Bessel funktsiyalari

Математикадаги Бессел функциялари — бу Бессел дифференциал тенгламасининг каноник ечимлари бўлган функциялар оиласидир:

${\дисплайстйле х^2 \фраc{д^2 й}{дх^2} + х \фраc{дй}{дх} + (х^2 - \алпҳа^2)й = 0,}$

қаерда ${\дисплайстйле \алпҳа}$ ихтиёрий ҳақиқий сон (умумий ҳолатда, комплекс сон), тартиб деб аталади.

Энг кўп ишлатиладиган Бессел функциялари бутун сонли тартибларнинг функцияларидир.

Гарчи ${\дисплайстйле \алпҳа}$ ва ${\дисплайстйле (-\алпҳа)}$ бир хил тенгламаларни яратади, улар одатда турли функциялар уларга мос келишига рози бўлишади (бу, масалан, Бессел функциясида ${\дисплайстйле \алпҳа}$ силлиқ бўлиши учун амалга оширилади.).

Бессел функциялари биринчи марта швейцариялик математик Даниэл Берноулли томонидан аниқланган ва Фридрих Бессел шарафига номлаган.

Иловалар

Бессел тенгламаси силиндрсимон ва сферик координаталарда Лаплас тенгламаси ва Гелмголц тенгламаларининг ечимларини топишда юзага келиб қолади. Шунинг учун Бессел функциялари тўлқинларнинг тарқалиши, статик потенциаллар ва бошқаларнинг кўплаб муаммоларини ҳал қилишда қўлланади, масалан:

• силиндрсимон тўлқин қўлланмада электромагнит тўлқинлар ;
• силиндрсимон об’эктлардаги иссиқлик ўтказувчанлиги ;
• юпқа думалоқ мембрананинг тўлқин шакллари;
• думалоқ туйнук билан диффраксияланган ёруғлик интенсивлигини тақсимлаш;
• суюқлик билан тўлдирилган ва ўз ўқи атрофида айланадиган силиндрдаги заррачаларнинг тезлиги;
• сферик симметрик потенциал қутидаги тўлқин функциялари.

Бессел функциялари бошқа муаммоларни ҳал қилишда, масалан, сигналарни қайта ишлашда ҳам қўлланади.

Бессел функсияси синус функсиясини умумлаштирилишидир. Бу ўзгарувчан қалинлиги, ўзгарувчан кучланиш (ёки иккала шарт бир вақтнинг ўзида) бўлган ипнинг тебраниши сифатида талқин қилиниши мумкин; ўзгарувчан хусусиятларга эга бўлган муҳитда тебранишлар; диск мембранасининг тебранишлари ва бошқаларни ўз ичига олади.

Таърифлар

Юқоридаги тенглама иккинчи тартибли чизиқли дифференсиал тенглама бўлгани учун унинг иккита чизиқли мустақил ечими бўлиши керак. Бироқ, ушбу қарорларнинг турли хил таърифлари вазиятга қараб танланади. Қуйида улардан баъзилари мисол тариқасида келтирилган.

Биринчи турдаги Бессел функциялари

Белгиланган биринчи турдаги Бессел функциялари ${\дисплайстйле Ж_\алпҳа(х)}$, ечимлар нуқтада чекланган ${\дисплайстйле х=0}$ бутун ёки манфий бўлмаган ${\дисплайстйле \алпҳа}$ учун қўлланади . Муайян функцияни танлаш ва уни нормаллаштириш унинг хусусиятлари билан белгиланади. Ушбу функцияларни Тейлор сериясида нолга яқин кенгайтириш орқали аниқлаш мумкин (ёки ${\дисплайстйле \алпҳа}$ бутун сонлар учун умумий қувват сериясида):

${\дисплайстйле Ж_\алпҳа(х) = \сум_{м=0}^\инфтй \фраc{(-1)^м}{м!\, \Гамма(м+\алпҳа+1)} {\лефт({\фраc{х}{2}}\ригҳт)}^{2м+\алпҳа}.}$

Бу ерда ${\дисплайстйле \Гамма(з)}$ Бу Эйлер гамма функцияси бўлиб, факториални бутун сон бўлмаган қийматларга умумлаштиришдир. Бессел функциясининг графиги синусоидга ўхшайди, унинг тебранишлари пропорционал равишда парчаланади. ${\дисплайстйле \фраc{1}{\сқрт{х}}}$, гарчи аслида функциянинг ноллари вақти-вақти билан жойлашмаса ҳам (аммо, кетма-кет иккита нол орасидаги масофа ${\дисплайстйле \пи}$ да ${\дисплайстйле х \то \инфтй}$) .

