Garnier integral tizimi

Математик физикада классик Гаудин модели сифатида ҳам танилган Гарниэр интеграллаш тизими 1919 йилда Рене Гарниэр томонидан Счлесингер тенгламаларининг „ Паинлевé соддалаштириши“ ёки „автоном чегараси“ ни олиш орқали кашф этилган классик механик тизимдир . Бу Мишел Гаудин туфайли Книжник-Замолодчиков тенгламаларининг классик аналогидир. Классик Гаудин моделлари интеграциялашган тизим интегралидир.

Улар, шунингдек, Хитчин интегралланувчи тизимларининг ўзига хос ҳолати бўлиб, назария аниқланган алгебраик эгри Риэман сфераси бўлиб, тизим тўлиқ тарвақайлаб кетган.

Шлесингер тенгламаларининг чегараси сифатида

Шлесингер тенгламалари дифференсиал тенгламалар тизимидир ${\дисплайстйле н + 2}$ матрица қийматли функсиялар ${\дисплайстйле А_и:\матҳбб{C}^{н+2} \ригҳтарроw \матҳрм{Мат}(м, \матҳбб{C})}$, томонидан берилган:

$${\дисплайстйле \фраc{\партиал А_и}{\партиал \ламбда_ж} = \фраc{[А_и,А_ж]}{\ламбда_и-\ламбда_ж} \ққуад \ққуад ж\неқ и}$$

$${\дисплайстйле \сум_ж \фраc{\партиал А_и}{\партиал \ламбда_ж} = 0.}$$

„Автоном чегара“ ни алмаштириш орқали берилади ${\дисплайстйле \ламбда_и}$ константалар орқали махраждаги боғлиқлик ${\дисплайстйле \алпҳа_и}$ билан ${\дисплайстйле \алпҳа_{н+1} = 0, \алпҳа_{н+2} = 1}$ :

$${\дисплайстйле \фраc{\партиал А_и}{\партиал \ламбда_ж} = \фраc{[А_и,А_ж]}{\алпҳа_и-\алпҳа_ж} \ққуад \ққуад ж\неқ и}$$$${\дисплайстйле \сум_ж \фраc{\партиал А_и}{\партиал \ламбда_ж} = 0.}$$Бу Гарниэр томонидан дастлаб ишлаб чиқарилган шаклдаги Гарниэр тизими .

Гаудиннинг классик модели сифатида

Гарниэр тизимининг классик механик тизим сифатида формуласи мавжуд, классик Гаудин модели, у квант Гаудин моделига квантланади ва ҳаракат тенгламалари Гарниэр тизимига эквивалентдир. Ушбу бўлим ушбу формулани тавсифлайди.

Ҳар қандай классик тизимга келсак, Гаудин модели Пуассон манифолди томонидан белгиланади ${\дисплайстйле М}$ фаза фазоси деб аталади ва манифолдда силлиқ функсия Гамилтониан деб аталади.

Фаза майдони

Майли ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$ квадратик Ли алгебраси, яъни дегенератив бўлмаган ўзгармас икки чизиқли шаклга эга Ли алгебраси бўлсин. ${\дисплайстйле \каппа}$ . Агар ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$ мураккаб ва содда, бу Киллинг шакли сифатида қабул қилиниши мумкин.

Иккилик, белгиланган ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}^*}$, Кириллов-Костант қавс орқали чизиқли Пуассон тузилишига айлантирилиши мумкин.

Фаза майдони ${\дисплайстйле М}$ Гаудин классик моделининг Декарт маҳсулоти ҳисобланади ${\дисплайстйле Н}$ нусхалари ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}^*}$ учун ${\дисплайстйле Н}$ мусбат бутун сон.

Саҳифалар

Ушбу нусхаларнинг ҳар бири билан боғлиқ бир нуқта ${\дисплайстйле \матҳбб{C}}$, белгиланган ${\дисплайстйле \ламбда_1, \cдоц, \ламбда_Н}$, ва саҳифалар деб аталади.

Лакс матрицаси

Ли алгебрасининг асосини аниқлаш ${\дисплайстйле \{И^а\}}$ тузилиш константалари билан ${\дисплайстйле ф^{аб}_c}$, функциялари мавжуд ${\дисплайстйле Х^а_{(р)}}$ билан ${\дисплайстйле р = 1, \cдоц, Н}$ Пуассон қавсни қаноатлантирувчи фаза фазосида

$${\дисплайстйле \{Х^а_{(р)}, Х^б_{(с)}\} = \делта_{рс}ф^{аб}_c Х^c_{(р)}.}$$

Улар ўз навбатида аниқлаш учун ишлатилади ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$ -қийматли функсиялар

$${\дисплайстйле Х^{(р)} = \каппа_{аб}И^а \отимес Х^б_{(р)}}$$

билвосита йиғиндиси билан.

Кейинчалик, улар Лах матрицасини аниқлаш учун ишлатилади, бу ҳам а ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$ фазалар бўшлиғидаги қийматли функсия, қўшимча равишда мероморфик равишда спектрал ${\дисплайстйле \ламбда}$ параметрга боғлиқ,

$${\дисплайстйле \матҳcал{Л}(\ламбда) = \сум_{р = 1}^Н \фраc{Х^{(р)}}{\ламбда - \ламбда_р} + \Омега,}$$

ва ${\дисплайстйле \Омега}$ нинг доимий элементидир ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$, деган маънода Пуассон барча функсиялари билан ҳаракат қилади (йўқолиб бораётган Пуассон қавсга эга).

