Ziyosfera

Fraktal

Сиэрпиńски гилами – чексиз периметр ва нол майдон кўриниши.
Манделброт тўплами ороллар кўринишида.
Манделброт то'плами. Унинг чегараси Ҳаусдорфф о'лчамида аниқланадиган фрактал эгри чизиқдан иборат. Тасвирнинг рангли бўлимлари Манделброт тўпламининг бир қисмига эмас, уларнинг қанчалик тез бўлишига асосланган.
12 та айланали Манделброт тўплами.
Манделброт тўплами чегарасининг яқинлаштирилган кўриниши.

Фрактал – бир-бирига ўхшаш, кичик масштабдаги тузилмаларни жамлаган, қисмлари кетма-кет катталаштиришларда кўринадиган геометрик шакл[1][2][3][4]. У аниқлаштирилган сари катталашиб боради ва ўзига ўхшаш кўплаб нақшли сегментларни ҳосил қилади. Фрактал умуман айтганда оддий геометрик шаклларнинг турли ўлчовдаги йиғиндисидан иборат[5]. Фрактал ўлчов эса математикада геометрик типдаги мураккаб шаклларнинг миқдор ва сифат жиҳатдан статистикасини кўрсатишда қўлланилади. Фрактал нақш ўзидаги шаклларнинг ҳаракатига қараб ўзгариб боради. Шу орқали шакллар орасидаги бўш жой тўлиб, узлуксизлиги таъминланади.

Сиэрпиńски гилами (6-даражагача катталашган), топологик ўлчами 1, ҳаусдорфф ўлчами 1,893 бўлган фрактал.
Фрактал бўлмаган, геометрик жиҳатдан тўғри чизиқ.

Фрактал тузилиш назарияси математикада узоқ йиллар мобайнида ўрганилган (тахминан 1600-йиллардан бошлаб)[6], аммо илк бор атама сифатида фрактал сўзи 1967-йил Беноит Манделброт томонидан „Тҳе фраcтал геометрй оф Натуре“ (Табиатнинг фрактал геометрияси) китобида[7] ёритилган[8]. У жисмлар қисмларининг ўхшашлигига асосланиб фрактал тузилишидаги қайталанишларга алоҳида эътибор берган. Мақоласида Леwис Фрй Ричардсоннинг соҳил чизиғининг узунлиги уни ўлчашда ишлатилган ўлчов таёқчаси узунлигига монанд равишда ўзгараётганини ҳақида фикр билдирган. Бунга кўра, қирғоқ узунлиги чизиғининг фрактал ўлчами, ўлчаш учун зарур бўлган масштабдаги таёқчалар сони, таёққа нисбатан қўлланилаётган шкала билан бирга ўзгариб бораётганини кузатган[9].

Фрактал бошқа чекланган геометрик шакллардан ўлчови жиҳатдан фарқ қилади. Унинг фазовий ўлчами бутун сон бўлиши шарт эмас ва кўпинча доимий ўчамидан каттароқ сон чиқади[10]. Бу миқдор ҳам шаклнинг айнан одатий ўлчамидан фарқлаб олиш учун унинг фрактал тузилишига асосланиб ўлчанади[8].

ХВИИ асрдан бошлаб фрактал рекурсия тушунчаси билан бирга қўлланилиб бошланди. ХИХ асрда Бернард Болзано, Бернҳард Риэманн ҳамда Карл Wеиэрстрасслар узлуксиз, дифференсиаллашмаган бу тузилмаларни математик жиҳатдан ўрганишга киришди. ХХ асрда фрактал атамаси пайдо бўлиши билан бирга уларни компютерга асосланган моделлаштириш тизими ҳам кучайтирилди[11]. Математиклар фрактал шаклга турлича таърифлар бериб ўтишган. Манделброт уни жозибадор, қаттиқ ва тобора оммалашмоқда деб таърифлаган. Кейинчалик ўзгартиришлар киритиб, бу бўлакларга бўлина оладиган, ҳар бир бўлак бутуннинг маълум бир қисми бўлган геометрик шакл эканлигини айтган[12][13]. Фрактал атамасининг қўлланилиши шу тарзда Манделброт таърифи билан боғлаб тушинтириладиган бўлди, яъни фрактал сўзи умумий фрактал ўлчами жиҳатдан қўлланилиши мумкин бўлган барча вариантлар учун бир маънода ишлатилиши мумкин[8].

Фрактал билан бирга математикада фрактал ўлчам атамаси кенг қўлланилади. Фрактал ўлчам бу фрактал тузилишга эга, узлуксиз нақшлар ва тўпламларнинг тахминий кўрсаткичи бўлиб, уларнинг мураккаблиги масштабларидаги мураккаблик билан ифодаланади. Фрактал ўлчамлардан обектларнинг кенг спектрик тасвирлари, турбулентлик, дарё тармоқлари, шаҳарлар ўсиши, инсон физиологияси, тиббиёт, бозор ва тенденсия каби соҳа ва йўналишларда фойдаланиш мумкин. Фрактал ўлчамларга илк марта мураккаб геометрик шаклларни ўлчам жиҳатдан белгиловчи бирлик сифатида қаралган. Оддий геометрик шакллар эса назарий фрактал қиймат шакллар тўпламининг эвклид ёки топологик ўлчами билан бир хил ҳисоблаб топилган. Фрактални тўплам ҳолида ўлчаш керак бўлса, қиймат унинг топологик ўлчамидан юқори чиқади ва тўплам фрактал геометрияга эга деб ҳисобланади[14].

Этимологияси

Фрактал атамаси 1975-йилда Франсуз математиги Беноîт Манделброт томонидан фанга киритилган[15]. Лотинчада „фрācтус“ – бузилган, синган деган маъноларни англатади. Назарий жиҳатдан фрактал ўлчовлар табиатдаги геометрик нақшларни ҳисоблашга нисбатан ҳам ишлатилган[6][16].

Таърифи

Оддий фрактал дарахти.
Ўн бир итерацияли фрактал дарахти.

Математикада ва жамоатчилик талқинида фрактал тушунчаси турли хил маънолар касб этади. Жамоатчиликда кўпроқ бу санъат билан боғланади. Санъат жиҳатдан қараганда бир-бирига ўхшаш, нозик тузилмаларни катталаштириш учун обектив ва бошқа қурилмалар ёрдамида уларнинг яна такрорланишини кузатиш мумкин. Бунда фракталларда ўзгариш содир бўлмайди аммо бир хил нақш қайта-қайта такрорланади[17][18]. Математик усулларсиз тушинилиши мумкин бўлган фракталнинг яна бир хусусияти ўлчамининг топографик ўлчамдан каттароқ бўлишидир. Фрактал ва геометрик тўғри шаклларни солиштирсак, тўғри чизиқ одатий равишда бир ўлчовли деб қабул қилинган, агар у асл узунлигидан 1/3 қисмга бўлинса, унда учта тенг бўлак ҳосил бўлади. Квадрат шакл икки ўлчамли деб қаралади ва иккала ўлчамда 1/3 марта кичрайтирилса бўлаклар сони ортади. Бунда кўриб чиқсак, обектлар қайсидир ўлчовда бўлганда уни бўлакларга бўлиш, миқдорнинг ортишига олиб келяпти. Масштаб фактори кичраяпти. Фракталлар назариясида эгри чизиқда кўрилганда уни тўртта кичик нусхага бўлиш мумкин ва уларнинг ҳар бири 1/3 миқёсда коэффициентига кўра кичиклашади. Бунда эгри чизиқ ўлчамини 3Д=4 формула бўйича мос келади ва Д сонини фрактал ўлчамини ифодалайди. Шундай қилиб, фракталларни обектнинг ҳақиқий ўлчамидан фарқ қиладиган топологик ўлчам дейиш мумкин.

