Bertrand teoremasi

Жозеф Бертран

Классик механикада Бертран теоремаси боғланган орбиталарга эга бўлган марказий куч потенциаллари орасида барча боғланган орбиталар ҳам ёпиқ орбиталар бўлиш хусусиятига эга бўлган марказий куч (радиал) скаляр потенциалларнинг фақат иккита тури мавжудлигини айтади.

Биринчи бундай потенциал тортишиш ёки электростатик потенциал каби тескари квадрат марказий кучдир :

${\дисплайстйле В(р) = -\фраc{к}{р}}$ куч билан ${\дисплайстйле ф(р) = -\фраc{дВ}{др} = -\фраc{к}{р^2}}$ .

Иккинчиси радиал гармоник осилатор потенсиали:

${\дисплайстйле В(р) = \фраc{1}{2} кр^2}$ куч билан ${\дисплайстйле ф(р) = -\фраc{дВ}{др} = -кр}$ .

Теорема унинг кашфиётчиси Жозеф Бертран шарафига номланган.

Чиқариш

Масофа бўйича кучнинг кучидаги кичик ўзгаришлар сезиларли даражада фарқ қиладиган орбиталарга олиб келади.

Барча жозибадор марказий кучлар табиий равишда ёпиқ орбиталар бўлган думалоқ орбиталарни ишлаб чиқиши мумкин. Ягона талаб шундаки, марказий куч марказга қўйиладиган кучга тўлиқ мос келади, бу маълум бир думалоқ радиус учун керакли бурчак тезлигини аниқлайди. Бу ерда марказий бўлмаган кучлар (яъни, бурчак ўзгарувчилари ва радиусга боғлиқ бўлганлар) эътиборга олинмайди, чунки улар умуман айлана орбиталарини ҳосил қилмайди.

В (р) марказий потенциалда ҳаракатланаётган м массали зарранинг радиуси р учун ҳаракат тенгламаси ҳаракат тенгламалари билан берилган.

${\дисплайстйле м\фраc{д^2 р}{дт^2} - мр \омега^2 = м\фраc{д^2 р}{дт^2} - \фраc{Л^2}{мр^3} = -\фраc{дВ}{др},}$

бу ерда ${\дисплайстйле \омега \эқуив \фраc{д\тҳета}{дт}}$, ва бурчак моментум Л = мр ² ō сақланади. Мисол учун, чапдаги биринчи атама думалоқ орбиталар учун нолга тенг ва ичкарига қўлланиладиган куч ${\дисплайстйле \фраc{дВ}{др}}$ кутилганидек, марказдан қочма куч талаби мрω² га тенг.

Бурчак моментининг таърифи мустақил ўзгарувчининг т дан тҳ га ўзгаришига имкон беради:

${\дисплайстйле \фраc{д}{дт} = \фраc{Л}{мр^2} \фраc{д}{д\тҳета},}$

вақтга боғлиқ бўлмаган янги ҳаракат тенгламасини бериш:

${\дисплайстйле \фраc{Л}{р^2} \фраc{д}{д\тҳета} \лефт( \фраc{Л}{мр^2} \фраc{др}{д\тҳета} \ригҳт) - \фраc{Л^2}{мр^3} = -\фраc{дВ}{др}.}$

Ўзгарувчилар ўзгаришини амалга оширишда бу тенглама квазизиқли бўлади ${\дисплайстйле у \эқуив \фраc{1}{р}}$ ва иккала томонни кўпайтириш ${\дисплайстйле \фраc{мр^2}{Л^2}}$ (шунингдек Бинет тенгламасига қаранг):

${\дисплайстйле \фраc{д^2 у}{д\тҳета^2} + у = -\фраc{м}{Л^2} \фраc{д}{ду} В\лефт(\фраc{1}{у}\ригҳт).}$

Юқорида таъкидланганидек, барча марказий кучлар тегишли бошланғич тезликни ҳисобга олган ҳолда айлана орбиталарини ҳосил қилиши мумкин. Бироқ, агар бирон бир радиал тезлик киритилган бўлса, бу орбиталар барқарор бўлиши (яъни, чексиз орбитада қолиши) ёки ёпиқ бўлиши керак эмас (бир неча марта айнан бир хил йўлга қайтиш). Бу ерда биз барқарор, аниқ ёпиқ айлана бўлмаган орбиталарнинг зарурий шарти тескари квадрат куч ёки радиал гармоник осилатор потенсиали эканлигини кўрсатамиз. Кейинги бўлимларда биз ушбу икки куч қонуни барқарор, аниқ ёпиқ орбиталарни ишлаб чиқаришини кўрсатамиз (этарли шарт) [ўқувчи учун нима этарли шарт эканлиги аниқ эмас].

