Ziyosfera

Uzluksiz funksiya

Uzluksiz funksiya – maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, fi x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar fi x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (fi x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi.

Birinchi taʻrif

Agar limx→x0⁡f(x)=f(x0){\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)} boʻlsa, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0{\displaystyle x_0} nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak, f(x){\displaystyle f(x)} funksiyaning x0{\displaystyle x_0} nuqtada uzluksiz ushbu 1) limx→x0⁡f(x)=b{\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=b} ning mavjudligi, 2) b=f(x0){\displaystyle b=f(x_0)} boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

Misollar

  1. Ushbu f(x)=x4+x2+1{\displaystyle f(x)=x^4+x^2+1} funksiya ∀x0∈R{\displaystyle \forall x_0\in R} nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki limx→x0⁡f(x)=limx→x0⁡(x4+x2+1)=x04+x02+1=f(x0){\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (x^4+x^2+1)=x^4_0+x^2_0+1=f(x_0)}
  2. Ushbu f(x)=(sinx)2={1,agarx≠0bo′lsa0,agarx=0bo′lsa{\displaystyle f(x) = (sinx)^2=\begin{cases} 1, agar & x\neq0& bo'lsa \\ 0, agar & x=0 &bo'lsa \end{cases}} funksiyani qaraylik. Ravshanki, ∀x0∈R{\displaystyle \forall x_0\in R} nuqtada limx→x0⁡f(x)=1{\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=1} boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya ∀x0∈R{\displaystyle \forall x_0\in R}, x0≠0{\displaystyle x_0\neq0} nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo f(0)=0{\displaystyle f(0)=0} boʻlgani sababli limx→x0⁡f(x)=f(0){\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(0)} boʻladi. Demak, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0=0{\displaystyle x_0=0} nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning x0{\displaystyle x_0} nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

Ikkinchi taʻrif

Agar n→∞{\displaystyle n\rightarrow\infty} da xn→x0{\displaystyle x_n\rightarrow x_0} (xn∈X,n=1,2...){\displaystyle (x_n\in X, n=1,2...)} boʻladigan ixtiyoriy {xn}{\displaystyle \{x_n\}} ketma-ketlik uchun n→∞{\displaystyle n\rightarrow\infty} da f(xn)→f(x0){\displaystyle f(x_n)\rightarrow f(x_0)} boʻlsa, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0{\displaystyle x_0} nuqtada uzluksiz deyiladi.

Uchinchi taʻrif

Agar ∀ϵ>0{\displaystyle \forall\epsilon>0} son olinganda ham shunday δ=δ(ϵ)>0{\displaystyle \delta=\delta(\epsilon)>0} son topilsaki, ∀x∈X⋂Uδ(x0){\displaystyle \forall x \in X \bigcap U_\delta (x_0)} uchun ∣f(x)−f(x0)∣<ϵ{\displaystyle \mid f(x)-f(x_0)\mid <\epsilon} tengsizlik bajarilsa, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0{\displaystyle x_0} nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, x−x0{\displaystyle x-x_0} ayirma argument orttirmasi, f(x)−f(x0){\displaystyle f(x)-f(x_0)} esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda △x{\displaystyle \bigtriangleup x} va △f{\displaystyle \bigtriangleup f} kabi belgilanadi: △x=x−x0{\displaystyle \bigtriangleup x=x-x_0}, △f=f(x)−f(x0)=f(x0+△x)−f(x0){\displaystyle \bigtriangleup f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}.

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu lim△→0⁡△f=0{\displaystyle \textstyle \lim_{\bigtriangleup \to 0} \displaystyle \bigtriangleup f=0} koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning x0{\displaystyle x_0} nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya X⊂R{\displaystyle X\subset R} toʻplamda berilgan boʻlib, x0∈X{\displaystyle x_0 \in X} nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

Toʻrtinchi taʻrif

Agar limx→x0+0⁡f(x)=f(x0){\displaystyle \lim_{x \to x_0+0} f(x)= f(x_0)} (limx→x0⁡f(x)=f(x0)){\displaystyle (\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0))} boʻlsa, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0{\displaystyle x_0} nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0{\displaystyle x_0} nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning x0{\displaystyle x_0} nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: f(x0+0)=f(x0){\displaystyle f(x_0+0)=f(x_0)} (f(x0−0)=f(x0)){\displaystyle (f(x_0-0)=f(x_0))}.

