Ziyosfera

Bayes eksperimental dizayni

Баесча эксперимент тузиш (Баесиан эхпериментал десигн) эҳтимоллар назариясига асосланган умумий асосни беради. Ундан эксперимент тузиш бўйича бошқа назарияларни келтириб чиқариш мумкин. У Баесча хулосалашга таянади ва тажриба давомида олинган кузатувлар ҳамда маълумотларни шу асосда талқин қилади. Бу эса аниқланиши керак бўлган параметрлар ҳақидаги олдиндан маълум билимларни ҳам, кузатувлардаги ноаниқликларни ҳам ҳисобга олиш имконини беради.

Баесча эксперимент тузиш назарияси[1] маълум даражада ноаниқлик шароитида оптимал қарор қабул қилиш назариясига асосланади. Тажрибани лойиҳалашдан мақсад — тажриба натижасининг кутилаётган фойдалилигини максимал даражага етказиш. Фойдалилик кўпинча тажриба берадиган маълумотнинг аниқлик ўлчови орқали таърифланади. Масалан, бундай ўлчов сифатида Шеннон ахбороти ёки дисперсиянинг манфий қиймати олинади. Шу билан бирга, фойдалиликка тажриба ўтказишнинг молиявий харажати каби омиллар ҳам кириши мумкин. Қайси тажриба лойиҳаси оптимал бўлиши танланган фойдалилик мезонига боғлиқ.

Махсусроқ оптимал лойиҳалаш назарияси билан алоқаси

Чизиқли назария

Агар модел чизиқли бўлса, априор эҳтимоллик зичлиги функсияси (ПДФ) бир жинсли бўлса ва кузатув хатоликлари нормал тақсимланган бўлса, назария соддалашади. Бундай ҳолда у классик оптимал эксперимент тузиш назариясига айланади.

Тақрибий нормаллик

Баесча эксперимент тузишга бағишланган кўплаб нашрларда барча апостериор эҳтимолликлар тақрибан нормал бўлади деб фараз қилинади. Бу фараз кўпинча ошкора айтилмайди. Шу ёндашув кутилаётган фойдалиликни чизиқли назария ёрдамида, модел параметрлари фазоси бўйича ўртачалаб ҳисоблаш имконини беради.[2] Аммо бу усулни қўллашда эҳтиёт бўлиш керак, чунки барча мумкин бўлган апостериор тақсимотларнинг тақрибий нормаллигини текшириш қийин. Бу ҳатто кузатув хатоликлари нормал ва априор эҳтимоллик текис бўлган ҳолларда ҳам шундай.

Апостериор тақсимот

Кўп ҳолларда апостериор тақсимотни ёпиқ кўринишда ёзиб бўлмайди, шунинг учун уни сонли усуллар билан тақрибий ҳисоблашга тўғри келади. Энг кенг тарқалган ёндашув — Марков занжири Монте-Карло усулларидан фойдаланиш. Бу усуллар апостериор тақсимотдан танланмалар ҳосил қилади, улар эса кутилаётган фойдалиликни тақрибан ҳисоблашга хизмат қилади.

Яна бир ёндашув — апостериор тақсимотнинг вариатионал Баес тақрибидан фойдаланиш. Бундай тақрибни кўпинча ёпиқ кўринишда ҳисоблаш мумкин. Унинг афзаллиги шундаки, у Монте-Карло усулларига қараганда ҳисоблаш жиҳатидан тежамлироқ. Камчилиги эса тақриб етарлича аниқ бўлмаслиги мумкинлигида.