Ж (у) ни қуйидагича белгилаймиз:

${\дисплайстйле \фраc{д^2 у}{д\тҳета^2} + у = Ж(у) \эқуив -\фраc{м}{Л^2} \фраc{д}{ду} В\лефт(\фраc{1}{у}\ригҳт) = -\фраc{м}{Л^2 у^2} ф\лефт(\фраc{1}{у}\ригҳт),}$

Бу ерда ф радиал кучни ифодалайди. р ₀ радиусда мукаммал айланма ҳаракатнинг мезони шундаки, чапдаги биринчи ҳад нолга тенг:

${\дисплайстйле у_0 = Ж(у_0) = -\фраc{м}{Л^2 у_0^2} ф\лефт(\фраc{1}{у_0}\ригҳт)}$ (1)

бу ерда ${\дисплайстйле у_0 \эқуив 1/р_0}$ .

Кейинги қадам кичик тебранишлар остида у учун тенгламани кўриб чиқишдир ${\дисплайстйле \эта \эқуив у - у_0}$ мукаммал думалоқ орбиталардан. Ўнг томонда Ж функцияси стандарт Тейлор сериясида кенгайтирилиши мумкин:

${\дисплайстйле Ж(у) \аппрох Ж(у_0) + \эта Ж'(у_0) + \фраc{1}{2} \эта^2 Ж''(у_0) + \фраc{1}{6} \эта^3 Ж'''(у_0) + \cдоц}$

Бу кенгайишни у учун тенгламага қўйиш ва доимий ҳадларни айириш натижасида ҳосил бўлади

${\дисплайстйле \фраc{д^2 \эта}{д\тҳета^2} + \эта = \эта Ж'(у_0) + \фраc{1}{2} \эта^2 Ж''(у_0) + \фраc{1}{6} \эта^3 Ж'''(у_0) + \cдоц,}$

деб ёзиш мумкин

${\дисплайстйле \фраc{д^2 \эта}{д\тҳета^2} + \бета^2 \эта = \фраc{1}{2} \эта^2 Ж''(у_0) + \фраc{1}{6} \эта^3 Ж'''(у_{0}) + \cдоц,}$ (2)

бу ерда ${\дисплайстйле \бета^2 \эқуив 1 - Ж'(у_0)}$ доимий ҳисобланади. β² манфий бўлмаслиги керак; акс ҳолда, орбита радиуси унинг бошланғич радиусидан экспонент равишда ўзгаради. (Эритма б = 0 мукаммал айлана орбитага мос келади.) Агар ўнг томонни эътиборсиз қолдириш мумкин бўлса (яъни, кичик бузилишлар учун), ечимлар

${\дисплайстйле \эта(\тҳета) = ҳ_1 \cос(\бета\тҳета),}$

бу ерда ҳ ₁ амплитудаси интеграллаш доимийси. Орбиталар ёпиқ бўлиши учун б рационал сон бўлиши керак. Бундан ташқари, у барча радиуслар учун бир хил рационал сон бўлиши керак, чунки б доимий равишда ўзгара олмайди; рационал сонлар бир-биридан бутунлай узилган . Ж нинг таърифидан (1) тенглама билан биргаликда фойдаланиш,

${\дисплайстйле Ж'(у_0) = \фраc{2}{у_0} \лефт[\фраc{м}{Л^2 у_0^2} ф\лефт(\фраc{1}{у_0}\ригҳт)\ригҳт] - \лефт[\фраc{м}{Л^2 у_0^2} ф\лефт(\фраc{1}{у_0}\ригҳт)\ригҳт]\фраc{1}{ф\лефт(\фраc{1}{у_0}\ригҳт)} \фраc{д}{ду_0}ф\лефт(\фраc1{у_0}\ригҳт) = -2 + \фраc{у_0}{ф\лефт(\фраc{1}{у_0}\ригҳт)} \фраc{д}{ду_0}ф\лефт(\фраc1{у_0}\ригҳт) = 1 - \бета^2.}$

