

Мода

Физика ва муҳандисликнинг тўлқин назариясида динамик тизимдаги мода қўзғалишнинг турғун тўлқин ҳолати бўлиб, унда тизимнинг барча таркибий қисмлари ушбу мода билан боғлиқ бўлган белгиланган частотада синусоидал тарзда таъсир қилади.

Ҳеч қайси реал система турғун тўлқинга тўлиқ мос келмаслиги сабабли, мода тушунчаси тебранишнинг ўзига хос ҳолатларининг умумий тавсифи сифатида қабул қилинади, шунинг учун динамик тизимни чизиқли режимда кўриб чиқади, бунда ҳолатларнинг чизиқли суперпозициясини амалга ошириш мумкин.

Механик системаларда

Боғланган осилляторлар

Икки тенг жисмни (гравитация таъсирида бўлмаган) кўрайлик, ҳар бирининг массаси м, учта пружинага боғланган, ҳар бирининг бикрлиги к . Улар физик жиҳатдан симметрик система ташкил этиб, қуйидаги тарзда тузилади:

чеккадаги нуқталар қотирилган ва ҳаракатлана олмайди. Чапдаги массанинг горизонтал кўчишини белгилаш учун х 1 (т) ва ўнг массанинг кўчишини белгилаш учун х 2 (т) дан фойдаланамиз.

Агар тезланишни (вақтга нисбатан х (т) нинг иккинчи ҳосиласи) х¨{\дисплайстйле \сcрипцтйле \ддот х} деб белгиласак, ҳаракат тенгламалари :

мх¨1=−кх1+к(х2−х1)=−2кх1+кх2мх¨2=−кх2+к(х1−х2)=−2кх2+кх1{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

м \ддот х_1 &= - к х_1 + к (х_2 - х_1) = - 2 к х_1 + к х_2 \\
м \ддот х_2 &= - к х_2 + к (х_1 - х_2) = - 2 к х_2 + к х_1

\энд{алигн}}

Нормал моданинг тебранма ҳаракатини кутганимиз учун (бу ерда ω иккала масса учун бир хил), биз қуйидагини ишлатиб кўрамиз:

х1(т)=А1эиωтх2(т)=А2эиωт{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

х_1(т) &= А_1 э^{и \омега т} \\
х_2(т) &= А_2 э^{и \омега т}

\энд{алигн}}

−ω2мА1эиωт=−2кА1эиωт+кА2эиωт−ω2мА2эиωт=кА1эиωт−2кА2эиωт{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

-\омега^2 м А_1 э^{и \омега т} &= - 2 к А_1 э^{и \омега т} + к А_2 э^{и \омега т} \\
-\омега^2 м А_2 э^{и \омега т} &= к А_1 э^{и \омега т} - 2 к А_2 э^{и \омега т}

\энд{алигн}}

Экспоненсиал барча жойда учрагани учун биз уни қисқартирамиз ва соддалаштирамиз:

(ω2м−2к)А1+кА2=0кА1+(ω2м−2к)А2=0{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

(\омега^2 м - 2 к) А_1 + к А_2 &= 0 \\
к А_1 + (\омега^2 м - 2 к) А_2 &= 0

\энд{алигн}}

Ва матрица кўринишида:

[ω2м−2кккω2м−2к](А1А2)=0{\дисплайстйле \бегин{бматрих} \омега^2 м - 2 к & к \\ к & \омега^2 м - 2 к \энд{бматрих} \бегин{пматрих} А_1 \\ А_2 \энд{пматрих} = 0}

Агар чапдаги матрица тескари қилиш мумкин матрица бўлса, ягона ечим тривиал ечими (А 1 , А 2) = (х 1 , х 2) = (0,0). Тривиал бўлмаган ечимлари ω нинг чапдаги матрица сингуляр бўлган қийматлари учун топилади . Бундан келиб чиқадики, матрицанинг детерминанти 0 га тенг бўлиши керак, шунинг учун:

(ω2м−2к)2−к2=0{\дисплайстйле (\омега^2 м - 2 к)^2 - к^2 = 0}

ω{\дисплайстйле \омега} учун ечсак, бизда иккита мусбат ечим бор:

ω1=кмω2=3км{\дисплайстйле \бегин{алигн} 

\омега_1 &= \сқрт{\фраc{к}{м}} \\
\омега_2 &= \сқрт{\фраc{3 к}{м}}

\энд{алигн}}

Агар матрицага ω1 ни қўйсак ва (А 1 , А 2) учун ечсак биз (1, 1) ни оламиз. Агар ω2 ни ўрнига қўйсак, биз (1, −1) ниоламиз. (Бу векторлар хос векторлар, частоталар эса хос қийматлардир .)

Биринчи нормал мода:

η→1=(х11(т)х21(т))=c1(11)cос⁡(ω1т+φ1){\дисплайстйле \веc \эта_1 = \бегин{пматрих} х^1_1(т) \\ х^1_2(т) \энд{пматрих} = c_1 \бегин{пматрих} 1 \\ 1 \энд{пматрих} \cос{(\омега_1 т + \варпҳи_1)}}

Бу иккала массанинг бир вақтда бир хил йўналишда ҳаракатланади дегани. Ушбу мода антисимметрик деб аталади.

Иккинчи нормал мода:

η→2=(х12(т)х22(т))=c2(1−1)cос⁡(ω2т+φ2){\дисплайстйле \веc \эта_2 = \бегин{пматрих} х^2_1(т) \\ х^2_2(т) \энд{пматрих} = c_2 \бегин{пматрих} 1 \\ -1 \энд{пматрих} \cос{(\омега_2 т + \варпҳи_2)}}

Бу қарама-қарши йўналишда ҳаракатланадиган массаларга мос келади, масса маркази ҳаракациз қолади. Ушбу режим симметрик ҳисобланади.

Умумий ечим нормал модаларнинг суперпозицияси бўлиб, бунда c 1, c 2, φ1 ва φ2, масаланинг бошланғич шартлари билан аниқланади.

Бу жараённи Лагранж механикаси ёки Гамилтон механикаси формализми ёрдамида умумийлаштириш ва шакллантириш мумкин.

Турғун тўлқинлар

Турғун тўлқин нормал моданинг давомий шаклидир. Турғун тўлқинда барча фазо элементлари (яъни (х , й , з) координаталар) бир хил частотада ва фазада (мувозанат нуқтасига бирга етиб боради) тебранади, лекин ҳаммаси ҳар хил амплитудага эга.

Турғун тўлқиннинг умумий формаси:

Ψ(т)=ф(х,й,з)(Аcос⁡(ωт)+Бсин⁡(ωт)){\дисплайстйле \Пси(т) = ф(х,й,з) (А\cос(\омега т) + Б\син(\омега т))}

бу ерда ƒ (х , й , з) амплитуданинг жойлашувга боғлиқлигини, косинус\синус эса вақтга боғлиқ тебранишларни ифодалайди.

Физик жиҳатдан турғун тўлқинлар тўлқинларнинг интерференсияси (суперпозицияси) ва уларнинг қайтиши натижасида ҳосил бўлади (лекин буни тескари айтиш ҳам тўғри бўлади; ҳаракатланувчи тўлқин турувчи тўлқинларнинг суперпозициясидир). Муҳитнинг геометрик шакли интерференсия манзарасини аниқлайди, шунинг учун ƒ (х, й , з) турғун тўлқиннинг шакли. Бу фазога боғлиқлик нормал мода деб аталади.

Квант назариясига кўра, характеристик частотаси ню бўлган кристалл қаттиқ жисмнинг нормал тебраниш модасининг ўртача энергияси:

Э(ν)=12ҳν+ҳνэҳν/кТ−1{\дисплайстйле Э(\ну) = \фраc{1}{2}ҳ\ну + \фраc{ҳ\ну}{э^{ҳ\ну/кТ} - 1}}

(1/2)ҳв ҳади абсолют нолдаги осилятор энергиясини ифодалайди. Э(в) юқори ҳароратларда классик қиймат кТ га интилади.