Баъзи муаллифлар янги ўлчашлар башорат ноаниқлигига қандай таъсир қилишини баҳолаш учун постериор предиcтиве дистрибутиондан фойдаланишни таклиф қилган.[3][4] Бошқа муаллифлар эса параметрлар, башоратлар ва бўлажак тажрибалар орасидаги ўзаро ахборотни (мутуал информатион) максималлаштиришни тавсия этади.[5]

Математик ифодаланиши

Нотатион
θ{\дисплайстйле \тҳета\,} параметерс то бе детерминед
й{\дисплайстйле й\,} обсерватион ор дата
ξ{\дисплайстйле \хи\,} десигн
п(й∣θ,ξ){\дисплайстйле п(й\мид\тҳета,\хи)\,} ПДФ фор макинг обсерватион й{\дисплайстйле й}, гивен параметер валуэс θ{\дисплайстйле \тҳета} анд десигн ξ{\дисплайстйле \хи}
п(θ){\дисплайстйле п(\тҳета)\,} приор ПДФ
п(й∣ξ){\дисплайстйле п(й\мид\хи)\,} маргинал ПДФ ин обсерватион спаcе
п(θ∣й,ξ){\дисплайстйле п(\тҳета\мид й, \хи)\,}    постериор ПДФ
У(ξ){\дисплайстйле У(\хи)\,}    утилитй оф тҳе десигн ξ{\дисплайстйле \хи}
У(й,ξ){\дисплайстйле У(й, \хи)\,}    утилитй оф тҳе эхперимент оутcоме афтер обсерватион й{\дисплайстйле й} wитҳ десигн ξ{\дисплайстйле \хи}

Аниқланиши керак бўлган параметрларнинг θ{\дисплайстйле \тҳета} вектори ҳамда бу параметрлар учун п(θ){\дисплайстйле п(\тҳета)} априор эҳтимоллик берилган бўлсин. Шунингдек, й{\дисплайстйле й} кузатувни олиш учун п(й∣θ,ξ){\дисплайстйле п(й\мид\тҳета,\хи)} ишончлилик функсияси (ликелиҳоод) берилган; бунда θ{\дисплайстйле \тҳета} — параметр қийматлари, ξ{\дисплайстйле \хи} — тажриба режаси (эхперимент десигн). Апостериор эҳтимолликни Баес' тҳеорем ёрдамида ҳисоблаш мумкин:

п(θ∣й,ξ)=п(й∣θ,ξ)п(θ)п(й∣ξ),{\дисплайстйле п(\тҳета \мид й, \хи) = \фраc{п(й \мид \тҳета, \хи) п(\тҳета)}{п(й \мид \хи)} \, ,}

бу ерда п(й∣ξ){\дисплайстйле п(й\мид\хи)} — кузатувлар фазосидаги маргинал эҳтимоллик зичлиги:

п(й∣ξ)=∫п(θ)п(й∣θ,ξ)дθ.{\дисплайстйле п(й\мид\хи) = \инт п(\тҳета)п(й\мид\тҳета,\хи)\,д\тҳета \, .}

Шундан сўнг ξ{\дисплайстйле \хи} режага эга тажрибанинг кутилаётган фойдалилигини қуйидагича таърифлаш мумкин:

У(ξ)=∫п(й∣ξ)У(й,ξ)дй,{\дисплайстйле У(\хи)=\инт п(й\мид\хи)У(й,\хи)\,дй,}

бу ерда У(й,ξ){\дисплайстйле У(й,\хи)} — п(θ∣й,ξ){\дисплайстйле п(\тҳета \мид й, \хи)} апостериор эҳтимолликнинг қандайдир ҳақиқий қийматли функсионали. У ξ{\дисплайстйле \хи} тажриба режаси асосида й{\дисплайстйле й} кузатув олингандан кейин ҳисобланади.

Фойдалилик сифатида Шеннон ахборотининг ортиши

Фойдалиликни (утилитй) априор тақсимотдан апостериор тақсимотга ўтишдаги Шаннон ахбороти ортиши сифатида таърифлаш мумкин

У(й,ξ)=∫лог⁡(п(θ∣й,ξ))п(θ|й,ξ)дθ−∫лог⁡(п(θ))п(θ)дθ.{\дисплайстйле У(й, \хи) = \инт \лог(п(\тҳета \мид й, \хи))\,п(\тҳета | й, \хи) \, д\тҳета - \инт \лог(п(\тҳета))\,п(\тҳета)\,д\тҳета \, .}