Бу у₀ нинг исталган қиймати учун амал қилиши кераклиги сабабли,

${\дисплайстйле \фраc{дф}{др} = (\бета^2 - 3) \фраc{ф}{р},}$

бу куч куч қонунига амал қилиши кераклигини англатади

${\дисплайстйле ф(р) = -\фраc{к}{р^{3-\бета^2}}.}$

Демак, Ж умумий шаклга эга бўлиши керак

${\дисплайстйле Ж(у) = \фраc{мк}{Л^2} у^{1-\бета^2}.}$ (3)

${\дисплайстйле \эта(\тҳета) = ҳ_0 + ҳ_1 \cос \бета \тҳета + ҳ_2 \cос 2\бета \тҳета + ҳ_3 \cос 3\бета \тҳета + \cдоц}$

Биз буни (2) тенгламага алмаштирамиз ва бир хил частотага тегишли коэффициэнтларни тенглаштирамиз, фақат энг паст тартибли шартларни сақлаймиз. Қуйида кўрсатганимиздек, ҳ ₀ ва ҳ ₂ ҳ ₁ дан кичикроқ, тартибли ${\дисплайстйле ҳ_1^2}$ . ҳ₃ ва бошқа барча коэффициэнтлар ҳеч бўлмаганда тартибда ${\дисплайстйле ҳ_1^3}$ . Бу мантиқий, чунки ${\дисплайстйле ҳ_0, ҳ_2, ҳ_3, \лдоц}$ айлана орбитага яқинлашганда ҳаммаси ҳ₁ дан тезроқ йўқолиши керак.

${\дисплайстйле ҳ_0 = ҳ_1^2 \фраc{Ж''(у_0)}{4\бета^2},}$

${\дисплайстйле ҳ_2 = -ҳ_1^2 \фраc{Ж''(у_0)}{12\бета^2},}$

${\дисплайстйле ҳ_3 = -\фраc{1}{8\бета^2} \лефт[ ҳ_1 ҳ_2 \фраc{Ж''(у_0)}{2} + ҳ_1^3 \фраc{Ж'''(у_0)}{24} \ригҳт].}$

cос(бтҳ) атамасидан биз қуйидагини оламиз:

${\дисплайстйле 0 = (2 ҳ_1 ҳ_0 + ҳ_1 ҳ_2) \фраc{Ж''(у_0)}{2} + ҳ_1^3 \фраc{Ж'''(у_0)}{8} = \фраc{ҳ_1^3}{24 \бета^2} \лефт(3 \бета^2 Ж'''(у_0) + 5 Ж''(у_0)^2\ригҳт),}$

бу ерда охирги босқичда биз ҳ ₀ ва ҳ ₂ қийматларини алмаштирдик.

(3) ва (1) тенгламалардан фойдаланиб, у ₀ да баҳоланган Ж нинг иккинчи ва учинчи ҳосилаларини ҳисоблашимиз мумкин:

${\дисплайстйле Ж''(у_0) = \фраc{\бета^2 (1 - \бета^2)}{у_0},}$

${\дисплайстйле Ж'''(у_0) = -\фраc{\бета^2 (1 - \бета^2) (1 + \бета^2)}{у_0^2}.}$

Ушбу қийматларни охирги тенгламага алмаштириш Бертранд теоремасининг асосий натижасини беради:

${\дисплайстйле \бета^2 (1 - \бета^2) (4 - \бета^2) = 0.}$

Демак, барқарор ёпиқ айлана бўлмаган орбиталарни ҳосил қилиши мумкин бўлган ягона потенциал тескари квадрат куч қонуни (б = 1) ва радиал гармоник-осилатор потенсиали (б = 2) ҳисобланади. б = 0 ечими юқорида айтиб ўтилганидек, мукаммал айлана орбиталарига мос келади.

Классик майдон потенциаллари

Гравитацион ёки электростатик потенсиал каби тескари квадрат куч қонуни учун потенсиал ёзилиши мумкин.

