Ziyosfera

Yukava potensiali

Заррачалар, атом ва конденсацияланган муҳитлар физикасида Юкава потенсиали (шунингдек, экранланган Кулон потенсиали деб ҳам аталади) япон физиги Хидеки Юкава номи билан аталган потенсиалдир. Потенциал қуйидаги шаклга эга:

ВЮкаwа(р)=−г2э−αмрр,{\дисплайстйле В_\техт{Юкаwа}(р)= -г^2\фраc{э^{-\алпҳа м р}}{р},}

Бу ерда г - масштаб шкаласи константаси, я'ни потенциал амплитудаси, м - заррачанинг массаси, р - заррачагача бо'лган радиал масофа ва α - бошқа масштаб константаси, шунинг учун р≈1αм{\дисплайстйле р \аппрох \тфраc{1}{\алпҳа м}} тахминий диапазондир. Потенсиал р -да монотон равишда ортиб бормоқда ва у салбий, бу кучнинг тортишиш кучилигини билдиради. ХБС тизимида Юкава потенциалининг бирлиги (1/метр).

Электромагнетизмнинг Кулон потенциали Юкава потенциалига мисол бо'ла олади, бунда э−αмр{\дисплайстйле э^{-\алпҳа мр}} фактор 1 га тенг. Буни фотон массаси м 0 га тенг деб талқин қилиш мумкин. Фотон о'заро та'сир қилувчи, зарядланган зарралар орасидаги та'сир ташувчисидир.

Мезон майдони ва фермион майдони о'ртасидаги о'заро та'сирларда г доимийси ушбу майдонлар орасидаги о'лчов жуфтлиги константасига тенг. Ядро кучига келсак, фермионлар протон билан бошқа протон ёки нейтрон бо'лиши мумкин.

Тарихи

Хидеки Юкаванинг 1935-йилдаги мақоласигача[1] физиклар Жеймс Чадвикнинг кичик ядро ичида жойлашган, радиуси 10-14 метр бўлган мусбат зарядланган протон ва нейтронлардан иборат атом модели натижаларини тушунтириш учун курашдилар. Физиклар бу масштабдаги электромагнит кучлар та'сири протонларнинг бир-бирини итариши ва натижада ядро парчаланишига олиб келишини билишган.[2] Шундай қилиб, элементар зарралар орасидаги о'заро та'сирларни янада тушунтириш учун мотивация пайдо бо'лди. 1932-йилда Вернер Ҳеисенберг ядро ичидаги нейтронлар ва протонлар о'ртасидаги "Платзwечсел" (миграция) о'заро та'сирини таклиф қилди, унга ко'ра нейтронлар протон ва электронлардан иборат композит зарралар эди. Ушбу композит нейтронлар электронларни чиқаради, протонлар билан тортишиш кучи ҳосил қилади ва кейин о'злари протонларга айланади. 1933-йилда Солвай конференциясида Гейзенберг о'зининг о'заро та'сирини таклиф қилганда,куч қисқа масофалилиги туфайли, физиклар бу икки шаклда бо'лиши мумкин деб тахмин қилишди:

Ж(р)=аэ−брорЖ(р)=аэ−бр2{\дисплайстйле Ж(р) = аэ^{-бр} \қуад \техтрм{ор}\қуад Ж(р) = аэ^{-бр^2}}

[3] Бироқ, унинг назариясида ко'п муаммолар бор эди. Я'ни, спини 1/2бо'лган электрон ва протоннинг спини 1/2 бо'лган нейтрон ҳосил қилиши мумкин эмасди. Гейзенберг бу масалага муносабати изоспин г'ояларини шакллантиришга давом этади.

Кулон потенциалига бог'лиқлиги

1-расм: г = 1 ва турли м масса учун Юкава потенсиалларини таққослаш.
2-расм: г = 1 бо'лган Юкава ва Кулон потенциалларини "узоқ масофали"(катта масштабда) таққослаш.

