Geometrik faza

Классик ва квант механикасида, геометрик фаза — бу Гамилтонианъıн параметр фазосининг геометрик хусусиятларидан келиб чиқадиган циклик адиабатик жараёнларга дучор бўлганда, цикл давомида олинган фазалар фарқи. Бу ҳодиса мустақил равишда С. Панчаратнам (1956), классик оптикада ва Ҳ. C. Лонгуэт-Хиггинс (1958) молекуляр физикада; Майкл Берри (1984) томонидан умумлаштирилган. У Панчаратнам-Берри фазаси, Панчаратнам фазаси ёки Берри фазаси сифатида ҳам танилган. Буни потенсиал энергия юзаларининг конус шаклида кесишиши ва Аҳаронов-Бом эффектида кўриш мумкин . C₆Ҳ₃Ф₃ ⁺ молекуляр ионининг тупроқ электрон ҳолатини ўз ичига олган конуссимон кесишиш атрофидаги геометрик фаза Бункер ва Женсен дарслигининг 385-386-бетларида муҳокама қилинади. Аҳаронов-Бом эффекти ҳолатида, адиабатик параметр иккита интерференсия йўллари билан ўралган магнит майдон бўлиб, бу икки йўл ҳалқа ҳосил қилади, деган маънода сикликдир. Конуснинг кесишишида адиабатик параметрлар молекуляр координаталардир . Квант механикасидан ташқари, у классик оптика каби турли хил тўлқин тизимларида пайдо бўлади. Қоида тариқасида, у топологияда қандайдир ўзига хослик ёки тешик яқинида тўлқинни тавсифловчи камида иккита параметр мавжуд бўлганда пайдо бўлиши мумкин; иккита параметр талаб қилинади, чунки ёки носингулар ҳолатлар тўплами оддийгина боғланмайди ёки нолга тенг бўлмаган ҳолономия бўлади.

Тўлқинлар амплитуда ва фаза билан тавсифланади ва бу параметрларга қараб ўзгариши мумкин. Геометрик фаза иккала параметр бир вақтнинг ўзида, лекин жуда секин (адиабатик) ўзгартирилганда ва охир-оқибат дастлабки конфигурацияга қайтарилганда содир бўлади. Квант механикасида бу айланишларни, балки охирида бекор қилинган заррачаларнинг таржималарини ҳам ўз ичига олиши мумкин. Тизимдаги тўлқинлар амплитудалар ва фазалар (ва вақт ўтишини ҳисобга олган ҳолда) билан тавсифланган дастлабки ҳолатга қайтишини кутиш мумкин. Бироқ, агар параметр экскурсиялари ўз-ўзидан орқага ва орқага ўзгарувчан ўзгариш ўрнига ҳалқага тўғри келадиган бўлса, унда бошланғич ва якуний ҳолатлар ўз фазаларида фарқ қилиши мумкин. Бу фазалар фарқи геометрик фаза бўлиб, унинг пайдо бўлиши одатда тизимнинг параметрларга боғлиқлиги баъзи параметрлар комбинацияси учун ягона (унинг ҳолати аниқланмаган) эканлигини кўрсатади.

Тўлқин тизимидаги геометрик фазани ўлчаш учун интерференция тажрибаси талаб қилинади. Фуко маятник классик механиканинг намунасидир, у баъзан геометрик фазани тасвирлаш учун ишлатилади. Геометрик фазанинг бу механик аналоги Ҳаннай бурчаги сифатида танилган.

Квант механикасидаги беррй фазаси

н -чи хос ҳолатдаги квант тизимида Гамилтонианнинг адиабатик эволюцияси тизимнинг Гамилтоннинг н -чи хос ҳолатида қолишини, шу билан бирга фаза омилини олишини кўради. Олинган фаза ҳолатнинг вақт эволюциясидан, иккинчиси эса хос ҳолатнинг ўзгарувчан Гамилтониан билан ўзгаришидан ҳисса қўшади. Иккинчи атама Берри фазасига тўғри келади ва Гамилтонианнинг сиклик бўлмаган ўзгаришлари учун эволюциянинг ҳар бир нуқтасида Гамилтонианнинг хос ҳолатлари билан боғлиқ бўлган фазани бошқача танлаш орқали йўқолиши мумкин.