Қуйида жадваллар келтирилган ${\дисплайстйле Ж_\алпҳа (х)}$ учун ${\дисплайстйле \алпҳа = 0, 1, 2}$ :

Биринчи турдаги Бессел функсиясининг графиги Ж

Агар а ${\дисплайстйле \алпҳа}$ бутун сон эмас, функциялар ${\дисплайстйле Ж_\алпҳа (х)}$ ва ${\дисплайстйле Ж_{-\алпҳа} (х)}$ чизиқли мустақил ва шунинг учун тенгламанинг ечимлари шу бўлади. Лекин агар ${\дисплайстйле \алпҳа}$ бутун сон бўлса, қуйидаги муносабат тўғри бўлади:

${\дисплайстйле Ж_{-\алпҳа}(х) = (-1)^{\алпҳа} Ж_{\алпҳа}(х).}$

Бу шуни англатадики, бу ҳолда функциялар чизиқли боғлиқдир. Кейин тенгламанинг иккинчи ечими иккинчи турдаги Бессел функцияси бўлади (2-расмга қаранг). .

Бессел интеграллари

Бутун сонлар учун Бессел функциясининг бошқа таърифини бериш мумкин ${\дисплайстйле \алпҳа}$, интеграл ёрдамида кўрамиз:

${\дисплайстйле Ж_\алпҳа (х) = \фраc{1}{\пи} \инт\лимиц_{0}^{\пи}\!\cос (\алпҳа \тау - х \син \тау)\,д\тау.}$

Бу ёндашув Бессел томонидан қўлланган ва у функсияларнинг баъзи хусусиятларини ўрганиш учун фойдаланган. Бошқа интеграл вакиллик ҳам бўлиши мумкин:

${\дисплайстйле Ж_\алпҳа (х) = \фраc{1}{2 \пи} \инт\лимиц_{-\пи}^{\пи}\!э^{и(\алпҳа \тау - х \син \тау)}\,д\тау.}$

Бессел функциясининг тўлиқ бўлмаган ҳолда интеграл тасвирини топиш ${\дисплайстйле \алпҳа}$ абцисса ўқи бўйлаб кесма мавжудлигини ҳисобга олиш керак. Бунинг сабаби, интеграл энди йўқ ${\дисплайстйле 2\пи}$ — даврий. Шундай қилиб, интеграция контури 3 қисмга бўлинади: нур ${\дисплайстйле -\инфтй}$ дан ${\дисплайстйле 1}$ гача, қаерда ${\дисплайстйле \варпҳи = -\пи}$, бирлик радиуси доираси ва нур ${\дисплайстйле 1}$дан ${\дисплайстйле +\инфтй}$гача${\дисплайстйле \варпҳи = \пи}$ . Оддий математик ўзгаришларни амалга ошириб, сиз қуйидаги интеграл тасвирни олишингиз мумкин:

Фаилед то парсе (Ункноwн фунcтион \инфин): {\дисплайстйле Ж_\алпҳа (х) = \фраc{1}{2\пи}\инт\лимиц_{-\пи}^{\пи} \!э^{и(хсин(\варпҳи)-\алпҳа\варпҳи)}д\варпҳи - \фраc{\син(\алпҳа\пи)}{\пи}\инт\лимиц_{1}^{\инфин}

\фраc{э^{-\фраc{1}{2}х(р-\фраc{1}{р})}}{{}р^{\алпҳа+1}}др.}

Бутун сон учун буни текшириш осон ${\дисплайстйле \алпҳа}$ бу ифода олдинги формулага қўйилади.

Нейман функциялари

Нейман функсиялари — Ечимлар ${\дисплайстйле Й_\алпҳа(х)}$ Бессел тенгламалари бир нуқтада чексиз бўлади у нуқта ${\дисплайстйле х=0}$ .