3Д моделлаштириш орқали яратилган фрактал.

Математик тенгламаларда фракталлар ҳеч бир жойда фарқланмайди ва уларни одатий усуллар билан ўлчаб бўлмайди[19][20]. Тўлқинсимон, фрактал бўлмаган эгри чизиқнинг узунлигини топишда тўлқинлар устида учлари мос келадиган даражада кичик ўлчов асбоби ўрнатилади. Ўчов асбоби ва чизиқ сегментлари уланади. Аммо қор парчаси каби мураккаб эгри чизиқли, фрактал бўлган шаклларда сегмент топиб бўлмайди, сабаби асбоб ўрнатишга ҳаракат қилинганда, шикастланган қисм ўз ўрнини тезда тўлдиради, кичик масштабларда қайтадан тизилади. Натижада бутун эгри чизиқ юзасини қоплаб ўлчаш учун чексиз ўлчов лентаси керак бўлади ва бундан келиб чиқиб қор парчаси каби фрактал шакллар чексиз периметрга эга деб қаралади[21].

Тарихи

Коч қор парчаси. Тенг қиррали учбурчакдан бошланиб, ҳар бир чизиқ сегментининг ўртача учдан бир қисмида тенг қиррали бурма ҳосил қилувчи жуфт чизиқ сегментлари билан алмаштирадиган фрактал.
Cантор (учлик) тўплами.

Фракталлар тарихи дастлабки геометрик назарий маълумотлардан компютер графикасидаги замонавий усулларгача бўлган ривожланишни ўз ичига олади. Кўпчилик олимлар томонидан фракталларнинг янги кўринишлари кашф қилиниб келинган[22][23]. Санъат сифатида Африка анъанавий архитектура маданиятида фракталлар масштабларидан фойдаланиш кенг тарқалган. Бунда кичик обектлардан катталарининг ҳосил бўлиши, масалан, думалоқ уй-жойлардан думалоқ шаклда қишлоқларнинг қурилишини кўриш мумкин[24]. Математик назариялари ХВИИ асрда математик ва файласуф Готтфриэд Леибнизнинг структураларнинг бир-бирга ўхшашлиги фикрлари асосида шаклланиб бошлаган[25]. 1872-йил 18-июнда Карл Wеиэрстрасс биринчи марта бугунги кунда фрактал деб ҳисоблаш мумкин бўлган геометрик шаклни оммага намойиш этган. У Пруссия Қироллик Фанлар Академиясида ҳамма жойда узлуксиз ва ҳеч жойда фарқланмайдиган тузилмани фрактал эканлигини таърифлаган[26][22][23]. 1883-йилда Wеиэрстрасс маърузалари бўйича таҳсил олган Георг Cантор ғайриоддий хусусиятларга эга бўлган, ҳозирда фракталлар сифатида тан олинган Cантор тўпламларини нашр эттирган[27].

Жулиа тўплами, Манделброт тўпламига тегишли фракталлардан бири.
Фрактал дарахтидан Сиэрпиńски қистирмаси ҳосил бўлиши.

Фелих Клеин ҳамда Ҳенри Поинcарé ўрта асрнинг сўнги йилларида ўзига тескари фракталлар деб номланувчи Поинcарé фракталларини фанга киритган. Кейинги муҳим бурилиш, 1904-йилда Ҳелге вон Коч томонидан Поинcарé ғоялари ҳамда Wеиэрстрасснинг мавҳумлик ва аналитиклик таърифидан розорилиги асосида фракталнинг қўлда чизилган тасвирини яратилган ва у Коч қор парчаси деб аталган[22][23].

Мултифрактал масштабли фрактал тури.
Бир хил масса марказли учбурчак фрактал.

Орадан ўн йил ўтиб, 1915-йилда яна бир муҳим воқеа, Wаcłаw Сиэрпиńски ўзининг машҳур учбурчаги (Сиэрпиńски учбурчаги), бир йилдан кейин Сиэрпиńски гилами номли фракталларни яратди. Сиэрпиńски учбурчаги бу тенг томонли, учлари бир-бирига кўп марта қайта улаб ҳосил қилинадиган учбурчак кўринишдаги фрактал[28]. 1918-йилда икки франсуз математиги Пиэрре Фатоу ва Гастон Жулиа мустақил фаолият юритиб, бир вақтда мураккаб рақамлар ва функсияларни фрактал усулларда хариталаш ишларини олиб боришган. 1918-йил март ойига келиб Фелих Ҳаусдорфф фракталларда ўлчов тушинчасини кенгайтирган. Бир-бирига ўхшаш эгри чизиқлар лойиҳасини Паул Лéвй фанга олиб кирган.

Дизайн соҳасида фрактал шаклларнинг кенг ёйилиши дастлабки тадқиқотчиларнинг қўлёзма чизмалари билан боғлиқ. Замонавий компютер графикаси ёрдамисиз дастлабки нақшлар фракталлар кўринишида бўлган аммо уларнинг ўлчам ва қийматини баҳолаш учун етарли воситалар мавжуд бўлмаган[29][30]. 1975-йилда Манделброт томонидан фрактал тушунчасининг фанга олиб кирилиши юзлаб йиллик фикр ва мулоҳазаларни бир тўхтамга жамлади. У фракталнинг математик изоҳини компютерда яратилган визуализациялар орқали тасвирлади ва тасаввур уйғотишга эришди. Булардан унинг Манделброт тўплами машҳурликка эришган. Уларнинг барчаси ҳам рекурсияга асосланиб, фрактал атамасини мазмунан очиб беришга қаратилган[31][22][25]. 1980-йилда Лорен Cарпентер „СИГГРАПҲ“ (Компютер графикаси ва интерактив техникалар бўйича махсус қизиқиш гуруҳи)да ўзининг фрактал усулда ландшафтлар яратиш бўйича дастурий таъминотини намойиш этган[32].

Турлари

2х да 120 даражали рекурсив итерацияланган функсия тизимлари.

Манделброт келтирган таъриф бўйича фрактал бу ўз-ўзини такрорлайдиган қисмлардан ташкил топган, тартибсиз бўлакланган шакл. Уларнинг ҳар бири бутуннинг кичрайтирилган нусхаси[6][33][34][35]. Фракталларнинг барчаси умумий тузилиш қонуниятига бўйсунгани билан, маълум бир шакллари жиҳатдан турларга бўлиниши мумкин. Фалcонер такидлашича, улар қуйидаги хусусиятлари билан характерланади:

  • Тўлиқ ўхшаш қисмли фрактал: барча қисмлари бир хил нақшли, масалан, қор парчаси.
  • Фақат ўзига ўхшаш фрактал: турли масштаблардаги бир хил нақшлар, масалан, Манделброт тўплами.
  • Статистик ўзига ўхшаш фрактал: нақшлари тасодифий такрорланади, сон ёки статистик кўрсаткичлари шкалалар бўйича сақланиб қолади. Уларда Коч қор парчаси каби такрорланадиган қисмни топиш мушкул. Тасодифий ҳосил бўладиган фракталларга Британия қирғоқ чизиғининг ўлчамларини киритиш мумкин[36].
  • Сифатий жиҳатдан ўзига ўхшаш фрактал: Вақт қисмлари каби.
  • Мултифрактал масштабли фрактал: Бир нечта фрактал ўлчовли ва масштабли қиёслашга кўра аниқланади.
  • Бундан ташқари фракталларнинг шундай турлари борки, уларда сегментлар маҳаллий ва умумий миқёсда тартибсиз жойлашган бўлади ва уларни геометрик жиҳатдан осонликча тасвирлаб бўлмайди. Бундай фракталларни тасвирлаш учун юзаларини силлиқлаш, бурилишларини текислаш усуллари қўлланилади[8]. Гуруҳ бўлиб жойлашганда фракталлар ва фрактал бўлмаган шаклларни ажратиш қийинчилик туғдириши мумкин. Чунки фрактал қисмлари орасида улар ўзаро ўхшаш шаклларда ҳам учрайди[6].