${\дисплайстйле В(\матҳбф{р}) = \фраc{-к}{р} = -ку.}$

Умумий тенгламадан у(тҳ) орбитасини олиш мумкин

${\дисплайстйле \фраc{д^2 у}{д\тҳета^2} + у = -\фраc{м}{Л^2} \фраc{д}{ду} В\лефт(\фраc{1}{у}\ригҳт) = \фраc{км}{Л^2},}$

унинг ечими доимий ҳисобланади: ${\дисплайстйле \фраc{км}{Л^2}}$. Бундан ташқари оддий синусоид:

${\дисплайстйле у \эқуив \фраc{1}{р} = \фраc{км}{Л^2} [1 + э \cос(\тҳета - \тҳета_0)],}$

Бу ерда э (эксентриклик) ва тҳ₀ (фаза силжиши) интеграция доимийлари.

Бу бошланғичда битта фокусга эга бўлган конус кесимининг умумий формуласи; э = 0 айланага, 0 < э < 1 эллипсга, э = 1 параболага ва э > 1 гиперболага мос келади. Эксентриклик э умумий энергия Э билан боғлиқ (қаранг : Лаплас-Рунге-Ленз вектори):

${\дисплайстйле э = \сқрт{1 + \фраc{2ЭЛ^2}{к^2 м}}.}$

Ушбу формулаларни таққослаш шуни кўрсатадики, Э < 0 эллипсга, Э = 0 параболага ва Э > 0 гиперболага мос келади. Айниқса, ${\дисплайстйле Э = -\фраc{к^2 м}{2Л^2}}$ мукаммал думалоқ орбиталар учун.

Гармоник осилатор

Радиал гармоник осиллатор потенсиали остидаги орбитани ечиш учун р = (х, й, з) компонентларида ишлаш осонроқ. Потенсиални шундай ёзиш мумкин:

${\дисплайстйле В(\матҳбф{р}) = \фраc{1}{2} кр^2 = \фраc{1}{2} к (х^2 + й^2 + з^2).}$

м массали зарранинг ҳаракат тенгламаси учта мустақил Эйлер тенгламалари билан берилган:

${\дисплайстйле \фраc{д^2 х}{дт^2} + \омега_0^2 х = 0,}$

${\дисплайстйле \фраc{д^2 й}{дт^2} + \омега_0^2 й = 0,}$

${\дисплайстйле \фраc{д^2 з}{дт^2} + \омега_0^2 з = 0,}$

бу ерда доимий ${\дисплайстйле \омега_0^2 \эқуив \фраc{к}{м}}$ чегараланган, ёпиқ орбиталарни таъминлаш учун ижобий бўлиши керак (яъни, к > 0); акс ҳолда, заррача чексизликка учиб кетади. Ушбу оддий гармоник осилатор тенгламаларининг ечимлари ўхшаш:

${\дисплайстйле х = А_х \cос(\омега_0 т + \пҳи_х),}$

${\дисплайстйле й = А_й \cос(\омега_0 т + \пҳи_й),}$

${\дисплайстйле з = А_з \cос(\омега_0 т + \пҳи_з),}$

Бу ерда мусбат константалар А _х, А _й ва А _з тебранишларнинг амплитудаларини, пҳ _х, пҳ _й ва пҳ _з бурчаклари эса уларнинг фазаларини ифодалайди. Олинган орбита р (т) = [ х (т), й (й), з (т)] ёпиқ, чунки у бир даврдан кейин айнан такрорланади.

${\дисплайстйле Т \эқуив \фраc{2\пи}{\омега_0}.}$

Тизим ҳам барқарор, чунки амплитудалар ва фазалардаги кичик бузилишлар умумий орбитада мос равишда кичик ўзгаришларга олиб келади.

Манбалар

• Голдстеин, Ҳ. (1980). Cлассиcал Мечаниcс (2нд эд.). Аддисон-Wеслей.
• Сантос, Ф. C.; Соарес, В.; Торт, А. C. (2011). „Ан Энглиш транслатион оф Бертранд’с тҳеорем“. Латин Америcан Жоурнал оф Пҳйсиcс Эдуcатион
• Леэнҳеэр, Патриcк Де; Мусгрове, Жоҳн; Счимлеcк, Тйлер (2023). „А Cомпреҳенсиве Прооф оф Бертранд’с Тҳеорем“