Фойдалиликни яна қуйидагича таърифлаш ҳам мумкин:

У(й,ξ)=ДКЛ(п(θ∣й,ξ)‖п(θ)),{\дисплайстйле У(й, \хи) = Д_{КЛ}(п(\тҳета\мид й,\хи) \| п(\тҳета)) \, ,}

яъни апостериор тақсимотнинг априор тақсимотдан Куллбаcк–Леиблер дивергенcе бўйича фарқи сифатида. Линдлей (1956) шуни қайд этганки, бундай ҳолда кутилаётган фойдалилик координаталарга боғлиқ бўлмайди ва уни икки кўринишда ёзиш мумкин

Фаилед то парсе (Ункноwн энвиронмент алигнат): {\дисплайстйле \бегин{алигнат}{2}

У(\хи) & = \инт \инт \лог(п(\тҳета \мид й,\хи))\,п(\тҳета, й \мид \хи) \, д\тҳета\,дй - \инт\лог(п(\тҳета))\,п(\тҳета) \, д\тҳета \\
     & = \инт \инт \лог(п(й \мид \тҳета,\хи))\,п(\тҳета, й \мид \хи)\,дй\,д\тҳета - \инт\лог(п(й \мид \хи))\,п(й\мид \хи) \, дй,

\энд{алигнат} \,}

Булардан иккинчисини ҳисоблаш учун барча мумкин бўлган й{\дисплайстйле й} кузатувлари бўйича алоҳида апостериор эҳтимоллик п(θ∣й,ξ){\дисплайстйле п(\тҳета \мид й,\хи)} ни топиш шарт эмас.[6] Шуни таъкидлаш жоизки, иккинчи қатордаги иккинчи ҳад ξ{\дисплайстйле \хи} режасига (десигн) боғлиқ эмас — албатта, агар кузатув ноаниқлиги ҳам унга боғлиқ бўлмаса. Биринчи кўринишдаги п(θ)лог⁡п(θ){\дисплайстйле п(\тҳета) \лог п(\тҳета)} интеграли эса барча ξ{\дисплайстйле \хи} лар учун ўзгармас қийматга эга. Шу сабабли мақсад энг юқори фойдалиликка эга режани танлаш бўлса, бу ҳадни умуман ҳисоблаш керак эмас. Бир неча муаллифлар ушбу мезонни ҳисоблаш ва оптималлаштиришнинг сонли усулларини кўриб чиққан.[7][8] Эътибор беринг:

У(ξ)=И(θ;й),{\дисплайстйле У(\хи) = И(\тҳета;й)\, ,}

яъни кутилаётган ахборот ортиши айнан θ параметри билан й кузатуви орасидаги мутуал информатион катталигига тенг. Чизиқли динамик моделни идентификация қилиш учун Баесча режага мисоллар [9] [10] манбаларида келтирилган.

И(θ;й),{\дисплайстйле И(\тҳета;й)\, ,} ни ҳисоблаш қийин бўлгани учун унинг қуйи чегараси фойдалилик функсияси сифатида ишлатилган. Сўнгра бу қуйи чегара сигнал энергиясига қўйилган чеклов остида максималлаштирилади. Таклиф этилган Баесча режани классик ўртача Д-оптимал режа билан ҳам солиштиришган. Тадқиқот Баесча режанинг Д-оптимал режадан устун эканини кўрсатди.

Келлй cритерион ҳам фойдани кўпайтиришга интилаётган қиморбоз учун шундай фойдалилик функсиясини тавсифлайди; бу мезон гамблинг анд информатион тҳеорй соҳасида қўлланади. Келлининг ҳолати юқорида баён этилганидан фарқ қилмайди: бунда тажриба ўрнини ён ахборот, яъни «хусусий сим» (привате wире) эгаллайди.

