Angarmoniya

Классик механикада анҳармониклик, тизимнинг ҳармоник осилатöр бўлишдан оғишидир . Ҳармоник ҳаракатда салıнмаян осилатор, анҳармоник осилатöр сифатида танилган, бу ерда тизим ҳармоник осилатöре яклаşтıрıлабилир ва анҳармониклик тебраниш назарияси ёрдамида ҳисобланиши мумкин. Агар анҳармония катта бўлса, унда бошқа рақамли усуллардан фойдаланиш керак. Ҳақиқатда барча тебранувчи тизимлар ҳармоникдир, лекин гармоник осилаторга кўпроқ яқинроқ бўлса, тебраниш амплитудаси қанчалик кичик бўлса.

Натижада, частоталар билан тебранишлар ${\дисплайстйле 2\омега}$ ва ${\дисплайстйле 3\омега}$ ва бошқалар, қаерда ${\дисплайстйле \омега}$ осилаторнинг асосий частотаси, пайдо бўлади. Бундан ташқари, частота ${\дисплайстйле \омега}$ частотасидан четга чиқади ${\дисплайстйле \омега_0}$ гармоник тебранишлардан. Шунингдек қаранг интермодüласён ва комбинация оҳанглари . Биринчи тахмин сифатида, частота силжиши ${\дисплайстйле \Делта \омега=\омега-\омега_0}$ тебраниш амплитудасининг квадратига пропорсионалдир ${\дисплайстйле А}$ :

{\дисплайстйле \Делта \омега\пропто А^2}

Табиий частоталар билан осилаторлар тизимида ${\дисплайстйле \омега_\алпҳа}$ , ${\дисплайстйле \омега_\бета}$ , … анҳармониклик частоталар билан қўшимча тебранишларга олиб келади ${\дисплайстйле \омега_\алпҳа\пм \омега_\бета}$ .

Ангармониклик резонанс эгри чизиғининг энергия профилини ҳам ўзгартиради, бу эса катлама эффекти ва суперҳармоник резонанс каби қизиқарли ҳодисаларга олиб келади.

Умумий тамойил

Ҳармониc вс. Анҳармониc Осcиллаторс

"Блок-он-а-баҳор" гармоник тебранишнинг классик намунасидир. Блокнинг жойлашувига қараб,

х

, у о'ртага қараб тикловчи кучга эга бо'лади. Қайта тикловчи куч

х

га пропорционалдир, шунинг учун тизим оддий гармоник ҳаракатни ко'рсатади.

Маятник оддий ва гармоник осилатордир. Массанинг бурчак ҳолатига қараб

тҳ

, тикловчи куч

тҳ

координатасини о'ртага орқага суради. Бу осилатор анҳармоник, чунки тикловчи куч

тҳ

га эмас, балки

син(тҳ)

га пропорционалдир. Чунки чизиқли функсия

й = тҳ

чизиқли бо'лмаган функсияга

й = син(тҳ)

яқинлашади.

тҳ

кичик, тизим кичик тебранишлар учун гармоник осилатор сифатида моделлаштирилган бо'лиши мумкин.

Осилатор — бу маятник, созлаш вилкаси ёки тебранувчи диатомик молекула каби даврий ҳаракат билан тавсифланган жисмоний тизим. Математик жиҳатдан айтганда, осилаторнинг муҳим хусусияти шундаки, тизимнинг баъзи $х$ координаталари учун катталиги $х$ га боғлиқ бўлган куч $х$ экстремал қийматлардан узоқлаштиради ва баъзи бир марказий қиймат $х 0$ томон итаради, бу эса $х$ нинг экстремаллар ўртасида тебранишини келтириб чиқаради. Мисол учун, $х$ маятникнинг дам олиш ҳолатидан силжишини ифодалаши мумкин $х =0$ . $х$ нинг мутлақ қиймати ошгани сайин, маятникнинг оғирлигига таъсир қилувчи тикловчи куч кучаяди ва бу уни дам олиш ҳолатига қайтаради.

Гармоник осилаторларда тикловчи куч $х$ нинг табиий ҳолатидан $х 0$ силжишига катталиги бўйича мутаносиб (ва йўналиш бўйича қарама-қарши) бўлади. Олинган дифференсиал тенглама $х$ нинг вақт ўтиши билан синусоидал тебранишини, тизимга хос бўлган тебраниш даврига эга бўлиши кераклигини англатади. $х$ ҳар қандай амплитуда билан тебраниши мумкин, лекин ҳар доим бир хил даврга эга бўлади.

Ангармоник осилаторлар эса тикловчи кучнинг х силжишига ночизиқли боғлиқлиги билан тавсифланади. Бинобарин, ангармоник осилаторнинг тебраниш даври унинг тебраниш амплитудасига боғлиқ бўлиши мумкин.

