Uzluksiz funksiya sahifasining manbasini koʻrish

'''Uzluksiz funksiya''' – maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. [[Funksiya|Funksiyaning]] uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, ﬁ x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar ﬁ x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (ﬁ x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi. 

== Birinchi taʻrif ==
Agar <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)</math> boʻlsa, <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0</math> nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak, <math>f(x)</math> funksiyaning <math>x_0</math> nuqtada uzluksiz ushbu 1) <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=b</math> ning mavjudligi, 2) <math>b=f(x_0)</math> boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

=== Misollar ===

# Ushbu <math>f(x)=x^4+x^2+1</math> funksiya <math>\forall x_0\in R</math> nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (x^4+x^2+1)=x^4_0+x^2_0+1=f(x_0)</math>
# Ushbu <math>f(x) = (sinx)^2=\begin{cases} 1, agar & x\neq0& bo'lsa \\ 0, agar & x=0 &bo'lsa \end{cases}</math> funksiyani qaraylik. Ravshanki,  <math>\forall x_0\in R</math> nuqtada <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=1</math> boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya <math>\forall x_0\in R</math>, <math>x_0\neq0</math> nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo <math>f(0)=0</math> boʻlgani sababli <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=f(0)</math> boʻladi. Demak, <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0=0</math> nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning <math>x_0</math> nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

== Ikkinchi taʻrif ==
Agar <math>n\rightarrow\infty</math> da <math>x_n\rightarrow x_0</math>  <math>(x_n\in X, n=1,2...)</math> boʻladigan ixtiyoriy <math>\{x_n\}</math> ketma-ketlik uchun  <math>n\rightarrow\infty</math> da <math>f(x_n)\rightarrow f(x_0)</math> boʻlsa, <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0</math> nuqtada uzluksiz deyiladi.

== Uchinchi taʻrif ==
Agar <math>\forall\epsilon>0</math> son olinganda ham shunday <math>\delta=\delta(\epsilon)>0</math> son topilsaki, <math>\forall x \in X \bigcap U_\delta (x_0)</math> uchun <math>\mid f(x)-f(x_0)\mid <\epsilon</math> tengsizlik bajarilsa, <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0</math> nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, <math>x-x_0</math> ayirma argument orttirmasi, <math>f(x)-f(x_0)</math> esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda <math>\bigtriangleup x</math> va <math>\bigtriangleup f</math> kabi belgilanadi: <math>\bigtriangleup x=x-x_0</math>, <math>\bigtriangleup f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)</math>.

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu <math>\textstyle \lim_{\bigtriangleup \to 0} \displaystyle \bigtriangleup f=0</math> koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning <math>x_0</math> nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, <math>f(x)</math> funksiya <math>X\subset R</math> toʻplamda berilgan boʻlib, <math>x_0 \in X</math> nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

== Toʻrtinchi taʻrif ==
Agar <math>\lim_{x \to x_0+0} f(x)= f(x_0)</math> <math>(\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0))</math> boʻlsa, <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0</math> nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0</math> nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning <math>x_0</math> nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: <math>f(x_0+0)=f(x_0)</math>  <math>(f(x_0-0)=f(x_0))</math>.

Keltirilgan taʻriflardan, <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0</math> nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman, <math>f(x)</math> funksiyaning <math>x_0</math> nuqtada uzluksiz boʻlishi, <math>\forall\epsilon>0</math> berilganda ham unga koʻra shunday <math>\delta=\delta(\varepsilon)>0</math> topilib, <math>\forall x\in \cup_\delta(x_0)\subset X\Rightarrow f(x) \in\cup_\varepsilon(f(x_0))</math> boʻlishini bildiradi.

== Beshinchi taʻrif ==
Agar <math>f(x)</math> funksiya <math>X\subset R</math> toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, <math>f(x)</math> funksiya <math>X</math> toʻplamda uzluksiz deyiladi.

== Oltinchi taʻrif ==
<math>X\subset R</math> toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va <math>C(X)</math> kabi belgilanadi.

Masalan, <math>f(x)\in C[a,b]</math> boʻlishi, <math>f(x)</math> funksiyaning <math>[a,b]</math> segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni <math>f(x)</math> funksiya <math>(a,b)</math> intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, <math>a</math> nuqtadan oʻngdan, <math>b</math> nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

=== Funksiyaning uzulishi ===
Aytaylik, <math>f(x)</math> funksiya <math>(a,b)</math> da <math>(-\infty\leq a<b\leq +\infty)</math> berilgan boʻlib, <math>x_0\in(a,b)</math> boʻlsin.

Maʻlumki, <math>f(x)</math> funksiyaning <math>x_0</math> nuqtadagi oʻng va chap limitlari <math>f(x_0+0)</math>, <math>f(x_0-0)</math> mavjud boʻlib, <math>f(x_0-0)=f(x_0)=f(x_0+0)</math> tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda <math>f(x)</math> funksiya <math>x_0</math> nuqta <math>f(x)</math> funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

== Yettinchi taʻrif ==
Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa, <math>x_0</math> nuqta <math>f(x)</math> funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda <math>f(x_0+0)-f(x_0-0)</math> ayirma funksiyning <math>x_0</math> nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, <math>f(x)=[x]</math> funksiya <math>x=p </math> <math>(p\in Z)</math> nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki <math>f(p+0)=p</math>,  <chem>f(p_0)=p-1</chem> boʻlib <math>f(p+0)\neq f(p_0-0)</math> boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, <math>x_0</math> nuqta <math>f(x)</math> funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu <math>f(x) = \begin{cases} sin\frac{1}{x}, agar & x\neq0& bo'lsa \\ 0, agar & x=0 &bo'lsa \end{cases}</math> funksiya <math>x=0</math> nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya <math>x=0</math> nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

=== Murakkab funksiyaning uzluksizligi ===
Faraz qilaylik, <math>y=f(x)</math> funksiya <math>X\subset R</math> toʻplamda, <math>u=F(y)</math> funksiya esa <math>Y_f</math> toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida <math>u=(f(x))</math> murakkab funksiya tuzilgan<ref>{{Kitob manbasi|title=Функциянинг узлуксизлиги тушунчаси|year=2010|author=Гулмирза Худойберганов, Азизжон Ворисов|pages=95-99}}</ref>.

== Manbalar ==
[[Turkum:Umumiy topologiya]]
[[Turkum:Metrik geometriya]]
[[Turkum:Matematik tahlil]]
[[Turkum:Funksiya turlari]]