Агар заррачанинг массаси бо'лмаса (я'ни, м = 0), у ҳолда Юкава потенсиали Кулон потенсиалига камаяди ва диапазон чексиз дейилади. Аслида, бизда қуйидаги чиқади:

м=0⇒э−αмр=э0=1.{\дисплайстйле м=0 \Ригҳтарроw э^{-\алпҳа м р}= э^0 = 1.}

Натижада, тенглама ко'риниши

ВЮкаwа(р)=−г2э−αмрр{\дисплайстйле В_{\техт{Юкаwа}}(р)= -г^2 \;\фраc{э^{-\алпҳа мр}}{р}}

Кулон потенциали шаклига соддалашади

ВCоуломб(р)=−г21р.{\дисплайстйле В_{\техт{Cоуломб}}(р)= -г^2 \;\фраc{1}{р}.}

бу ерда биз масштаб константасини о'рнатамиз:[4]

г2=қ1қ24πε0{\дисплайстйле г^2 = \фраc{қ_1 қ_2}{4 \пи \варепсилон_0}}

Юкава ва Кулон учун узоқ масофали потенциал кучнинг таққосланиши 2-расмда ко'рсатилган. Ко'риниб турибдики, Кулон потенциали узоқроқ масофага та'сир қилади, Юкава потенциали эса нолга тез яқинлашади. Бироқ, ҳар қандай Юкава потенциали ёки Кулон потенсиали ҳар қандай катта р учун нолга тенг эмас.

Фуре конвертацияси

Юкава потенциалининг массив майдон билан бог'лиқлигини тушунишнинг энг осон ё'ли унинг Фуре конвертациясини о'рганишдир.

В(р)=−г2(2π)3∫эик⋅р4πк2+(αм)2д3к{\дисплайстйле В(\матҳбф{р}) = \фраc{-г^2}{(2\пи)^3} \инт э^{и\матҳбф{к \cдот р}} \фраc {4\пи}{к^2+(\алпҳа м)^2} \,\матҳрм{д}^3 к}

бу ерда интеграл к 3-вектор моментининг барча мумкин бо'лган қийматлари бо'йича бажарилади. Ушбу шаклда ва масштаблаш факторини бирга тенг деб белгилаш, α=1{\дисплайстйле \алпҳа = 1}, каср 4πк2+м2{\дисплайстйле \фраc{4 \пи}{к^2 + м^2}} Клеин-Гордон тенгламасининг тарг'иботчиси ёки Грин функцияси сифатида ко'рилади.

Фейнман амплитудаси

Якка заррача алмашинуви.

Юкава потенциалини жуфт фермионнинг о'заро та'сирининг энг паст тартибли амплитудаси сифатида олиш мумкин. Юкава о'заро та'сири фермион майдонини бирлаштиради ψ(х){\дисплайстйле \пси(х)} мезон майдонига ϕ(х){\дисплайстйле \пҳи(х)}

Линт(х)=гψ‾(х)ϕ(х)ψ(х).{\дисплайстйле \матҳcал{Л}_\матҳрм{инт}(х) = г~\оверлине{\пси}(х)~\пҳи(х)~\пси(х)~.}

уланиш термини билан бирлаштиради. Икки фермион учун тарқалиш амплитудаси, бири п1{\дисплайстйле п_1} иккинчиси эса п2{\дисплайстйле п_2}бошланг'ич импулсга эга, момент к билан мезонни алмашиши, о'нгдаги Фейнман диаграммаси билан берилган.