Ангармоник осилаторларнинг чизиқли бўлмаслиги натижасида тебраниш частотаси тизимнинг силжишига қараб ўзгариши мумкин. Тебраниш частотасидаги бу ўзгаришлар энергиянинг параметрик уланиш деб номланувчи жараён орқали асосий тебраниш частотасидан бошқа частоталарга боғланишига олиб келади.

Чизиқли бўлмаган тикловчи кучни х нинг табиий ҳолатидан силжишининг $Ф (х - х 0)$ функцияси сифатида кўриб чиқсак, биз $Ф$ унинг чизиқли яқинлашуви $Ф 1 = Ф' (0) \cdot (х - х 0)$ нолга алмаштиришимиз мумкин. силжиш. Тахминловчи функсия Ф ₁ чизиқли, шунинг учун у оддий гармоник ҳаракатни тасвирлайди. Бундан ташқари, бу $Ф 1$ функсияси $х - х 0$ кичик бўлганда аниқ бўлади. Шу сабабли, тебранишлар кичик бўлса, гармоник ҳаракатни гармоник ҳаракат сифатида тахмин қилиш мумкин.

Физикадан мисоллар

Жисмоний дунёда чизиқли бўлмаган масса - баҳор тизимига қўшимча равишда анҳармоник осилаторлар сифатида моделлаштирилиши мумкин бўлган кўплаб тизимлар мавжуд. Масалан, манфий зарядланган электрон булут билан ўралган мусбат зарядланган ядродан ташкил топган атом электр майдони мавжуд бўлганда ядронинг масса маркази ва электрон булут ўртасида силжишни бошдан кечиради. Электр дипол моменти деб аталадиган бу силжишнинг миқдори кичик майдонлар учун қўлланиладиган майдон билан чизиқли боғлиқдир, лекин майдон катталиги ошиши билан майдон ва дипол момент муносабатлари худди механик тизимдаги каби чизиқли бўлмаган бўлади.

Ангармоник осилаторларнинг бошқа мисоллари орасида катта бурчакли маятник; катта иссиқ ташувчи популяцияга эга бўлган мувозанациз яримўтказгичлар, улар ташувчиларнинг самарали массаси билан боғлиқ бўлган ҳар хил турдаги чизиқли бўлмаган хатти-ҳаракатларни намойиш этади; ва ионосфера плазмалари, улар ҳам плазманинг анҳармониклигига асосланган чизиқли бўлмаган хатти-ҳаракатларни кўрсатади, кўндаланг тебранувчи иплар . Аслида, деярли барча осилаторлар насос амплитудаси маълум бир чегарадан ошиб кетганда анҳармоник бўлиб қолади ва бунинг натижасида уларнинг хатти-ҳаракатларини тавсифлаш учун чизиқли бўлмаган ҳаракат тенгламаларидан фойдаланиш керак бўлади.

Ангармониклик панжара ва молекуляр тебранишларда, квант тебранишларида ^[1] ва акустикада рол ўйнайди. Молекула ёки қаттиқ жисмдаги атомлар мувозанат ҳолатида тебранади. Ушбу тебранишлар кичик амплитудаларга эга бўлганда, улар ҳармоник осилатöрлер томонидан тасвирланиши мумкин. Бироқ, тебраниш амплитудалари катта бўлганда, масалан, юқори ҳароратларда, анҳармониклик муҳим бўлади. Ангармониклик таъсирига мисол сифатида қаттиқ жисмларнинг термал кенгайиши киради, бу одатда квазигармоник яқинлашиш доирасида ўрганилади. Квант механикасидан фойдаланган ҳолда тебраниш анҳармоник тизимларни ўрганиш ҳисоблашни талаб қиладиган вазифадир, чунки ангармониклик нафақат ҳар бир осилаторнинг потенциалини мураккаблаштиради, балки осилаторлар ўртасидаги боғланишни ҳам келтириб чиқаради. Ҳар иккала молекула^[2] ва қаттиқ жисмлардаги атомлар томонидан бошдан кечирилган ангармоник потенциални хариталаш учун зичлик-функционал назария каби биринчи принциплардан фойдаланиш мумкин^[3]. Кейинчалик аниқ ангармоник тебраниш энергиясини ўртача майдон назарияси доирасида атомлар учун ангармоник тебраниш тенгламаларини эчиш орқали олиш мумкин. Ниҳоят, ўртача майдон формализмидан ташқарига чиқиш учун Моллер-Плессет тебраниш назариясидан фойдаланиш мумкин.