Э(ν)=кТ[1+112(ҳνкТ)2+О(ҳνкТ)4+⋯]{\дисплайстйле Э(\ну) = кТ\лефт[1 + \фраc{1}{12}\лефт(\фраc{ҳ\ну}{кТ}\ригҳт)^2 + О\лефт(\фраc{ҳ\ну}{кТ}\ригҳт)^4 + \cдоц\ригҳт]}

Термодинамик формулани билган ҳолда,

(∂С∂Э)Н,В=1Т{\дисплайстйле \лефт( \фраc{\партиал С}{\партиал Э}\ригҳт)_{Н,В} = \фраc{1}{Т}}

Бирлик нормал мода энтропияси:

С(ν)=∫0ТддТЭ(ν)дТТ=Э(ν)Т−клог⁡(1−э−ҳνкТ){\дисплайстйле \бегин{алигн} 

С\лефт(\ну\ригҳт) &= \инт_0^Т\фраc{д}{дТ}Э\лефт(\ну\ригҳт)\фраc{дТ}{Т} \\[10пт]
        &= \фраc{Э\лефт(\ну\ригҳт)}{Т} - к\лог\лефт(1 - э^{-\фраc{ҳ\ну}{кТ}}\ригҳт)

\энд{алигн}}

Эркин энергия бу:

Ф(ν)=кТлог⁡(ҳνкТ){\дисплайстйле Ф(\ну) = кТ\лог \лефт(\фраc{ҳ\ну}{кТ}\ригҳт)}

кТ >> ҳн ҳолатда қуйидагиларга интилади:

Ички энергия ва солиштирма иссиқликни ҳисоблаш учун биз в ва в+дв қийматлари орасидаги частотанинг нормал тебраниш модалари сонини билишимиз керак. Шу рақамни ф(в)дв қилиб олайлик. Нормал модаларнинг умумий сони 3Н га тенг бўлгани учун ф (в) функсияси қуйидагича ифодаланади:

Квант механикасида

Квант механикасида ҳолат Фаилед то парсе (Ункноwн фунcтион \ранг): {\дисплайстйле \ | \пси \ранг} система тўлқин функцияси ψ(х,т){\дисплайстйле \ \пси (х, т)}(Шредингер тенгламасини ечади) билан тушунтирилади. ψ{\дисплайстйле \ \пси} нинг абсолют қийматининг квадрати, яъни:

П(х,т)=|ψ(х,т)|2{\дисплайстйле \ П(х,т) = |\пси (х,т)|^2}

заррани т вақтда х жойда ўлчаш эҳтимоллик зичлигидир.

Одатда, потенциал иштирок этганда, тўлқин функсияси энергиянинг хос ҳолатларининг суперпозициясига парчаланади, уларнинг ҳар бири ω=Эн/ℏ{\дисплайстйле \омега = Э_н / \ҳбар} частота билан тебранади. Демак қуйидагини ёза оламиз

Фаилед то парсе (Ункноwн фунcтион \ранг): {\дисплайстйле |\пси (т) \ранг = \сум_н |н\ранг \лефт\лангле н | \пси ( т=0) \ригҳт\рангле э^{-иЭ_нт/\ҳбар}}

Ўхшаш мавзулар

  • Антирезонанс
  • Критик тезлик
  • Гармоник осилатор
  • Гармоник серия (мусиқа)
  • Инфрақизил спектроскопия
  • Оқиш режими
  • Механик резонанс
  • Модали анализ
  • Мода (электромагнитизм)
  • Квазинормал мода
  • Штурм-Лиувил назарияси
  • Бурилиш тебраниши
  • Айлана мембрананинг тебранишлари

Манбалар

Ташқи ҳаволалар

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Normal_moda" dan olindi