Ҳар бир чо'ққи учун Фейнман қоидалари г факторини амплитуда билан бог'лайди; бу диаграмманинг иккита чо'ққиси борлиги сабабли, умумий амплитуда факторга эга бо'лади г2{\дисплайстйле г^2}. Икки фермион чизиг'ини бог'лайдиган о'ртадаги чизиқ мезон алмашинувини ифодалайди. Заррачалар алмашинуви учун Фейнман қоидаси - тарқатувчидан фойдаланиш; массив мезоннинг тарг'иботчиси ҳисобланади −4πк2+м2{\дисплайстйле \фраc{-4\пи}{~к^2+м^2~}}. Шундай қилиб, биз ушбу график учун Фейнман амплитудаси бошқа нарса эмаслигини ко'рамиз

Шредингер тенгламасининг хусусий қийматлари

Юкава потенциалига эга бо'лган радиал Шредингер тенгламасини пертурбатив тарзда эчиш мумкин.[5][6][7].  Радиал Шредингер тенгламасидан қуйидаги шаклда фойдаланамиз

[д2др2+к2−ℓ(ℓ+1)р2−В(р)]Ψ(ℓ,к;р)=0,{\дисплайстйле \лефт[\фраc{\матҳрм{д}^2}{\матҳрм{д}р^2} + к^2 - \фраc{\элл(\элл + 1)}{р^2} - В(р)\ригҳт] \Пси\лефт(\элл,к;\,р\ригҳт) = 0,}

ва куч билан кенгайтирилган шаклда Юкаwа потенсиали:

В(р)=∑ж=−1∞Мж+1(−р)ж,{\дисплайстйле В(р) = \сум_{ж = -1}^{\инфтй} М_{ж + 1} \, (-р)^ж,}

ва К=жк{\дисплайстйле К = жк} созлаш киритамиз, бурчак моменти учун ℓ{\дисплайстйле \элл} ифода олинади:

ℓ+н+1=−Δн(К)2К{\дисплайстйле \элл + н + 1 = -\фраc{\,\Делта_н(К)\,}{2К}}

|К|→∞{\дисплайстйле |К| \то \инфтй} учун,

Δн(К)=М0−12К2[н(н+1)М2+М0М1]−2н+14К3М0М2++18К4[3(н−1)н(н+1)(н+2)М4+2(3н2+3н−1)М3М0++6н(н+1)М2М1+2М2М02+3М12М0]++2н+18К5[3(н2+н−1)М4М0+3М3М02+н(н+1)М22+4М2М1М0]++\матҳcалО⁡(1К7).{\дисплайстйле \бегин{алигн} &\Делта_н(К) = М_0 - \фраc{1}{\,2К^2\,}\Бигл[\,н(н + 1)\,М_2 + М_0\,М_1\,\Бигр] - \фраc{\,2н + 1\,}{4К^3}\,М_0\,М_2 ~+ \\ &\ққуад\ққуад\қуад + \фраc{1}{\,8К^4\,}\,\Бигл[\,3(н-1)н(н+1)(н+2)\,М_4 + 2 (3н^2 + 3н - 1)\,М_3\,М_0 ~+ \\ &\ққуад\ққуад\ққуад\ққуад\ққуад ~+~ 6н(н + 1)\,М_2\,М_1 + 2\,М_2\,М_0^2 + 3М_1^2\,М_0\,\Бигр] ~+ \\ &\ққуад\ққуад\қуад + \фраc{\,2н + 1\,}{\,8К^5\,}\,\Бигл[\,3(н^2 + н - 1)\,М_4\,М_0 + 3\,М_3\,М_0^2 + н(н + 1)\,М_2^2 + 4\,М_2\,М_1\,М_0\,\Бигр]~+ \\ &\ққуад\ққуад\қуад +~ \операторнаме{\матҳcал О}\Бигл(\,\фраc{1}{\,К^7\,}\,\Бигр) ~. \энд{алигн}}

Орбитал бурчак моменти ёки Регге траэкторияси учун юқоридаги кенгайиш ℓ(К){\дисплайстйле \элл(К)} энергиянинг хос қийматларини ёки |К|2{\дисплайстйле \бигл|К\бигр|^2} эквивалентини олиш учун қайтарилиши мумкин.