Фрактал ҳосил қилишнинг умумий усуллари

Л-тизимлар тамойиллари асосида силиcо моделлаштирилган, ўзига хос шохланишли наъмуна[37].

Фракталларни яратишда фрактал ҳосил қилувчи дастурлардан фойдаланилади. Бунда уларга капалак эффекти таъсир қилади ва бу орқали кичик ўзгаришлар олдиндан айтиб бўлмайдиган натижаларга олиб келиши мумкин. Қуйида бир қанча усуллар келтирилган:

Муқобил ҳавола учун чекланган бўлиниш қоидаси асосида яратилган фрактал.

Моделлаштирилган фракталлар

Файл:Фраcтал Студй -1.огг Табиатда фрактал нақшларнинг барча турлари ҳам мавжуд бўлмай, уларнинг кўпчилиги кенг кўламда моделлаштирилади. Моделлаштириш эса назарий жиҳатдан табиатда мавжуд бошқа фракталларни ва фрактал хусусиятга эга бошқа ҳодисаларни ҳам таҳлил қилишга ёрдам беради. Жараён натижаларида юқори бадиий тасвирлар, график дизайн наъмуналари, таҳлиллар кўрсаткичлари олишга эришилган. Бу эса технология ривожида қўл келган. Компютер соҳасида видео ўйинларни лойиҳалаштиришда ҳам фракталлардан фойдаланиш оммалашган[43].

Моделлаштирилган фракталлар товушлар, ритмлар, рақамлар, электрокимёвий нақшлар кўринишида бўлиши мумкин[44][45]. Фрактал нақшлар ўлчами 3 ўлчовли фазода, виртуал тарзда моделлаштирилади. Фрактал моделлари юқорида айтиб ўтилган усулларда фрактал яратувчи махсус дастурий таъминотда ясалади[46][47]. Масалан, рекурсив алгоритмлар ва Л-тизимлар техникалари ёрдамида дарахтлар шохланиши, нерв система ҳужайралари, қон томирлар, ўпкадаги шохланишлар компютерда моделлаштирилади[48]. Рекурсив нашқлар турини табиатда ҳам учратиш мумкин. Дарахтлар шохлари, папаротник баргларига бутун фрактал шаклнинг кичик бўлаги, сегментлари деб қараш мумкин. Тоғлар ва қирғоқлар эса тасодифий фракталларга мисол бўлади. Бундан ташқари коинотда галактика ва юлдузлар туркумларининг жойлашишлари фрактал ҳисоб-китоблар асосида аниқланади[49]. Улардан олинган тасаввурлар бўйича фракталлар моделлаштирилади.

Фрактал табиат ҳодисалари

Табиатда кузатиладиган фрактал кўринишдаги обектлар ва жараёнлар чекланган масштаб диапозонларида ўзаро ўхшашликни намоён қилади[50]. Табиатнинг жалб қилувчи хусусиятлари, эволуцияни шакллантирувчи ҳодисалар, ўзгарувчан жараёнларнинг ҳаммаси фракталлар орқали юзага келади[51]. Фрактал хусусиятларга эга бўлган ҳодисаларга қуйидагиларни келтириш мумкин:

• Актин ситоскелети[52]

• Протеинлар[53]

• Ёсинлар

• Броwн ҳаракати[54]

• Соҳил чизиқлари[55][56][57]

• Булутлар ҳаракати[58]

• Океан тўлқинлари[59]

• Кратерлар[60][61]

• Кристаллар[62]

• ДНК

• Чанг доналари

• Зилзилалар

• Қон томирлар

• Ўпка томирлари

• Юрак уриши товуши[63]

• Пуркине ҳужайралари[64]

• Сатурн ҳалқалари[65][66]

• Қор парчаси[67]

• Тупроқдаги тешиклар

• Турбулент оқим[68][69]

• Дарахтлар[70]

• Нейронлар

• Чақмоқ

  • Sovuq shishada tabiiy ravishda paydo boʻlgan muz kristallarining fraktal naqshlar hosil qilishi
    Совуқ шишада табиий равишда пайдо бўлган муз кристалларининг фрактал нақшлар ҳосил қилиши
  • Geometrik optik sistemada fraktal havza chegarasi
    Геометрик оптик системада фрактал ҳавза чегараси
  • Ikkita yelim bilan qoplangan akril varaqni ajratib olish jarayonida fraktal hosil boʻlishi
    Иккита елим билан қопланган акрил варақни ажратиб олиш жараёнида фрактал ҳосил бўлиши
  • Akril shisha blokining ichida yuqori kuchlanish bilan parchalangan fraktal – Lichtenberg figurasi hosil qilinishi
    Акрил шиша блокининг ичида юқори кучланиш билан парчаланган фрактал – Личтенберг фигураси ҳосил қилиниши
  • Romanesco broccoli, tabiiy fraktalga yaqinlashuvchi oʻziga xos shakl
    Романесcо броccоли, табиий фракталга яқинлашувчи ўзига хос шакл
  • Muzdan tushirilgan fraktal naqshlari. Naqshlar muzlatilgan CO2 sublimatsiyasi orqali hosil boʻladi. Tasvirning kengligi taxminan bir kilometr
    Муздан туширилган фрактал нақшлари. Нақшлар музлатилган CО2 сублимацияси орқали ҳосил бўлади. Тасвирнинг кенглиги тахминан бир километр
  • Brefeldia maxima. Yogʻochda oʻsadigan Slime zamburugʻi
    Брефелдиа махима. Ёғочда ўсадиган Слиме замбуруғи
  • Psilomelan. Ohaktoshdagi kristallar
    Псиломелан. Оҳактошдаги кристаллар

Ҳужайра биологиясида фракталлар

Ўпка алвеолаларининг фрактал шохланиши.

Тирик организмларда фракталларни асосан шохланиш ва нақшланиш жараёнларида кўриш мумкин. Иан Wонг ва унинг жамоаси томонидан кўчиб юрувчи ҳужайралар тўпланиб фракталларни ҳосил қилиши исботланган[71]. Нерв ҳужайраларида бу жараён аниқроқ кўзга ташланади, нерв ҳужайралари юзасида импулс ўтиш катта сирт ва ҳажм талаб қилади ва шунинг учун ҳам нерв тўри фрактал кўринишда бўлади[72]. Бу эса ҳужайра физиологияси ва патологиясида муҳим аҳамиятга эга[73]. Бундан ташқари ҳужайраости тузилмалар ҳам фрактал ҳолида тўпланиши исботланган. Диэго Крапф инсон организми ҳужайраларида актин филаменти фрактал шаклларда тўпланишини аниқлаган[74]. Шу жиҳатдан Маттҳиас Wеисс эндоплазматик ретикулумнинг фрактал хусусиятини очиб берган[75]. Юрак уриш ритми, қорачиқ ҳаракатлари асоси ҳам фрактал тузилишлардан иборат[76]. Хулоса қилиб айтганда, организмнинг кичик оқсил тузилишларидан бошлаб органлар системасигача барчасида фракталларни учратиш мумкин.