Бу хусусият билан ${\дисплайстйле Ж_\алпҳа(х)}$ қуйидаги нисбатга боғлиқ:

${\дисплайстйле Й_\алпҳа(х) = \фраc{Ж_\алпҳа(х) \cос(\алпҳа\пи) - Ж_{-\алпҳа}(х)}{\син(\алпҳа\пи)},}$

бу ерда бутун сон бўлса ${\дисплайстйле \алпҳа}$ чегараси олинади ${\дисплайстйле \алпҳа}$, масалан, Лапитал қоидаси ёрдамида ҳисобланган.

Нейман функсиялари иккинчи турдаги Бессел функсиялари деб ҳам аталади. Биринчи ва иккинчи турдаги Бессел функцияларининг чизиқли бирикмаси Бессел тенгламасининг тўлиқ ечимидир:

${\дисплайстйле й(х) = C_1 Ж_\алпҳа(х) + C_2 Й_\алпҳа(х).}$

Қуйида график келтирилган ${\дисплайстйле Й_\алпҳа (х)}$ учун ${\дисплайстйле \алпҳа = 0, 1, 2}$ :

Иккинчи турдаги Бессел функсиясининг графиги Н

Бир қатор китобларда Нейман функциялари кўрсатилган ${\дисплайстйле Н_\алпҳа (х)}$ .

Сферик Бессел функциялари

Биринчи турдаги сферик Бессел функциялари,ж_н(х), учунн = 0, 1, 2

Иккинчи турдаги сферик Бессел функциялари,й_н(х), учунн = 0, 1, 2

Сферик координаталарда Ҳелмголц тенгламасини ўзгарувчиларни ажратиш усули билан ечишда радиал қисм учун тенглама шаклга эга бўлади.

${\дисплайстйле х^2 \фраc{д^2 й}{дх^2} + 2х \фраc{дй}{дх} + \лефт(х^2 - н(н + 1)\ригҳт) й = 0.}$

Иккинчи чизиқли мустақил ечим сферик Бессел функсиялари дейилади ж_н ва й_н ва одатий Бессел функциялари билан боғлиқ Ж_н ва Нейман Й_н ёрдамида ифодаланади.

${\дисплайстйле \бегин{алигн} ж_н(х) &= \сқрт{\фраc{\пи}{2х}} Ж_{н+\фраc{1}{2}}(х), \\ й_н(х) &= \сқрт{\фраc{\пи}{2х}} Й_{н+\фраc{1}{2}}(х) = (-1)^{н+1} \сқрт{\фраc{\пи}{2х}} Ж_{-н-\фраc{1}{2}}(х). \энд{алигн}}$

й_н ҳам н_нёки η_н билан белгиланади; баъзи муаллифлар бу функцияларни сферик Нейман функциялари деб аташади.

Сферик Бессел функсияларини (Рейлеигҳ формуласи) шаклида ҳам ёзиш мумкин бўлади.

${\дисплайстйле \бегин{алигн} ж_н(х) &= (-х)^н \лефт(\фраc{1}{х}\фраc{д}{дх}\ригҳт)^н \фраc{\син х}{х}, \\ й_н(х) &= -(-х)^н \лефт(\фраc{1}{х}\фраc{д}{дх}\ригҳт)^н \фраc{\cос х}{х}. \энд{алигн}}$

Бир неча биринчи шарсимон Бессел функсиялари дан мисоллар :

${\дисплайстйле \бегин{алигн} ж_0(х) &= \фраc{\син х}{х}, \\ ж_1(х) &= \фраc{\син х}{х^2} - \фраc{\cос х}{х}, \\ ж_2(х) &= \лефт(\фраc{3}{х^2} - 1\ригҳт) \фраc{\син х}{х} - \фраc{3\cос х}{х^2}, \\ ж_3(х) &= \лефт(\фраc{15}{х^3} - \фраc{6}{х}\ригҳт) \фраc{\син х}{х} - \лефт(\фраc{15}{х^2} - 1\ригҳт) \фраc{\cос х}{х} \энд{алигн}}$

ва Нейман :

${\дисплайстйле \бегин{алигн} й_0(х) &= -ж_{-1}(х) = -\фраc{\cос х}{х}, \\ й_1(х) &= ж_{-2}(х) = -\фраc{\cос х}{х^2} - \фраc{\син х}{х}, \\ й_2(х) &= -ж_{-3}(х) = \лефт(-\фраc{3}{х^2} + 1\ригҳт) \фраc{\cос х}{х} - \фраc{3\син х}{х^2}, \\ й_3(х) &= ж_{-4}(х) = \лефт(-\фраc{15}{х^3} + \фраc{6}{х}\ригҳт) \фраc{\cос х}{х} - \лефт(\фраc{15}{х^2} - 1\ригҳт) \фраc{\син х}{х}. \энд{алигн}}$