|К|2=−М1+14(ℓ+н+1)2{М02−4н(н+1)(ℓ+н+1)2М2М0+4(2н+1)(ℓ+н+1)2М2М0++4(ℓ+н+1)4М03[3(н−1)н(н+1)(н+2+3)М4М0+−3н2(н+1)2М22+2(3н2+3н−1)М3М02+2М2М03]+−24(2н+1)(ℓ+н+1)5М04[(н2+н−1)М0М4+М03М3−н(н+1)М22]+−4(ℓ+н+1)6М07[10(н−2)(н−1)н(н+1)(н+2)(н+3)М6М02++4М3М05+2(5н(н+1)(3н2+3н−10)+12)М5М03++2(6н2+6н−11)М4М04+2(9н2+9н−1)М22М03+−10н(н+1)(3н2+3н+2)М3М2М02+20н3(н+1)3М23+−30(н−1)н2(н+1)2(н+2)М4М2М0]+⋯}.{\дисплайстйле \бегин{алигн} &\бигл|К\бигр|^2 ~=~ - М_1 ~+~ \фраc{1}{\,4(\элл+н+1)^2\,}\,\биггл\{\; М_0^2 - 4н(н+1)(\элл+н+1)^2 \,М_2\, М_0 + 4(2н+1)(\элл+н+1)^2\фраc{М_2}{\;М_0\,} ~+ \\ &\қуад +~4\фраc{\;(\элл+н+1)^4\,}{М_0^3}\,\Бигл[\,3(н-1)н(н+1)(н+2+3)\,М_4\,М_0 ~+ \\ & \ққуад \ққуад \ққуад \ққуад \ққуад \ққуад - ~ 3 н^2(н+1)^2\,М_2^2 + 2(3н^2+3н-1)\,М_3\,М_0^2 + 2\,М_2\,М_0^3\,\Бигр] ~+ \\ &\қуад - ~ 24\фраc{\,(2н+1)(\элл+н+1)^5\,}{М_0^4}\,\Бигл[\,(н^2 + н - 1)\,М_0\,М_4 + М_0^3\,М_3 - н(н+1)\,М_2^2\,\Бигр] ~+ \\ &\қуад - ~ 4\,\фраc{\,(\элл + н + 1)^6\,}{М_0^7}\,\Бигл[~10(н-2)(н-1)н(н+1)(н+2)(н+3)\,М_6\,М_0^2 ~+ \\ &\ққуад \ққуад \ққуад \ққуад + ~ 4\,М_3\,М_0^5 + 2\Бигл(\,5н(н+1)(3 н^2 + 3н - 10) + 12\,\Бигр)\,М_5\,М_0^3 ~+\\ &\ққуад \ққуад \ққуад \ққуад + ~ 2 (6 н^2 + 6н - 11)\, М_4\,М_0^4 + 2(9 н^2 + 9н - 1)\,М_2^2\,М_0^3 ~+ \\ &\ққуад \ққуад \ққуад \ққуад - ~ 10 н(н+1)(3 н^2 + 3н + 2)\, М_3\,М_2\,М_0^2 + 20 н^3(н+1)^3\, М_2^3 ~+ \\ &\ққуад \ққуад \ққуад \ққуад - ~ 30 (н-1)н^2(н+1)^2(н+2)\,М_4\,М_2\,М_0\,\Бигр] \қуад + \қуад \cдоц \биггр\} \қуад. \энд{алигн}}

Юқоридаги бурчак моментининг асимптотик кенгайиши ℓ(К){\дисплайстйле \элл(К)} нинг камайиб бораётган кучларида К{\дисплайстйле К} WКБ методи билан ҳам олиниши мумкин. Бироқ, у ҳолда, Кулон потенциалидаги каби ℓ(ℓ+1){\дисплайстйле \элл(\элл+1)} ифода Шредингер тенгламасининг марказдан қочма ҳади (ℓ+12)2{\дисплайстйле \лефт(\элл+\тфраc{1}{2}\ригҳт)^2} билан алмаштирилиши керак.