(квадрат) Гамилтониан

(квадрат) Гамилтониан

$${\дисплайстйле \матҳcал{Ҳ}(\ламбда) = \фраc{1}{2}\каппа(\матҳcал{Л}(\ламбда), \матҳcал{Л}(\ламбда))}$$

бу ҳақиқатан ҳам фаза фазосининг функсияси бўлиб, у қўшимча равишда спектрал параметрга боғлиқ ${\дисплайстйле \ламбда}$ . Буни шундай ёзиш мумкин:

$${\дисплайстйле \матҳcал{Ҳ}(\ламбда) = \Делта_\инфтй + \сум_{р = 1}^Н\лефт( \фраc{\Делта_р}{(\ламбда - \ламбда_р)^2} + \фраc{\матҳcал{Ҳ}_р}{\ламбда - \ламбда_р} \ригҳт),}$$

билан

$${\дисплайстйле \Делта_р = \фраc{1}{2} \каппа(Х^{(р)}, Х^{(р)}), \Делта_\инфтй = \фраc{1}{2} \каппа(\Омега, \Омега)}$$

ва

$${\дисплайстйле \матҳcал{Ҳ}_р = \сум_{с \неқ р} \фраc{ \каппа( Х^{(р)}, Х^{(с)} )}{ \ламбда_р - \ламбда_с} + \каппа(Х^{(р)} , \Омега).}$$

Пуассон қавс муносабатидан$${\дисплайстйле \{ \матҳcал{Ҳ}(\ламбда), \матҳcал{Ҳ}(\му) \} = 0, \форалл \ламбда, \му \ин \матҳбб{C},}$$турлича ${\дисплайстйле \ламбда}$ ва ${\дисплайстйле \му}$ бу ҳақиқат бўлиши керак ${\дисплайстйле \матҳcал{Ҳ}_р}$ нинг, тҳе ${\дисплайстйле \Делта_р}$ нинг ва ${\дисплайстйле \Делта_\инфтй}$ ҳаммаси инволюцияда. Кўрсатиш мумкинки, ${\дисплайстйле \Делта_р}$ нинг ва ${\дисплайстйле \Делта_\инфтй}$ Фазали фазодаги барча функсиялар билан Пуассон қатнови, лекин ${\дисплайстйле \матҳcал{Ҳ}_р}$ умуман йўқ. Бу Арнол’д Лиоувилле интеграллиги мақсадлари учун инволюцияда сақланиб қолган зарядлардир.

Лакс тенгламаси

Кўрсатиш мумкин:

$${\дисплайстйле \{\матҳcал{Ҳ}_р, \матҳcал{Л}(\ламбда)\} = \лефт[\фраc{Х^{(р)}}{\ламбда - \ламбда_р}, \матҳcал{Л}(\ламбда)\ригҳт],}$$

Шундай қилиб, Лах матрицаси Гамилтончиларнинг бирортаси томонидан вақт эволюцияси берилганда Лах тенгламасини қаноатлантиради. ${\дисплайстйле \матҳcал{Ҳ}_р}$, шунингдек, уларнинг ҳар қандай чизиқли бирикмаси.

Юқори Гамилтониянлар

Касимир квадрати Ли алгебраси учун квадратик Вейл ўзгармас кўпҳадига мос келади. ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$, лекин аслида кўплаб коммутация сақланган тўловлар ёрдамида ҳосил бўлиши мумкин ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$ -ўзгармас кўпҳадлар. Ушбу ўзгармас полиномларни Хариш-Чандра изоморфизми ёрдамида топиш мумкин. ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$ мураккаб, содда ва чекланган.

Классик Гаудин моделлари сифатида интегралланадиган майдон назариялари

Баъзи бир интеграл классик майдон назариялари классик аффин Гаудин моделлари сифатида шакллантирилиши мумкин, бу ерда ${\дисплайстйле \матҳфрак{г}}$ аффин Ли алгебрасидир . Бундай классик майдон назарияларига асосий чирал модел, косет сигма моделлари ва аффин Тода майдон назарияси киради. Шундай қилиб, аффин Гаудин моделларини интеграл тизимлар учун „мастер назария“ сифатида кўриш мумкин, лекин тўрт ўлчовли Черн-Симонс назарияси ёки ўз-ўзидан иккиланган Янг-Миллс каби бошқа асосий назариялардан фарқли ўлароқ, табиий равишда Гамилтон формализмида тузилган.

Гаудин квант моделлари

Гаудин квант моделларининг ажралмас тузилиши ҳақида кўп нарса маълум. Хусусан, Феигин, Френкел ва Решетикхин уларни тепалик оператори алгебралари назариясидан фойдаланган ҳолда ўрганиб, Гаудин моделларининг математика мавзуларига, шу жумладан Книжник-Замолодчиков тенгламалари ва геометрик Лангландс мувофиқлигини кўрсатди.