Функцияларни келтириб чиқариш

Сферик Бессел функсияларини яратиш :

${\дисплайстйле \бегин{алигн} \фраc{1}{з} \cос \лефт(\сқрт{з^2 - 2зт}\ригҳт) &= \сум_{н=0}^\инфтй \фраc{т^н}{н!} ж_{н-1}(з), \\ \фраc{1}{з} \син \лефт(\сқрт{з^2 - 2зт}\ригҳт) &= \сум_{н=0}^\инфтй \фраc{т^н}{н!} й_{н-1}(з). \энд{алигн}}$

Дифференциал муносабатлар

Қуйидаги формулалардаф_н билан алмаштирилиши мумкинж_н ,й_н ҳ(1)н, ҳ(1)н, ҳ(2)н, ҳ(2) шарсимон Ҳанкел функциялари, учунн = 0, ±1, ±2, … :

${\дисплайстйле \бегин{алигн} \лефт(\фраc{1}{з}\фраc{д}{дз}\ригҳт)^м \лефт (з^{н+1} ф_н(з)\ригҳт ) &= з^{н-м+1} ф_{н-м}(з), \\ \лефт(\фраc{1}{з}\фраc{д}{дз}\ригҳт)^м \лефт (з^{-н} ф_н(з)\ригҳт ) &= (-1)^м з^{-н-м} ф_{н+м}(з). \энд{алигн}}$

Хусусиятлари

Ортогоналлик

Майли ${\дисплайстйле \му_1, \му_2}$ Бессел функсиясининг ноллари ${\дисплайстйле Ж_{\алпҳа}(х)}$ . Кейин :

${\дисплайстйле \инт_{0}^{1}{х Ж_{\алпҳа}(\му_1 х) Ж_{\алпҳа}(\му_2 х) дх} = \лефт\{ \бегин{матрих}$

0 & \мбох{;}\қуад\му_1\не\му_2 \\ \\
\фраc{1}{2}(Ж'_{\алпҳа}(\му_1))^2 & \мбох{;}\қуад\му_1=\му_2 

\энд{матрих} \ригҳт.} .

Асимптотиклар

Асимптотик формулалар биринчи ва иккинчи турдаги Бессел функциялари учун маълум. Кичик аргументлар учун ${\дисплайстйле (0 < х \лл \сқрт{\алпҳа + 1})}$ ва ҳақиқий ${\дисплайстйле \алпҳа}$ улар шундай кўринади :

${\дисплайстйле Ж_\алпҳа(х) \ригҳтарроw \фраc{1}{\Гамма(\алпҳа+1)} \лефт( \фраc{х}{2} \ригҳт) ^\алпҳа,}$

${\дисплайстйле Й_\алпҳа(х) \ригҳтарроw \лефт\{ \бегин{матрих}$

\фраc{2}{\пи} \лефт[ \лн (х/2) + \гамма \ригҳт] & \мбох{;}\қуад\алпҳа=0 \\ \\
-\фраc{\Гамма(\алпҳа)}{\пи} \лефт( \фраc{2}{х} \ригҳт) ^\алпҳа & \мбох{;}\қуад\алпҳа > 0 

\энд{матрих} \ригҳт.} ,

қаерда ${\дисплайстйле \гамма}$ — Эйлер доимийси — Масчерони (0,5772 …) ва ${\дисплайстйле \Гамма}$ Эйлер гамма функциясидир . Катта аргументлар учун (${\дисплайстйле х \гг |\алпҳа^2 - 1/4|}$) формулалар қуйидагичакўринишда кўринади:

${\дисплайстйле Ж_\алпҳа(х) \ригҳтарроw \сқрт{\фраc{2}{\пи х}} \cос \лефт( х-\фраc{\алпҳа\пи}{2} - \фраc{\пи}{4} \ригҳт),}$

${\дисплайстйле Й_\алпҳа(х) \ригҳтарроw \сқрт{\фраc{2}{\пи х}} \син \лефт( х-\фраc{\алпҳа\пи}{2} - \фраc{\пи}{4} \ригҳт).}$