Ко'ндаланг кесим

Юкава потенциалидан фойдаланиб, протон ва нейтрон ёки пион о'ртасидаги дифференциал кесимни ҳисоблашимиз мумкин. Биз Борн яқинлашувидан фойдаланамиз, бу бизга сферик симметрик потенциалда биз чиқувчи тарқоқ то'лқин функсиясини кирувчи текислик то'лқин функцияси ва кичик четлашишнинг йиг'индиси сифатида тахмин қилишимиз мумкинлигини айтади:

ψ(р→)≈А[(эипр)+эипррф(θ)]{\дисплайстйле \пси(\веc{р}) \аппрох А \лефт[(э^{ипр}) + \фраc{э^{ипр}}{р} ф(\тҳета) \ригҳт]}

бу ерда п→=пз^{\дисплайстйле \веc{п} = п \ҳат{з}} заррачанинг киришдаги импулси. Функция ф(θ){\дисплайстйле ф(\тҳета)} қуйидагича берилган:

ф(θ)=−2μℏ2|п→−п→′|∫0∞рВ(р)син⁡(|п→−п→′|р)др{\дисплайстйле ф(\тҳета) = \фраc{-2\му}{\ҳбар^2 \лефт|\веc{п}-\веc{п}' \ригҳт|} \, \инт_{0}^{\инфтй} р \, В(р) \, \син\лефт(\лефт|\веc{п}-\веc{п}'\ригҳт| р \ригҳт) ~ \матҳрм{д}р}

бу ерда п→′=пр^{\дисплайстйле \веc п' = п \ҳат р} заррачанинг чиқишдаги тарқоқ импулси ва μ{\дисплайстйле \му} кирувчи зарраларнинг массаси (пион массаси м,{\дисплайстйле м,} билан адаштирмаслик керак). Биз ВЮкаwа{\дисплайстйле В_\техт{Юкаwа}} га ф(θ){\дисплайстйле ф(\тҳета)} ни киритиш орқали ҳисоблаймиз :

ф(θ)=2μℏ2|п→−п→′|г2∫0∞э−αмрсин⁡(|п→−п→′|р)др{\дисплайстйле ф(\тҳета) = \фраc{2\му}{\ҳбар^2 \лефт|\веc{п}-\веc{п}'\ригҳт|} \, г^2 \инт_{0}^{\инфтй} э^{-\алпҳа м р} \, \син \лефт(\лефт|\веc{п} - \веc{п}'\ригҳт| \, р \ригҳт) \, \матҳрм{д}р}

Интегрални баҳолаш қуйидагини беради

ф(θ)=2μг2ℏ2[(αм)2+|п→−п→′|2]{\дисплайстйле ф(\тҳета) = \фраc{2 \му г^2}{\ҳбар^2\,\лефт[(\алпҳа м)^2 + \лефт| \веc{п} - \веc{п}' \ригҳт|^2\ригҳт]}}

Энергияни тежаш назарда тутадики:

|п→|=|п→′|=п{\дисплайстйле \бигл|\веc п\бигр| = \бигл|\веc п'\бигр| = п~}

Шунинг учун:

|п→−п→′|=2псин⁡(12θ){\дисплайстйле \лефт|\веc п - \веc п'\ригҳт| = 2\,п\,\син\лефт(\тфраc{1}{2}\тҳета\ригҳт)~}

о'рнига қо'йиш орқали қуйидагини оламиз:

ф(θ)=2μг2ℏ2[(αм)2+4п2син⁡2(12θ)]{\дисплайстйле ф(\тҳета) = \фраc{2 \му г^2}{\ҳбар^2 \лефт[(\алпҳа м)^2 + 4\,п^2\,\син^2\лефт({\фраc{1}{2}\тҳета}\ригҳт)\ригҳт]}}

