Bessel potensiali

Математикада Бессел потенциали Риэсз потенциалига ўхшаш потенциалдир (Фридрих Вилгелм Бессел номи билан аталган), лекин чексизликда яхшироқ парчаланиш хусусиятларига эга.

Агар с мусбат ҳақиқий қисмга эга комплекс сон бўлса, с тартибли Бессел потенсиали оператори:

${\дисплайстйле (И-\Делта)^{-с/2}}$

бу ерда Δ – Лаплас оператори ва каср қуввати Фуре трансформлари ёрдамида аниқланади.

Юкава потенсиали Бессел потенциалларининг ${\дисплайстйле с=2}$ 3 ўлчовли фазода хусусий ҳолатларидир

Фуре фазосида кўриниши

Бессел потенциали Фуре ўзгаришларига кўпайтириш орқали таъсир қилади: ҳар бир ${\дисплайстйле \хи \ин \матҳбб{Р}^д}$учун:

${\дисплайстйле \матҳcал{Ф}((И-\Делта)^{-с/2} у) (\хи)= \фраc{\матҳcал{Ф}у (\хи)}{(1 + 4 \пи^2 \верт \хи \верт^2)^{с/2}}.}$

Интеграл кўринишлари

${\дисплайстйле с > 0}$ бўлганда, Бессел потенсиали ${\дисплайстйле \матҳбб{Р}^д}$да қуйидагича ифодаланиши мумкин:

${\дисплайстйле (И - \Делта)^{-с/2} у = Г_с \аст у,}$

бу ерда Бессел ядроси ${\дисплайстйле Г_с}$ ${\дисплайстйле х \ин \матҳбб{Р}^д \сетминус \{0\}}$ учун интеграл формула бўйича ифодаланади

${\дисплайстйле Г_с (х) = \фраc{1}{(4 \пи)^{с/2}\Гамма (с/2)} \инт_0^\инфтй \фраc{э^{-\фраc{\пи \верт х \верт^2}{й}-\фраc{й}{4 \пи}}}{й^{1 + \фраc{д - с}{2}}}\,\матҳрм{д}й.}$

Бу ерда ${\дисплайстйле \Гамма}$ Гамма функсиясини билдиради. Бессел ядроси орқали ${\дисплайстйле х \ин \матҳбб{Р}^д \сетминус \{0\}}$ ҳам ифодаланиши мумкин:

${\дисплайстйле Г_с (х) = \фраc{э^{-\верт х \верт}}{(2\пи)^\фраc{д-1}{2} 2^\фраc{с}{2} \Гамма (\фраc{с}{2}) \Гамма (\фраc{д - с + 1}{2})} \инт_0^\инфтй э^{-\верт х \верт т} \Биг(т + \фраc{т^2}{2}\Биг)^\фраc{д - с - 1}{2} \,\матҳрм{д}т.}$

Ушбу охирги ифодани ўзгартирилган Бессел функсияси нуқтаи назаридан қисқароқ ёзиш мумкин, шу сабабли потенсиал ўз номини олади:

${\дисплайстйле Г_с(х)=\фраc{1}{2^{(с-2)/2}(2\пи)^{д/2}\Гамма(\фраc{с}{2})}К_{(д-с)/2}(\верт х \верт) \верт х \верт^{(с-д)/2}.}$

Асимптотиклар

Келиб чиқишида бирида ${\дисплайстйле \верт х\верт \то 0}$,

${\дисплайстйле Г_с (х) = \фраc{\Гамма (\фраc{д - с}{2})}{2^с \пи^{с/2} \верт х\верт^{д - с}}(1 + о (1)) \қуад \техт{ иф } 0 < с < д,}$

${\дисплайстйле Г_д (х) = \фраc{1}{2^{д - 1} \пи^{д/2} }\лн \фраc{1}{\верт х \верт}(1 + о (1)) ,}$

${\дисплайстйле Г_с (х) = \фраc{\Гамма (\фраc{с - д}{2})}{2^с \пи^{с/2} }(1 + о (1)) \қуад \техт{ иф }с > д.}$

Хусусан, ${\дисплайстйле 0 < с < д}$ бўлганда Бессел потенсиали Риэсз потенсиали каби асимптотик тарзда ўзини тутади.

Чексизликда, ${\дисплайстйле \верт х\верт \то \инфтй}$,

${\дисплайстйле Г_с (х) = \фраc{э^{-\верт х \верт}}{2^\фраc{д + с - 1}{2} \пи^\фраc{д - 1}{2} \Гамма (\фраc{с}{2}) \верт х \верт^\фраc{д + 1 - с}{2}}(1 + о (1)).}$

Шунингдек қаранг:

• Риэсз потенсиали
• Соболев фазоси
• Шредингер каср тенгламаси
• Юкава потенсиали

Манбалар

• Графакос, Лоукас (2009), Модерн Фоуриэр аналйсис, Градуате Техц ин Матҳематиcс, 250-жилд (2нд-нашр), Берлин, Неw Ёрк: Спрингер-Верлаг, дои:10.1007/978-0-387-09434-2, ИСБН 978-0-387-09433-5, МР 2463316
• Стеин, Элиас (1970), Сингулар интегралс анд дифферентиабилитй пропертиэс оф фунcтионс, Принcетон, НЖ: Принcетон Университй Пресс, ИСБН 0-691-08079-8