Ижодий ишлар

1999-йилдан бошлаб кўплаб илмий гуруҳлар томонидан фракталлар соҳасида кўплаб ижодий ишлар амалга оширилиб келинган. Жаcксон Поллоcк томонидан бўёқ қуйиш орқали яратилган 50 дан ортиқ расмларда фрактал таҳлиллар ўтказилган[77][78][79]. Неврологлар томонидан Поллоcк фракталлари моделлаштирилган фракталлар ва табиат фракталлари каби стрессни пасайтириши мумкинлиги айтилган[80]. Мах Эрнст каби рассомлар декалкомания усулида фракталга ўхшаш шаклларни яратган. Бунда икки сирт орасига бўёқ босилган ва кейин улар бир-биридан ажратилган[81]. Кибернетик Рон Эглаш фракталлар назариясини математика ва геометрия билан бирга Африка санъати, ўйинлари, савдо ва уй-жойлари асосида меъморчиликда қўллашни таклиф қилган. Шу билан думалоқ уйлар йиғилиб доирасимон кўчалар, тўртбурчак маҳаллалар ичида тўртбурчак тузилмали уйлар пайдо бўлган. Фрактал нақшли шаклларни Африка халқлари тўқимачилигида, ҳайкалтарошлик соҳаларида ҳам учратиш мумкин. Ҳатто у маккажўхори попугида ҳам топилган[82]. Ҳоккй Ситунгкир Индонезия анъанавий санъати, уйлари ва безакларида ҳам фрактал ўхшашликларни лойиҳалаштиришни таклиф қилган[83][84].

Этнограф олим Рон Эглаш фракталлардан фойдаланган ҳолда шаҳарлар тузилиши билан хонадонлар ички дизайнини лойиҳалаштиришни ҳам кўриб чиққан. У Африка меъморчилиги ҳақида шундай изоҳ беради: „Европаликлар илк марта Африкага келганида уларнинг меъморчилиги жуда мураккаб ва тартибсиз эканлигига гувоҳ бўлишган ва бу тузилишни улар ҳам, африкаликларнинг ўзлари ҳам математик шакл эканлигини тасаввур қилишмаган“. Голландиялик рассом М. C. Эсчер ўз асарларида чексизлик билан такрорланадиган шаклларни тасвирлаган, уларга яқинлашиб назар ташлаганда янада кичикроқ аммо бир хил тузилмаларни кўриш мумкин бўлган. Cирcле Лимит ИИИ фрактали унинг шу каби лойиҳаларидан бири[85].

Эстетик фрактал дизайни

Табиатда кенг тарқалган фрактал нақшлар ҳам ўзаро ўхшаш таркибий қисмларга эга ва такрорланувчан. Табиат билан боғлиқ инсон омили томонидан яратилган муҳитда фракталлардан эстетик ва психологик таъсир кўрсатишда фойдаланиш мумкин. Эстетик фракталлар аҳолининг ижтимоий фаровонлиги ва ижобий психологик ҳолатини барқарорлаштиришда аҳамиятга эга. Ушбу дизайн асоси алоҳида фракталлар „дарахти“ кўринишида бўлиб, глобал фрактал „ўрмонлари“ни яратишга қаратилади ва яхлит умумий тасвир ҳосил қилинади. Ушбу тасвирлар бир нечта муҳитларни ўз ичига олади ва барчаси томошабинлар стрессини камайтиришга қаратилади. Бу тадқиқот бўйича ишланганда нақшнинг мураккаблиги, афзаллиги ва жалб қилувчи хусусиятларига биринчи навбатда аҳамият берилади. Кейинчалик маҳаллий тўлдирувчи фрактал қисмларини умумий нақшга қўшиш ҳамда психологик таъсирнинг юзага чиқишига эътибор қаратилади. Томошабин нақшга қараганида уни дам олдирувчи ва эстетик таъсир сифатида қабул қилиши керак. Ушбу тажрибалардан мақсад эса инсон руҳиятида қўзғалиш (асабийлик, ташвишланиш) ва тинчланиш ҳолатлари ўртасида мувозанатга эришишдир. Дарахт шохланиши кўринишидаги ўрта ва мураккаб фрактал шаклларнинг эстетик дизайни инсон томонидан яратилган биомуҳитда тадбиқ этилиб, турмуш тарзининг яхшиланишига ҳизмат қилади[86].

Физиологик таъсири

Инсон кўзи илғай оладиган фрактал ўлчам катталиги 1,3 дан 1,5 оралиғида бўлиши керак[87]. Яратиладиган фрактал нақшлар ҳам айнан шу хусусиятга асосланади ва бу физиологик жиҳатдан стрессни камайтиради[88][89].

