Riesz potensiali

Riesz potentsiali matematikada uning kashfiyotchisi vengriyalik matematik Marsel Ries nomi bilan atalgan potentsialdir. Qaysidir maʼnoda Riesz potentsiali Evklid fazosida Laplas operatorining kuchiga teskari kuchni ifodalaydi. Ular bir oʻzgaruvchili Riemann-Liouville integrallarini bir nechta oʻzgaruvchilarga umumlashtiradi.

Agar 0 < a < n bo'lsa, u holda R ⁿ dagi lokal integrallanuvchi f funksiyaning Riesz potensiali I _a f uyidagi funksiyasi bilan aniqlanadi:

Failed to parse (Unknown function \R): {\displaystyle (I_{\alpha}f) (x)= \frac{1}{c_\alpha} \int_{\R^n} \frac{f(y)}{| x - y |^{n-\alpha}} \, \mathrm{d}y} 1

konstanta quyidagicha berilgan:

$c_\alpha = \pi^{n/2}2^\alpha\frac{\Gamma(\alpha/2)}{\Gamma((n-\alpha)/2)}.$

Bu singulyar integral yaxshi aniqlangan, agar f cheksizlikda yetarlicha tez kamaydi, ayniqsa f ∈ L <sup id="mwJw"><i id="mwKA">p</i></sup> (<b id="mwKQ">R</b> <sup id="mwKg"><i id="mwKw">n</i></sup>) 1 bilan ≤ p < n / a. Aslida, har qanday 1 ≤ p uchun (p >1 klassik, Sobolevga koʻra, p =1 boʻlganda), f va I _a f ning kamayish tezligi tengsizlik koʻrinishida bogʻlangan (Hardi-Littlevud-Sobolev tengsizligi)

$\|I_\alpha f\|_{p^*} \le C_p \|Rf\|_p, \quad p^*=\frac{np}{n-\alpha p},$

bu yerda $Rf=DI_1f$ vektor qiymatli Riesz konvertatsiyasi. Umuman olganda, I _a operatorlari kompleks a uchun aniq belgilangan, 0 < Re α < n.

Riesz potensialini zaif maʼnoda konvolyutsiya sifatida aniqlash mumkin

$I_\alpha f = f*K_\alpha$

Bu yerda K _a - mahalliy integrallanadigan funksiya:

$K_\alpha(x) = \frac{1}{c_\alpha}\frac{1}{|x|^{n-\alpha}}.$

Riesz potensialini f ixcham qoʻllab-quvvatlanadigan taqsimot boʻlganda aniqlash mumkin. Shu munosabat bilan, musbat Borel oʻlchovi μ ning Riesz potentsiali asosan potentsial nazariyaga qiziqish uygʻotadi, chunki I _a μ u holda μ tayanchidan (uzluksiz) subharmonik funksiya boʻlib, barcha R ⁿ da pastki yarim uzluksizdir.

Furye konvertatsiyasini koʻrib chiqish Riesz potentsialining Furye koʻpaytmasi ekanligini koʻrsatadi. Quyidagini bilamiz:

$\widehat{I_\alpha f}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha} \hat{f}(\xi).$

va konvolyutsiya teoremasiga koʻra

$\widehat{I_\alpha f}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha} \hat{f}(\xi).$

Riesz potentsiallari tez kamayib boruvchi uzluksiz funksiyalar uchun quyidagi yarimguruh xususiyatini qondiradi:

$I_\alpha I_\beta = I_{\alpha+\beta}$

Berilgan:

$0 < \operatorname{Re} \alpha, \operatorname{Re} \beta < n,\quad 0 < \operatorname{Re} (\alpha+\beta) < n.$

Bundan tashqari, agar 0 < Re α < n–2 boʻlsa, u holda:

$\Delta I_{\alpha+2} = I_{\alpha+2} \Delta=-I_\alpha.$

Bundan tashqari, ushbu sinf funksiyalari uchun:

$\lim_{\alpha\to 0^+} (I_\alpha f)(x) = f(x).$

Shuningdek qarang:

• Bessel potensiali
• Fraksion integratsiya
• Sobolev fazosi

Manbaʼlar

• Landkof, N. S. (1972), Foundations of modern potential theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0350027
• Riesz, Marcel (1949), „L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy“, Acta Mathematica, 81: 1–223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102.
•  
• Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean, An $L^1$-type estimate for Riesz potentials, arXiv:1411.2318, doi:10.4171/rmi/937
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8
• Samko, Stefan G. (1998), „A new approach to the inversion of the Riesz potential operator“ (PDF), Fractional Calculus and Applied Analysis, 1 (3): 225–245, 2016-02-22da asl nusxadan (PDF) arxivlandi, qaraldi: 2022-05-27