Яна қаранг

Манбалар

  1. ↑ Леэ, Се Ёон (2024). "Усинг Баесиан статистиcс ин cонфирматорй cлиниcал триалс ин тҳе регулаторй сеттинг: а туториал ревиэw". БМC Мед Рес Метҳодол 24 (1). дои:10.1186/с12874-024-02235-0. ПМИД 38714936. ПМC 11077897. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=11077897. 
  2. ↑ Ан аппроач ревиэwед ин Чалонер, Катҳрйн; Вердинелли, Исабелла (1995), „Баесиан эхпериментал десигн: а ревиэw“ (ПДФ), Статистиcал Сcиэнcе, 10 (3): 273–304, дои:10.1214/сс/1177009939
  3. ↑ Ванлиэр; Тиэманн; Ҳилберс; ван Риэл (2012), „А Баесиан аппроач то таргетед эхперимент десигн“, Биоинформатиcс, 28 (8): 1136–1142, дои:10.1093/биоинформатиcс/бц092, ПМC 3324513, ПМИД 22368245
  4. ↑ Тҳибаут; Лалой; Ҳерманс (2021), „А неw фрамеwорк фор эхпериментал десигн усинг Баесиан Эвидентиал Леарнинг: Тҳе cасе оф wеллҳеад протеcтион ареа“, Жоурнал оф Ҳйдрологй, 603, арХив:2105.05539, Бибcоде:2021ЖҲйд..60326903Т, дои:10.1016/ж.жҳйдрол.2021.126903, ҳдл:1854/ЛУ-8759542, С2CИД 234469903 {{cитатион}}: Ункноwн параметер |артиcле-нумбер= игноред (ёрдам)
  5. ↑ Лиэпе; Филиппи; Комороwски; Стумпф (2013), „Махимизинг тҳе Информатион Cонтент оф Эхперименц ин Сйстемс Биологй“, ПЛОС Cомпутатионал Биологй, 9 (1), Бибcоде:2013ПЛСCБ...9Э2888Л, дои:10.1371/жоурнал.пcби.1002888, ПМC 3561087, ПМИД 23382663 {{cитатион}}: Ункноwн параметер |артиcле-нумбер= игноред (ёрдам)
  6. ↑ Линдлей, Д. В. (1956), „Он а меасуре оф информатион провидед бй ан эхперимент“, Анналс оф Матҳематиcал Статистиcс, 27 (4): 986–1005, дои:10.1214/аомс/1177728069
  7. ↑ ван ден Берг; Cуртис; Трамперт (2003), „Оптимал нонлинеар Баесиан эхпериментал десигн: ан апплиcатион то амплитуде версус оффсет эхперименц“, Геопҳйсиcал Жоурнал Интернатионал, 155 (2): 411–421, Бибcоде:2003ГеоЖИ.155..411В, дои:10.1046/ж.1365-246х.2003.02048.х
  8. ↑ Рян, К. Ж. (2003), „Эстиматинг Эхпеcтед Информатион Гаинс фор Эхпериментал Десигнс Wитҳ Апплиcатион то тҳе Рандом Фатигуэ-Лимит Модел“, Жоурнал оф Cомпутатионал анд Грапҳиcал Статистиcс, 12 (3): 585–603, дои:10.1198/1061860032012, С2CИД 119889630
  9. ↑ Баниа, П. (2019), „Баесиан Инпут Десигн фор Линеар Дйнамиcал Модел Дисcриминатион“, Энтропй, 21 (4): 351, Бибcоде:2019Энтрп..21..351Б, дои:10.3390/э21040351, ПМC 7514835, ПМИД 33267065
  10. ↑ Баниа, Пиотр; Wожcик, Анна (7 Оcтобер 2025). "Ан Аппрохимате Баесиан Аппроач то Оптимал Инпут Сигнал Десигн фор Сйстем Идентифиcатион". Энтропй 27 (10): 1041. дои:10.3390/э27101041. 

Қўшимча адабиётлар

Манба

Ушбу мақола Википедиянинг эн.wикипедиа.орг уланишидан автоматик таржима орқали олинган (CC БЙ-СА 4.0). 

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Bayes_eksperimental_dizayni" dan olindi