Манбалар

  1. ↑ Манделброт, Беноîт Б. Тҳе фраcтал геометрй оф натуре, 1983. ИСБН 978-0-7167-1186-5.. 
  2. ↑ Фалcонер, Кеннетҳ (2003). Фраcтал Геометрй: Матҳематиcал Фоундатионс анд Апплиcатионс. Жоҳн Wилей & Сонс. ИСБН 978-0-470-84862-3. 
  3. ↑ Бриггс, Жоҳн (1992). Фраcталс:Тҳе Паттернс оф Чаос. Лондон: Тҳамес анд Ҳудсон, 1992 — п. 148-бет. ИСБН 978-0-500-27693-8.. 
  4. ↑ Виcсек, Тамáс (1992). Фраcтал гроwтҳ пҳеномена. Сингапоре/Неw Жерсей: Wорлд Сcиэнтифиc. — 139–146-бет. ИСБН 978-981-02-0668-0.. 
  5. ↑ Фрактал назарияси „Педагогика-фрактал-назарияси“. Софф.уз.
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 Манделброт, Беноîт Б.. Тҳе фраcтал геометрй оф натуре. Маcмиллан, 1983. ИСБН 978-0-7167-1186-5. 
  7. ↑ КОМПЙУТЕР ГРАФИКАСИ ВА WЕБ-ДИЗАЙН, М.Э.МАМАРАЖАБОВ, С.Қ.ТУРСУНОВ, Л.М. НАБИУЛИНА. тиу-эду.уз/медиа/боокс. Тошкент: Чўлпон номидаги нашриёт-матбаа ижодий уйи, 2013 — 15-бет. ИСБН 978-9943-05-601-5. Қаралди: 17-декабр 2024-йил. 
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 Манделброт, Беноîт Б.. Фраcталс анд Чаос. Берлин: Спрингер, 2004 — 38-бет. ИСБН 978-0-387-20158-0. „А фраcтал сет ис оне фор wҳич тҳе фраcтал (Ҳаусдорфф-Бесиcовитч) дименсион стриcтлй эхcеэдс тҳе топологиcал дименсион“ 
  9. ↑ Гоует, Жеан-Франçоис. Пҳйсиcс анд фраcтал струcтурес. Парис/Неw Ёрк: Массон Спрингер, 1996. ИСБН 978-0-387-94153-0. 
  10. ↑ Манделброт, Беноîт Б. Тҳе фраcтал геометрй оф натуре, 1983. ИСБН 978-0-7167-1186-5.. 
  11. ↑ Сегал, С. Л. (Жуне 1978). "Риэманн'с эхампле оф а cонтинуоус 'нондифферентиабле' фунcтион cонтинуэд". Тҳе Матҳематиcал Интеллигенcер 1 (2): 81–82. дои:10.1007/БФ03023065. ҳттпс://арчиве.орг/детаилс/матҳематиcал-интеллигенcер_1978_1_2/паге/81. 
  12. ↑ Манделброт, Беноîт Б. Тҳе фраcтал геометрй оф натуре, 1983. ИСБН 978-0-7167-1186-5.. 
  13. ↑ Фалcонер, Кеннетҳ (2003). Фраcтал Геометрй: Матҳематиcал Фоундатионс анд Апплиcатионс. Жоҳн Wилей & Сонс. ИСБН 978-0-470-84862-3. 
  14. ↑ Рақамли технологияларнинг назарий ва амалий масалалари халқаро журналидан „Ер_юзасининг_чегара_узунлигини_фрактал_олчовлар_усули_ёрдамида_аниқлаш“. www.ресеарчгате.нет.
  15. ↑ Беноîт Манделброт, Обжец фраcталс, 1975, п. 4
  16. ↑ Алберс, Доналд Ж.; Алехандерсон, Гералд Л. „Беноîт Манделброт: Ин ҳис оwн wордс“, . Матҳематиcал пеопле : профилес анд интервиэwс. Wеллеслей, МА: АК Петерс, 2008 — 214-бет. ИСБН 978-1-56881-340-0. 
  17. ↑ Манделброт, Беноîт Б. Тҳе фраcтал геометрй оф натуре, 1983. ИСБН 978-0-7167-1186-5.. 
  18. ↑ Алберс, Доналд Ж, "Беноîт Манделброт: Ин ҳис оwн wордс". Матҳематиcал пеопле : профилес анд интервиэwс. Wеллеслей, МА: АК Петерс „Алехандерсон, Гералд Л“. Қаралди: 2008.
  19. ↑ Бриггс, Жоҳн (1992). Фраcталс:Тҳе Паттернс оф Чаос. Лондон: Тҳамес анд Ҳудсон, 1992 — п. 148-бет. ИСБН 978-0-500-27693-8.. 
  20. ↑ Гордон, Нигел (2000). Интродуcинг фраcтал геометрй. ИСБН 978-1-84046-123-7. 
  21. ↑ Манделброт, Беноîт Б. (1983), Маcмиллан. [Тҳе фраcтал геометрй оф натуре Тҳе фраcтал геометрй оф натуре]. ИСБН 978-0-7167-1186-5. 
  22. ↑ 22,0 22,1 22,2 22,3 Эдгар, Гералд. Cлассиcс он Фраcталс. Боулдер, CО: Wествиэw Пресс, 2004. ИСБН 978-0-8133-4153-8. 
  23. ↑ 23,0 23,1 23,2 Трочет, Ҳоллй „А Ҳисторй оф Фраcтал Геометрй“. МаcТутор Ҳисторй оф Матҳематиcс (2009). 2012-йил 12-мартда асл нусхадан архивланган.
  24. ↑ Эглаш, Рон. Африcан Фраcталс Модерн Cомпутинг анд Индигеноус Десигн. Рутгерс Университй Пресс, 1999. ИСБН 978-0-8135-2613-3. 
  25. ↑ 25,0 25,1 Пиcковер, Cлиффорд А.. Тҳе Матҳ Боок: Фром Пйтҳагорас то тҳе 57тҳ Дименсион, 250 Милестонес ин тҳе Ҳисторй оф Матҳематиcс. Стерлинг, 2009 — 310-бет. ИСБН 978-1-4027-5796-9. 
  26. ↑ „Фраcтал Геометрй“. www-ҳисторй.мcс.ст-анд.аc.ук. Қаралди: 2017-йил 11-апрел.
  27. ↑ „Фраcтал Геометрй“. www-ҳисторй.мcс.ст-анд.аc.ук. Қаралди: 2017-йил 11-апрел.
  28. ↑ ФРАКТАЛ ГЕОМЕТРИЙАНИНГ ТАБИАТДАГИ ВА ТЕХНОЛОГИЙАЛАРДАГИ КО’РИНИСҲИ УНИНГ АМАЛИЙОТДАГИ ҚЎЛЛАНИЛИСҲИ, Музаффаржон+Умматов+Алишер.пдф „www.интереуроcонф.cом/индех.пҳп/МСРАИДП/артиcле“. www.интереуроcонф.cом.
  29. ↑ Манделброт, Б. (1967). "Ҳоw Лонг Ис тҳе Cоаст оф Бритаин?". Сcиэнcе 156 (3775): 636–638. дои:10.1126/сcиэнcе.156.3775.636. ПМИД 17837158. Арчивед фром тҳе оригинал он 2021-10-19. ҳттпс://wеб.арчиве.орг/wеб/20211019193011/ҳттп://эна.лп.эду.уа:8080/ҳандле/нтб/52473. Қаралди: Оcтобер 31, 2020. Фрактал]]
  30. ↑ Баттй, Мичаэл (Април 4, 1985). "Фраcталс – Геометрй Бетwеэн Дименсионс". Неw Сcиэнтист 105 (1450): 31. 
  31. ↑ Русс, Жоҳн C.. Фраcтал сурфаcес. Спрингер, 1994 — 1-бет. ИСБН 978-0-306-44702-0. Қаралди: 2011-йил 5-феврал. 
  32. ↑ „Вол Либре, ан амазинг CГ филм фром 1980“ (эн). коттке.орг (2009-йил 29-июл). Қаралди: 2023-йил 12-феврал.
  33. ↑ Гоует, Жеан-Франçоис. Пҳйсиcс анд фраcтал струcтурес. Парис/Неw Ёрк: Массон Спрингер, 1996. ИСБН 978-0-387-94153-0. 
  34. ↑ Фалcонер, Кеннетҳ. Фраcтал Геометрй: Матҳематиcал Фоундатионс анд Апплиcатионс. Жоҳн Wилей & Сонс, 2003 — ххв-бет. ИСБН 978-0-470-84862-3. 
  35. ↑ Эдгар, Гералд. Меасуре, топологй, анд фраcтал геометрй. Неw Ёрк: Спрингер-Верлаг, 2008 — 1-бет. ИСБН 978-0-387-74748-4. 
  36. ↑ Карпериэн, Аудрей. Дефининг миcроглиал морпҳологй: Форм, Фунcтион, анд Фраcтал Дименсион. Чарлес Стурт Университй, 2004. ДОИ:10.13140/2.1.2815.9048. 
  37. ↑ Желинек, Ҳерберт Ф.; Карпериэн, Аудрей; Cорнфортҳ, Давид; Cесар, Роберто; Леандро, Жорге де Жесус Гомес „МиcроМод-ан Л-сйстемс аппроач то неурал моделлинг“, . Wоркшоп проcеэдингс: тҳе Сихтҳ Аустралиа-Жапан Жоинт Wоркшоп он Интеллигент анд Эволутионарй Сйстемс, Университй Ҳоусе, АНУ Саркер, Руҳул: . Университй оф Неw Соутҳ Wалес, 2002. ИСБН 978-0-7317-0505-4. ОCЛC 224846454. Қаралди: 2012-йил 3-феврал. „Эвент лоcатион: Cанберра, Аустралиа“ 
  38. ↑ Фраме, Ангус „Итератед Фунcтион Сйстемс“, . Чаос анд фраcталс: а cомпутер грапҳиcал жоурней : тен еар cомпилатион оф адванcед ресеарч Пиcковер, Cлиффорд А.: . Элсевиэр, Аугуст 3, 1998 — 349–351-бет. ИСБН 978-0-444-50002-1. Қаралди: 2012-йил 4-феврал. 