Тебранишлар даври

Массани кўриб чиқинг ${\дисплайстйле м}$ потенциал қудуқда ҳаракатланиш ${\дисплайстйле У(х)}$ . Тебраниш даври олиниши мумкин^[4]

${\дисплайстйле Т = \сқрт{2м} \инт_{х_{-}}^{х_{+}} \фраc{дх}{\сқрт{Э - У(х)}}}$

Манбалар

↑ Лим, Киэран Ф.; Cолеман, Wиллиам Ф. (Аугуст 2005), „Тҳе Эффеcт оф Анҳармониcитй он Диатомиc Вибратион: А Спреадшеэт Симулатион“, Ж. Чем. Эдуc., 82-жилд, № 8, 1263-бет, Бибcоде:2005ЖЧед..82.1263Ф, дои:10.1021/эд082п1263.1
↑ Жунг, Ж. О.; Беннй Гербер, Р. (1996), „Вибратионал wаве фунcтионс анд спеcтросcопй оф (Ҳ₂О)_н, н=2,3,4,5: Вибратионал селф-cонсистент фиэлд wитҳ cоррелатион cорреcтионс“, Ж. Чем. Пҳйс., 105-жилд, № 23, 10332-бет, Бибcоде:1996ЖЧПҳ.10510332Ж, дои:10.1063/1.472960
↑ Монсеррат, Б.; Друммонд, Н.Д.; Неэдс, Р.Ж. (2013), „Анҳармониc вибратионал пропертиэс ин периодиc сйстемс: энергй, элеcтрон-пҳонон cоуплинг, анд стресс“, Пҳйс. Рев. Б, 87-жилд, № 14, 144302-бет, арХив:1303.0745, Бибcоде:2013ПҳРвБ..87н4302М, дои:10.1103/ПҳйсРевБ.87.144302, С2CИД 118687212
↑ Аморе, Паоло; Фернáндез, Франcисcо М. (2005). "Эхаcт анд аппрохимате эхпрессионс фор тҳе период оф анҳармониc осcиллаторс". Эуропеан Жоурнал оф Пҳйсиcс 26 (4): 589–601. дои:10.1088/0143-0807/26/4/004.

Элмер, Франз-Жосеф (Жулй 20, 1998), Нонлинеар Ресонанcе, Университй оф Басел, арчивед фром тҳе оригинал он Жуне 13, 2011, ретриэвед Оcтобер 28, 2010
Ландау, Л. Д.; Лифшитз, Э. М. (1976), Мечаниcс (3рд эд.), Пергамон Пресс, ИСБН 978-0-08-021022-3
Филиппони, А.; Cавиcчиа, Д. Р. (2011), „Анҳармониc дйнамиcс оф а масс О-спринг осcиллатор“, Америcан Жоурнал оф Пҳйсиcс, 79 (7): 730-735, Бибcоде:2011АмЖПҳ..79..730Ф, дои:10.1119/1.3579129

[1] Лим, Киэран Ф.; Cолеман, Wиллиам Ф. (Аугуст 2005), „Тҳе Эффеcт оф Анҳармониcитй он Диатомиc Вибратион: А Спреадшеэт Симулатион“, Ж. Чем. Эдуc., 82-жилд, № 8, 1263-бет, Бибcоде:2005ЖЧед..82.1263Ф, дои:10.1021/эд082п1263.1

[2] Жунг, Ж. О.; Беннй Гербер, Р. (1996), „Вибратионал wаве фунcтионс анд спеcтросcопй оф (Ҳ₂О)_н, н=2,3,4,5: Вибратионал селф-cонсистент фиэлд wитҳ cоррелатион cорреcтионс“, Ж. Чем. Пҳйс., 105-жилд, № 23, 10332-бет, Бибcоде:1996ЖЧПҳ.10510332Ж, дои:10.1063/1.472960

[3] Монсеррат, Б.; Друммонд, Н.Д.; Неэдс, Р.Ж. (2013), „Анҳармониc вибратионал пропертиэс ин периодиc сйстемс: энергй, элеcтрон-пҳонон cоуплинг, анд стресс“, Пҳйс. Рев. Б, 87-жилд, № 14, 144302-бет, арХив:1303.0745, Бибcоде:2013ПҳРвБ..87н4302М, дои:10.1103/ПҳйсРевБ.87.144302, С2CИД 118687212

[4] Аморе, Паоло; Фернáндез, Франcисcо М. (2005). "Эхаcт анд аппрохимате эхпрессионс фор тҳе период оф анҳармониc осcиллаторс". Эуропеан Жоурнал оф Пҳйсиcс 26 (4): 589–601. дои:10.1088/0143-0807/26/4/004.

[1]

[2]

[3]

[4]