Асимптотик кенгайишнинг кейинги атамасидан фойдаланиш натижани сезиларли даражада яхшилаш имконини беради. Нолинчи тартибли Бессел функцияси учун у қуйидагича кўринишда кўринади:

${\дисплайстйле Ж_0\ригҳтарроw \сқрт\фраc{2}{\пи х}\cос(х-\фраc{\пи}{4})+\фраc{1}{4х\сқрт{2\пи х}}\син(х-\фраc{\пи}{4}).}$

Гипергеометрик қаторлар

Бессел функциялари гипергеометрик функция билан ифодаланиши мумкин:

${\дисплайстйле Ж_\алпҳа(з)=\фраc{(з/2)^\алпҳа}{\Гамма(\алпҳа+1)} {}_0Ф_1 (\алпҳа+1; -з^2/4).}$

Шундай қилиб, бутун сон учун ${\дисплайстйле \алпҳа}$ Бессел функцияси битта қийматли аналитикдир ва бутун сонлар учун у кўп қийматли аналитик бўлади.

Яратиш функцияси

Биринчи турдаги Бессел функциялари ва маълум бир турдаги функциянинг Лоран қатори коэффициэнтлари бўйича бутун тартибли тасвирлар мавжуддир.

${\дисплайстйле э^{\фраc{з}{2}\лефт(w-\фраc{1}{w}\ригҳт)}=\сум_{н=-\инфтй}^{+\инфтй}Ж_н(з)w^н.}$

Нисбатлар

Якоби-Ангера формуласи ва тегишли

Ҳосил қилувчи функсия ифодасидан олинган ${\дисплайстйле а=1}$, ${\дисплайстйле w=э^{и\пҳи}}$ :

${\дисплайстйле э^{из\син\пҳи}=Ж_0(з)+2\сум_{н=1}^\инфтй Ж_{2н}(з)\cос(2н\пҳи)+2и\сум_{н=1}^\инфтй Ж_{2н-1}(з)\син(2н-1)\пҳи.}$

${\дисплайстйле а=1}$, ${\дисплайстйле т=иэ^{и\пҳи}}$да :

${\дисплайстйле э^{из\cос\пҳи}=Ж_0(з)+2\сум_{н=1}^\инфтй и^нЖ_н(з)\cос(н\пҳи).}$

Такрорий муносабатлар

Бессел функсиялари учун бир қанча такрорланиш муносабатлари мавжуддир. Мана улардан баъзилари қуйидагилар:

${\дисплайстйле Ж_{\алпҳа+1} = \фраc{\алпҳа}{х}Ж_{\алпҳа}-Ж'_{\алпҳа}(х);}$

${\дисплайстйле Ж_{\алпҳа+1}(х)+Ж_{\алпҳа-1}(х) = \фраc{2\алпҳа}{х}Ж_{\алпҳа}(х);}$

${\дисплайстйле Ж_{\алпҳа+1}(х)-Ж_{\алпҳа-1}(х) = -2Ж'_{\алпҳа}(х)}$ .

Қўшиш теоремаси

Ҳар қандай бутун н ва комплекс учун ${\дисплайстйле з_1}$, ${\дисплайстйле з_2}$ бажарилган:

${\дисплайстйле Ж_н(з_1+з_2) = \сум_{к=-\инфтй}^\инфтй Ж_к(з_1) Ж_{н-к}(з_2).}$

Интеграл ифодалар

Ҳар қандай масала учун ${\дисплайстйле а}$ ва ${\дисплайстйле б}$ (шу жумладан мураккаб) учун қуйидагилар бажарилди

${\дисплайстйле \инт_0^\инфтй э^{-ат}Ж_н(бт)\матҳрм дт = \фраc{б^н}{\сқрт{а^2+б^2}(\сқрт{а^2+б^2}+а)^н}.}$

Охирги формуланинг алоҳида ҳолати ифодадир

${\дисплайстйле \инт_0^\инфтй э^{-ат}Ж_0(бт)\матҳрм дт = \фраc{1}{\сқрт{а^2+б^2}}.}$

Шунингдек қаранг

• Силиндрсимон функциялар
• Сферик функциялар
• Ўзгартирилган Бессел функциялари
• Бессел нури

Манбалар

Адабиётлар

• Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 
• Бейтмен Г., Эрдейи А.  „Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены“, . Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд. М.: Наука, 1974. 
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.