  39. ↑ „Ҳаферман Cарпет“. WолфрамАлпҳа. Қаралди: 2012-йил 18-октябр.
  40. ↑ Ҳаҳн, Ҳорст К.; Георг, Манфред; Пеитген, Ҳеинз-Отто (2005), "Фраcтал аспеcц оф тҳреэ-дименсионал васcулар cонструcтиве оптимизатион". Ин Лоса, Габриэле А.; Нонненмачер, Тҳео Ф. (эдс.). Фраcталс ин биологй анд медиcине. ИСБН 978-3-7643-7172-2. 
  41. ↑ Ж. W. Cаннон, W. Ж. Флойд, W. Р. Паррй. Фините субдивисион рулес. Cонформал Геометрй анд Дйнамиcс, вол. 5 (2001), пп. 153–196.
  42. ↑ Cарбоне, Алессандра; Громов, Микҳаэл; Прусинкиэwиcз, Прземйслаw. Паттерн Форматион ин Биологй, Висион анд Дйнамиcс (эн). Wорлд Сcиэнтифиc, 2000. ИСБН 978-981-02-3792-9. 
  43. ↑ Фракталлар, Фрактал моделлаштириш асослари „Фракталлар-фрактал-моделлаштириш-асослари“. ҳттпс://cйберленинка.ру.
  44. ↑ Бротҳерс, Ҳарлан Ж. (2007). „Струcтурал Сcалинг ин Бач’с Cелло Суите Но. 3“. Фраcталс. 15 (1): 89–95. дои:10.1142/С0218348Х0700337Х.
  45. ↑ Фатҳаллаҳ-Шайкҳ, Ҳассан М. (2011). "Фраcтал Дименсион оф тҳе Дросопҳила Cирcадиан Cлоcк". Фраcталс 19 (4): 423–430. дои:10.1142/С0218348Х11005476. 
  46. ↑ Петерс, Эдгар (1996), Чаос анд ордер ин тҳе cапитал маркец : а неw виэw оф cйcлес, приcес, анд маркет волатилитй. Неw Ёрк: Wилей, 1996. ИСБН 978-0-471-13938-6. 
  47. ↑ Лоса, Габриэле А.; Нонненмачер, Тҳео Ф. (2005), Спрингер. Фраcталс ин биологй анд медиcине. ИСБН 978-3-7643-7172-2. 
  48. ↑ Ҳаҳн, Ҳорст К.; Георг, Манфред; Пеитген, Ҳеинз-Отто „Фраcтал аспеcц оф тҳреэ-дименсионал васcулар cонструcтиве оптимизатион“, . Фраcталс ин биологй анд медиcине. Спрингер, 2005 — 55–66-бет. ИСБН 978-3-7643-7172-2. 
  49. ↑ Фракталлар геометрияси „синапс.уз/мақола“. Синапс.уз.
  50. ↑ „Ҳунтинг тҳе Ҳидден Дименсионал“. Нова. ПБС. WПМБ-Марйланд. Оcтобер 28, 2008.
  51. ↑ ИЛМ САРCҲАСҲМАЛАРИ, ЙЎЛДОСҲЕВ Рўзимбой. „илмсарчашмалари.уз“ (ПДФ). № 1131. 32-бет. 2024-12-19да асл нусхадан (ПДФ) архивланди. Қаралди: 17-декабр 2024-йил. {{cите магазине}}: Cите магазине реқуирес |магазине= (ёрдам)CС1 маинт: дате формат ()
  52. ↑ Садегҳ, Саназ (2017). "Пласма Мембране ис Cомпартментализед бй а Селф-Симилар Cортиcал Аcтин Мешwорк". Пҳйсиcал Ревиэw Х 7 (1): 011031. дои:10.1103/ПҳйсРевХ.7.011031. ПМИД 28690919. ПМC 5500227. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=5500227. 
  53. ↑ Энригҳт, Маттҳеw Б.; Леитнер, Давид М. (Жануарй 27, 2005). "Масс фраcтал дименсион анд тҳе cомпаcтнесс оф протеинс". Пҳйсиcал Ревиэw Э 71 (1): 011912. дои:10.1103/ПҳйсРеве.71.011912. ПМИД 15697635. ҳттпс://зенодо.орг/реcорд/895378. 
  54. ↑ Фалcонер, Кеннетҳ. Фраcталс, А Верй Шорт Интродуcтион. Охфорд Университй Пресс, 2013. 
  55. ↑ Д. Сеэкелл; Б. Cаэл; Э. Линдмарк; П. Бйстрöм (2021). "Тҳе фраcтал сcалинг релатионшип фор ривер инлец то лакес". Геопҳйсиcал Ресеарч Леттерс 48 (9): э2021ГЛ093366. дои:10.1029/2021ГЛ093366. ИССН 0094-8276. ҳттп://урн.кб.се/ресолве?урн=урн:нбн:се:уму:дива-183511. 
  56. ↑ Д. Сеэкелл; М. Л. Паcе; Л. Ж. Транвик; C. Верпоортер (2013). "А фраcтал-басед аппроач то лаке сизе-дистрибутионс". Геопҳйсиcал Ресеарч Леттерс 40 (3): 517–521. дои:10.1002/грл.50139. ҳттпс://ҳал.арчивес-оувертес.фр/ҳал-00932495/филе/грл.50139.пдф. 
  57. ↑ Б. Б. Cаэл; Д. А. Сеэкелл (2016). "Тҳе сизе-дистрибутион оф Эартҳ'с лакес". Сcиэнтифиc Репорц 6: 29633. дои:10.1038/среп29633. ПМИД 27388607. ПМC 4937396. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=4937396. 
  58. ↑ Ловежой, Шаун (1982). "Ареа-периметер релатион фор раин анд cлоуд ареас". Сcиэнcе 216 (4542): 185–187. дои:10.1126/сcиэнcе.216.4542.185. ПМИД 17736252. ҳттпс://арчиве.орг/детаилс/сим_сcиэнcе_1982-04-09_216_4542/паге/184. 
  59. ↑ Аддисон, Паул С.. Фраcталс анд чаос: ан иллустратед cоурсе. CРC Пресс, 1997 — 44–46-бет. ИСБН 978-0-7503-0400-9. Қаралди: 2011-йил 5-феврал. 
  60. ↑ Ваннуcчи, Паола; Леони, Лорензо (2007). "Струcтурал чараcтеризатион оф тҳе Cоста Риcа дécоллемент: Эвиденcе фор сеисмиcаллй-индуcед флуид пулсинг". Эартҳ анд Планетарй Сcиэнcе Леттерс 262 (3–4): 413. дои:10.1016/ж.эпсл.2007.07.056. 
  61. ↑ Сорнетте, Дидиэр. Cритиcал пҳеномена ин натурал сcиэнcес: чаос, фраcталс, селфорганизатион, анд дисордер: cонcепц анд тоолс. Спрингер, 2004 — 128–140-бет. ИСБН 978-3-540-40754-6. 
  62. ↑ Cаннон, Жамес W.; Флойд, Wиллиам Ж.; Перрй, Wалтер Р. „Cрйстал гроwтҳ, биологиcал cелл гроwтҳ анд геометрй“, . Паттерн форматион ин биологй, висион анд дйнамиcс. Wорлд Сcиэнтифиc, 2000 — 65–82-бет. ИСБН 978-981-02-3792-9. 
  63. ↑ Тан, Cан Озан; Cоҳен, Мичаэл А.; Эcкберг, Дwаин Л.; Тайлор, Ж. Андреw (2009). "Фраcтал пропертиэс оф ҳуман ҳеарт период вариабилитй: Пҳйсиологиcал анд метҳодологиcал имплиcатионс". Тҳе Жоурнал оф Пҳйсиологй 587 (15): 3929–41. дои:10.1113/жпҳйсиол.2009.169219. ПМИД 19528254. ПМC 2746620. ҳттпс://арчиве.орг/детаилс/сим_жоурнал-оф-пҳйсиологй_2009-08-01_587_15/паге/3928. 
  64. ↑ Такеда, Т; Ишикаwа, А; Оҳтомо, К; Кобаяши, Й; Мацуока, Т (Фебруарй 1992). "Фраcтал дименсион оф дендритиc треэ оф cеребеллар Пуркинже cелл дуринг онто- анд пҳйлогенетиc девелопмент". Неуросcи Ресеарч 13 (1): 19–31. дои:10.1016/0168-0102(92)90031-7. ПМИД 1314350. 
  65. ↑ Такаясу, Ҳ.. Фраcталс ин тҳе пҳйсиcал сcиэнcес. Манчестер: Манчестер Университй Пресс, 1990 — 36-бет. ИСБН 978-0-7190-3434-3. 
  66. ↑ Жун, Ли; Остожа-Старзеwски, Мартин (Април 1, 2015). "Эдгес оф Сатурн'с Рингс аре Фраcтал". СпрингерПлус 4,158: 158. дои:10.1186/с40064-015-0926-6. ПМИД 25883885. ПМC 4392038. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=4392038. 
  67. ↑ Меер, Йвес; Роқуэс, Сйлвиэ. Прогресс ин wавелет аналйсис анд апплиcатионс: проcеэдингс оф тҳе Интернатионал Cонференcе "Wавелец анд Апплиcатионс", Тоулоусе, Франcе – Жуне 1992. Атлантиcа Сéгуиэр Фронтиèрес, 1993 — 25-бет. ИСБН 978-2-86332-130-0. Қаралди: 2011-йил 5-феврал. 