Шундай қилиб, биз дифференсиал кесимни оламиз:[4]

дσдΩ=|ф(θ)|2=4μ2г4ℏ4[(αм)2+4п2син⁡2(12θ)]2{\дисплайстйле \фраc{\матҳрм д \сигма}{\матҳрм д \Омега} = \лефт|ф(\тҳета)\ригҳт|^2 = \фраc{4 \му^2 г^4}{\ҳбар^4\ \лефт[ (\алпҳа м)^2 + 4 п^2 \син^2\лефт(\фраc{1}{2}\тҳета\ригҳт) \ригҳт]^2}}

Интеграциялашда умумий кесим:

σ=∫дσдΩдΩ=4μ2г4ℏ4∫0π2πсин⁡(θ)дθ[(αм)2+4п2син⁡2(12θ)]2=4μ2г4ℏ44π(αм)2[(αм)2+4п2]{\дисплайстйле \сигма = \инт \фраc{\матҳрм{д} \сигма}{\матҳрм{д} \Омега} \матҳрм{д}\Омега = \фраc{4 \му^2 г^4}{\ҳбар^4} \инт_0^\пи \фраc{2\пи \син(\тҳета) \матҳрм{д}\тҳета}{\лефт[(\алпҳа м)^2 + 4 п^2 \син^2\лефт(\фраc{1}{2}\тҳета\ригҳт) \ригҳт]^2} = \фраc{4 \му^2 г^4}{\ҳбар^4} \фраc{4\пи}{(\алпҳа м)^2 \лефт[(\алпҳа м)^2 + 4п^2 \ригҳт]}}

Шунингдек қаранг

Манбалар

  1. ↑ Юкаwа, Ҳ. (1935). „Он тҳе интераcтион оф элементарй партиcлес“. Проc. Пҳйс. Матҳ. Соc. Жпн. 17-жилд. 48-бет.
  2. ↑ Линcолн, Дон. Ундерстандинг тҳе Универсе: Фром қуаркс то тҳе cосмос. Сингапоре: Wорлд Сcиэнтифиc, 2004 — 75–78-бет. ИСБН 978-9812387035. 
  3. ↑ Миллер, Артҳур И. (1985). „Wернер Ҳеисенберг анд тҳе бегиннинг оф нуcлеар пҳйсиcс“. Пҳйсиcс Тодай. 38-жилд, № 11. 60–68-бет. Бибcоде:1985ПҳТ....38к..60М. дои:10.1063/1.880993.
  4. ↑ 4,0 4,1 Гриффитҳс, Давид Ж.. Интродуcтион то Қуантум Мечаниcс. Cамбридге, Унитед Кингдом: Cамбридге Университй Пресс, 2017 — 415-бет. ИСБН 978-1-107-17986-8. 
  5. ↑ Мüллер, Ҳ.Ж.W. (1965). „Регге-Поле ин дер ничтрелативистисчен Потентиалстреуунг“. Аннален дер Пҳйсик (Герман). 470-жилд, № 7–8. 395–411-бет. Бибcоде:1965АнП...470..395М. дои:10.1002/андп.19654700708.{{cите магазине}}: CС1 маинт: унреcогнизед лангуаге ()
  6. ↑ Мüллер, Ҳ.Ж.W.; Счилчер, К. (Фебруарй 1968). „Ҳигҳ-энергй сcаттеринг фор Юкаwа потентиалс“. Жоурнал оф Матҳематиcал Пҳйсиcс. 9-жилд, № 2. 255–259-бет. дои:10.1063/1.1664576.
  7. ↑ Мüллер-Кирстен, Ҳаралд Ж.W.. Интродуcтион то Қуантум Мечаниcс: Счрöдингер эқуатион анд патҳ интеграл, 2нд, Сингапоре: Wорлд Сcиэнтифиc, 2012. ИСБН 978-9814397735.  
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Yukava_potensiali" dan olindi