Keltirilgan taʻriflardan, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0{\displaystyle x_0} nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman, f(x){\displaystyle f(x)} funksiyaning x0{\displaystyle x_0} nuqtada uzluksiz boʻlishi, ∀ϵ>0{\displaystyle \forall\epsilon>0} berilganda ham unga koʻra shunday δ=δ(ε)>0{\displaystyle \delta=\delta(\varepsilon)>0} topilib, ∀x∈∪δ(x0)⊂X⇒f(x)∈∪ε(f(x0)){\displaystyle \forall x\in \cup_\delta(x_0)\subset X\Rightarrow f(x) \in\cup_\varepsilon(f(x_0))} boʻlishini bildiradi.

Beshinchi taʻrif

Agar f(x){\displaystyle f(x)} funksiya X⊂R{\displaystyle X\subset R} toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya X{\displaystyle X} toʻplamda uzluksiz deyiladi.

Oltinchi taʻrif

X⊂R{\displaystyle X\subset R} toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va C(X){\displaystyle C(X)} kabi belgilanadi.

Masalan, f(x)∈C[a,b]{\displaystyle f(x)\in C[a,b]} boʻlishi, f(x){\displaystyle f(x)} funksiyaning [a,b]{\displaystyle [a,b]} segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni f(x){\displaystyle f(x)} funksiya (a,b){\displaystyle (a,b)} intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, a{\displaystyle a} nuqtadan oʻngdan, b{\displaystyle b} nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

Funksiyaning uzulishi

Aytaylik, f(x){\displaystyle f(x)} funksiya (a,b){\displaystyle (a,b)} da (−∞≤a<b≤+∞){\displaystyle (-\infty\leq a<b\leq +\infty)} berilgan boʻlib, x0∈(a,b){\displaystyle x_0\in(a,b)} boʻlsin.

Maʻlumki, f(x){\displaystyle f(x)} funksiyaning x0{\displaystyle x_0} nuqtadagi oʻng va chap limitlari f(x0+0){\displaystyle f(x_0+0)}, f(x0−0){\displaystyle f(x_0-0)} mavjud boʻlib, f(x0−0)=f(x0)=f(x0+0){\displaystyle f(x_0-0)=f(x_0)=f(x_0+0)} tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda f(x){\displaystyle f(x)} funksiya x0{\displaystyle x_0} nuqta f(x){\displaystyle f(x)} funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

Yettinchi taʻrif

Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa, x0{\displaystyle x_0} nuqta f(x){\displaystyle f(x)} funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda f(x0+0)−f(x0−0){\displaystyle f(x_0+0)-f(x_0-0)} ayirma funksiyning x0{\displaystyle x_0} nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, f(x)=[x]{\displaystyle f(x)=[x]} funksiya x=p{\displaystyle x=p} (p∈Z){\displaystyle (p\in Z)} nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki f(p+0)=p{\displaystyle f(p+0)=p}, Failed to parse (Unknown function \ce): {\displaystyle \ce{f(p_0)=p-1}} boʻlib f(p+0)≠f(p0−0){\displaystyle f(p+0)\neq f(p_0-0)} boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, x0{\displaystyle x_0} nuqta f(x){\displaystyle f(x)} funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu f(x)={sin1x,agarx≠0bo′lsa0,agarx=0bo′lsa{\displaystyle f(x) = \begin{cases} sin\frac{1}{x}, agar & x\neq0& bo'lsa \\ 0, agar & x=0 &bo'lsa \end{cases}} funksiya x=0{\displaystyle x=0} nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya x=0{\displaystyle x=0} nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

Murakkab funksiyaning uzluksizligi

Faraz qilaylik, y=f(x){\displaystyle y=f(x)} funksiya X⊂R{\displaystyle X\subset R} toʻplamda, u=F(y){\displaystyle u=F(y)} funksiya esa Yf{\displaystyle Y_f} toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida u=(f(x)){\displaystyle u=(f(x))} murakkab funksiya tuzilgan[1].

Manbalar

  1. ↑ Гулмирза Худойберганов, Азизжон Ворисов. Функциянинг узлуксизлиги тушунчаси, 2010 — 95-99-bet.  
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Uzluksiz_funksiya" dan olindi