  68. ↑ Среэнивасан, К. Р.; Меневеау, C. (1986). "Тҳе Фраcтал Фаcец оф Турбуленcе". Жоурнал оф Флуид Мечаниcс 173: 357–386. дои:10.1017/С0022112086001209. ҳттпс://арчиве.орг/детаилс/сим_жоурнал-оф-флуид-мечаниcс_1986-12_173/паге/356. 
  69. ↑ де Силва, C. М.; Пҳилип, Ж.; Чауҳан, К.; Меневеау, C.; Марусиc, И. (2013). "Мултисcале Геометрй анд Сcалинг оф тҳе Турбулент–Нонтурбулент Интерфаcе ин Ҳигҳ Рейнолдс Нумбер Боундарй Лаерс". Пҳйс. Рев. Летт. 111 (6039): 192–196. дои:10.1126/сcиэнcе.1203223. ПМИД 21737736. 
  70. ↑ Манделброт, Беноит Б (1978). "Тҳе фраcтал геометрй оф треэс анд отҳер натурал пҳеномена". Геометриcал Пробабилитй анд Биологиcал Струcтурес: Буффон'с 200тҳ Анниверсарй: Проcеэдингс оф тҳе Буффон Биcентенарй Сймпосиум он Геометриcал Пробабилитй, Имаге Аналйсис, Матҳематиcал Стереологй, анд Тҳеир Релеванcе то тҳе Детерминатион оф Биологиcал Струcтурес: 235–249. 
  71. ↑ Леггетт, Сусан Э.; Неронҳа, Зачарй Ж.; Бҳаскар, Дҳананжай; Сим, Жеа Юн; Пердикари, Тҳеодора Мйрто; Wонг, Иан Й. (2019-08-27). "Мотилитй-лимитед аггрегатион оф маммарй эпитҳелиал cеллс инто фраcтал-лике cлустерс" (эн). Проcеэдингс оф тҳе Натионал Аcадемй оф Сcиэнcес 116 (35): 17298–17306. дои:10.1073/пнас.1905958116. ИССН 0027-8424. ПМИД 31413194. ПМC 6717304. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=6717304. 
  72. ↑ Желинек, Ҳерберт Ф; Фернандез, Эдуардо (Жуне 1998). "Неуронс анд фраcталс: ҳоw релиабле анд усефул аре cалcулатионс оф фраcтал дименсионс?" (эн). Жоурнал оф Неуросcиэнcе Метҳодс 81 (1–2): 9–18. дои:10.1016/С0165-0270(98)00021-1. ПМИД 9696304. ҳттпс://линкингҳуб.элсевиэр.cом/ретриэве/пии/С0165027098000211. 
  73. ↑ Cросс, Симон С. (1997). "Фраcталс ин Патҳологй" (эн). Тҳе Жоурнал оф Патҳологй 182 (1): 1–8. дои:10.1002/(СИCИ)1096-9896(199705)182:1<1::АИД-ПАТҲ808>3.0.CО;2-Б. ИССН 1096-9896. ПМИД 9227334. ҳттпс://арчиве.орг/детаилс/сим_жоурнал-оф-патҳологй_1997-05_182_1/паге/н4. 
  74. ↑ Садегҳ, Саназ; Ҳиггинс, Женнй Л.; Маннион, Патриcк C.; Тамкун, Мичаэл М.; Крапф, Диэго (2017-03-09). "Пласма Мембране ис Cомпартментализед бй а Селф-Симилар Cортиcал Аcтин Мешwорк" (эн). Пҳйсиcал Ревиэw Х 7 (1): 011031. дои:10.1103/ПҳйсРевХ.7.011031. ИССН 2160-3308. ПМИД 28690919. ПМC 5500227. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=5500227. 
  75. ↑ Спеcкнер, Константин; Стадлер, Лоренз; Wеисс, Маттҳиас (2018-07-09). "Аномалоус дйнамиcс оф тҳе эндопласмиc ретиcулум нетwорк" (эн). Пҳйсиcал Ревиэw Э 98 (1): 012406. дои:10.1103/ПҳйсРеве.98.012406. ИССН 2470-0045. ПМИД 30110830. ҳттпс://линк.апс.орг/дои/10.1103/ПҳйсРеве.98.012406. 
  76. ↑ ТОСҲКЕНТ ДАВЛАТ ПЕДАГОГИКА УНИВЕРСИТЕТИ ИЛМИЙ АХБОРОТЛАРИ ИЛМИЙ-НАЗАРИЙ ЖУРНАЛИ, Шарипов Ш.С. „неw.тдпу.уз“ (ПДФ). № 3 (19) 2019. 22-бет. Қаралди: 17-декабр 2024-йил. {{cите магазине}}: Cите магазине реқуирес |магазине= (ёрдам)CС1 маинт: дате формат ()[сайт ишламайди]
  77. ↑ Тайлор, Р. П. (1999). "Фраcтал Аналйсис оф Поллоcк'с Дрип Паинтингс". Натуре 399 (6735): 422. дои:10.1038/20833. 
  78. ↑ Тайлор, Р. П. (2006). "Фраcтал Аналйсис: Ревиситинг Поллоcк'с Паинтингс (Реплй)". Натуре 444 (7119): Э10–11. дои:10.1038/натуре05399. 
  79. ↑ Леэ, С.; Олсен, С.; Гооч, Б. (2007). "Симулатинг анд Аналйзинг Жаcксон Поллоcк'с Паинтингс". Жоурнал оф Матҳематиcс анд тҳе Арц 1 (2): 73–83. дои:10.1080/17513470701451253. 
  80. ↑ Шамар, Л. (2015). "Wҳат Макес а Поллоcк Поллоcк: А Мачине Висион Аппроач". Интернатионал Жоурнал оф Арц анд Течнологй 8: 1–10. дои:10.1504/ИЖАРТ.2015.067389. Арчивед фром тҳе оригинал он 2017-10-25. ҳттпс://wеб.арчиве.орг/wеб/20171025022609/ҳттп://вфаcстафф.лту.эду/лшамир/публиcатионс/wм_поллоcк.пдф. Қаралди: Оcтобер 24, 2017. Фрактал]]
  81. ↑ Тайлор, Р. П.; Спеҳар, Б.; Ван Донкелаар, П.; Ҳагерҳалл, C. М. (2011). "Перcептуал анд Пҳйсиологиcал Респонсес то Жаcксон Поллоcк'с Фраcталс". Фронтиэрс ин Ҳуман Неуросcиэнcе 5: 1–13. дои:10.3389/фнҳум.2011.00060. ПМИД 21734876. ПМC 3124832. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=3124832. 
  82. ↑ Фраме, Мичаэл; анд Манделброт, Беноîт Б.; А Панорама оф Фраcталс анд Тҳеир Усес (Wайбаcк Мачине сайтида Деcембер 23, 2007, санасида архивланган)
  83. ↑ Ситунгкир, Ҳоккй; Даҳлан, Ролан (2009). Фисика батик: имплементаси креатиф мелалуи сифат фрактал пада батик сеcара компутасионал. Жакарта: Грамедиа Пустака Утама. ИСБН 978-979-22-4484-7
  84. ↑ Рулистиа, Новиа Д.. „Апплиcатион мапс оут натион'с батик сторй“ (2015-йил 6-октябр). Қаралди: 2016-йил 25-сентябр.
  85. ↑ Коутонин, Маwуна (Марч 18, 2016). „Сторй оф cитиэс #5: Бенин Cитй, тҳе мигҳтй медиэвал cапитал ноw лост wитҳоут траcе“. Ретриэвед Април 2, 2018.
  86. ↑ Роблес, Келлй Э.; Роберц, Мичелле; Виэнгкҳам, Cатҳерине; Смитҳ, Жулиан Ҳ.; Роwланд, Cонор; Мослеҳи, Саба; Стадлобер, Сабрина; Лесжак, Анастасижа эт ал. (2021). "Аэстҳетиcс анд Псйчологиcал Эффеcц оф Фраcтал Басед Десигн". Фронтиэрс ин Псйчологй 12. дои:10.3389/фпсйг.2021.699962. ИССН 1664-1078. ПМИД 34484047. ПМC 8416160. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=8416160. 
  87. ↑ Тайлор, Ричард П. „Фраcтал Флуэнcй: Ан Интимате Релатионшип Бетwеэн тҳе Браин анд Проcессинг оф Фраcтал Стимули“, . Тҳе Фраcтал Геометрй оф тҳе Браин, Спрингер Сериэс ин Cомпутатионал Неуросcиэнcе. Спрингер, 2016 — 485–496-бет. ИСБН 978-1-4939-3995-4. 
  88. ↑ Тайлор, Ричард П. (2006). "Редуcтион оф Пҳйсиологиcал Стресс Усинг Фраcтал Арт анд Арчитеcтуре". Леонардо 39 (3): 245–251. дои:10.1162/леон.2006.39.3.245. ҳттпс://зенодо.орг/реcорд/894740. 
  89. ↑ Фор фуртҳер дисcуссион оф тҳис эффеcт, сеэ Тайлор, Ричард П.; Спеҳар, Бранка; Донкелаар, Паул Ван; Ҳагерҳалл, Cаролине М. (2011). "Перcептуал анд Пҳйсиологиcал Респонсес то Жаcксон Поллоcк'с Фраcталс". Фронтиэрс ин Ҳуман Неуросcиэнcе 5: 60. дои:10.3389/фнҳум.2011.00060. ПМИД 21734876. ПМC 3124832. //www.пубмедcентрал.ниҳ.гов/артиcлерендер.фcги?тоол=пмcентрез&артид=3124832. 

Адабиётлар

  • Барнслей, Мичаэл Ф.; анд Рисинг, Ҳаwлей; Фраcталс Эверйwҳере. Бостон: Аcадемиc Пресс Профессионал, 1993. ИСБН 0-12-079061-0
  • Дуарте, Герман А.; Фраcтал Нарративе. Абоут тҳе Релатионшип Бетwеэн Геометриэс анд Течнологй анд Иц Импаcт он Нарративе Спаcес. Биэлефелд: Трансcрипт, 2014. ИСБН 978-3-8376-2829-6
  • Фалcонер, Кеннетҳ; Течниқуэс ин Фраcтал Геометрй. Жоҳн Wилей анд Сонс, 1997. ИСБН 0-471-92287-0
  • Жüргенс, Ҳартмут; Пеитген, Ҳеинз-Отто; анд Саупе, Диэтмар; Чаос анд Фраcталс: Неw Фронтиэрс оф Сcиэнcе. Неw Ёрк: Спрингер-Верлаг, 1992. ИСБН 0-387-97903-4
  • Манделброт, Беноит Б.; Тҳе Фраcтал Геометрй оф Натуре. Неw Ёрк: W. Ҳ. Фреэман анд Cо., 1982. ИСБН 0-7167-1186-9
  • Пеитген, Ҳеинз-Отто; анд Саупе, Диэтмар; эдс.; Тҳе Сcиэнcе оф Фраcтал Имагес. Неw Ёрк: Спрингер-Верлаг, 1988. ИСБН 0-387-96608-0
  • Пиcковер, Cлиффорд А.; эд.; Чаос анд Фраcталс: А Cомпутер Грапҳиcал Жоурней – А 10 Еар Cомпилатион оф Адванcед Ресеарч. Элсевиэр, 1998. ИСБН 0-444-50002-2
  • Жонес, Жессе; Фраcталс фор тҳе Маcинтош, Wаите Гроуп Пресс, Cорте Мадера, CА, 1993. ИСБН 1-878739-46-8.
  • Лауwериэр, Ҳанс; Фраcталс: Эндлесслй Репеатед Геометриcал Фигурес, Транслатед бй Сопҳиа Гилл-Ҳоффстадт, Принcетон Университй Пресс, Принcетон НЖ, 1991. ИСБН 0-691-08551-Х, cлотҳ. ИСБН 0-691-02445-6 папербаcк. „Тҳис боок ҳас беэн wриттен фор а wиде аудиэнcе…“ Инcлудес сампле БАСИC програмс ин ан аппендих.
  • Спротт, Жулиэн Cлинтон. Чаос анд Тиме-Сериэс Аналйсис. Охфорд Университй Пресс, 2003. ИСБН 978-0-19-850839-7. 
  • Wаҳл, Бернт; Ван Рой, Петер; Ларсен, Мичаэл; анд Кампман, Эриc; Эхплоринг Фраcталс он тҳе Маcинтош, Аддисон Wеслей, 1995. ИСБН 0-201-62630-6
  • Лесмоир-Гордон, Нигел; Тҳе Cолоурс оф Инфинитй: Тҳе Беаутй, Тҳе Поwер анд тҳе Сенсе оф Фраcталс. 2004. ИСБН 1-904555-05-5 (Тҳе боок cомес wитҳ а релатед ДВД оф тҳе Артҳур C. Cларке доcументарй интродуcтион то тҳе фраcтал cонcепт анд тҳе Манделброт сет.)
  • Лиу, Ҳуажиэ; Фраcтал Арт, Чангша: Ҳунан Сcиэнcе анд Течнологй Пресс, 1997, ИСБН 9787535722348.
  • Гоует, Жеан-Франçоис; Пҳйсиcс анд Фраcтал Струcтурес (Фореwорд бй Б. Манделброт); Массон, 1996. ИСБН 2-225-85130-1, анд Неw Ёрк: Спрингер-Верлаг, 1996. ИСБН 978-0-387-94153-0. Оут-оф-принт. Аваилабле ин ПДФ версион ат.„Пҳйсиcс анд Фраcтал Струcтурес“ (фр). Жфгоует.фр. Қаралди: 2010-йил 17-октябр.
  • Фалcонер, Кеннетҳ. Фраcталс, А Верй Шорт Интродуcтион. Охфорд Университй Пресс, 2013. 
  • М. Э. Мамаражабов, С. Қ. Турсунов, Л. М. Набиулина, Компютер графикаси ва wеб-дизайн, Тошкент: Чўлпон номидаги нашриёт-матбаа ижодий уйи, 2013 – 15-бет. ИСБН 978-9943-05-601-5. Қаралди: 17-декабр 2024-йил.

Ҳаволалар

Викиомборда „Фраcтал“ мавзуси бўйича медиафайллар бор. 
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Fraktal" dan olindi