Бироқ, агар ўзгариш даврий бўлса, Беррй босқичини бекор қилиш мумкин эмас; у ўзгармасдир ва тизимнинг кузатиладиган хусусиятига айланади. Макс Борн ва Владимир Фок томонидан Зеицчрифт фüр Пҳйсик 51, 165 (1928) да берилган адиабатик теореманинг исботини кўриб чиқсак, биз адиабатик жараённинг фаза ҳадига бутун ўзгаришини тавсифлашимиз мумкин. Адиабатик яқинлашишда адиабатик жараён остидаги н -чи хос ҳолат коэффициэнти қуйидагича ифодаланади:

$${\дисплайстйле C_н(т) = C_н(0) \эхп\лефт[-\инт_0^т \лангле\пси_н(т')|\дот\пси_н(т')\рангле \,дт'\ригҳт] = C_н(0) э^{и\гамма_н(т)},}$$

бу ерда ${\дисплайстйле \гамма_н(т)}$ т параметрига нисбатан Берри фазасидир. т ўзгарувчисини умумлаштирилган параметрларга ўзгартириб, биз Беррй фазасини қайта ёзишимиз мумкин.

$${\дисплайстйле \гамма_н[C] = и\оинт_C \лангле н, т| \биг(\набла_Р |н, т\рангле\биг)\,дР,}$$

бу ерда ${\дисплайстйле Р}$ сиклик адиабатик жараённи параметрлаштиради. ${\дисплайстйле |н, т\рангле}$ нинг нормаллашувига эътибор беринг, интегралнинг хаёлий эканлигини билдиради, шунинг учун ${\дисплайстйле \гамма_н[C]}$ ҳақиқийдир. У ёпиқ йўлдан боради ${\дисплайстйле C}$ тегишли параметр майдонида. Ёпиқ йўл бўйлаб геометрик фаза ${\дисплайстйле C}$ билан ўралган сирт устида Берри эгрилигини интеграллаш орқали ҳам ҳисоблаш мумкин ${\дисплайстйле C}$ .

Геометрик фазаларга мисоллар

Фуко маятниги

Энг осон мисоллардан бири Фуко маятнигидıр . Геометрик фазалар бўйича осон тушунтириш Wилcзек ва Шапер томонидан берилган:

Маятник С умумий йўл бўйлаб олинганда қандай қилиб олдинга ўтади? Экватор бўйлаб ташиш учун маятник олдинга ўтмайди. […] Энди агар C геодезик сегментлардан иборат бўлса, пресессия ҳаммаси геодезия сегментлари учрашадиган бурчаклардан келиб чиқади; умумий пресессия аниқ танқислик бурчагига тенг бўлиб, у ўз навбатида C модули 2π билан ўралган қаттиқ бурчакка тенг. Ниҳоят, биз геодезик сегментлар кетма-кетлиги бўйича ҳар қандай ҳалқани тахмин қилишимиз мумкин, шунинг учун энг умумий натижа (сфера юзасида ёки ундан ташқарида) аниқ пресессия ёпиқ қаттиқ бурчакка тенгдир.

Турли сўзлар билан айтганда, маятникни олдинга силжитадиган ҳеч қандай инертиал кучлар мавжуд эмас, шунинг учун прецессия (маатник олиб бориладиган йўлнинг ҳаракат йўналишига нисбатан) бутунлай бу йўлнинг бурилиши билан боғлиқ. Шундай қилиб, маятник йўналиши параллел транспортдан ўтади. Дастлабки Фуко маятник учун йўл кенглик доираси ва Гаусс-Боннет теоремаси бўйича фаза силжиши ёпиқ қаттиқ бурчак билан берилган.

Келтириб чиқариш

Сферада ёпиқ ҳалқа атрофида векторнинг параллел ташиши: унинг буриш бурчаги, α, ҳалқа ичидаги майдонга пропорционалдир.

Ер билан тандемда ҳаракатланадиган, лекин Ернинг ўз ўқи атрофида айланишини тақсимламайдиган инерциал рамкада маятникнинг осма нуқтаси бир юлдуз куни давомида айлана йўлини кузатади.

Парижнинг 48 градус 51 минут шимолдаги кенглигида тўлиқ пресессия айланиши 32 соатдан сал кам вақтни олади, шунинг учун бир юлдуз кунидан сўнг, Ер бир юлдуз кунидагидек ориэнтацияга қайтганида, тебраниш текислиги атиги ортга бурилди. 270 даражадан юқори. Агар бурилиш текислиги бошида шимолдан жанубга бўлган бўлса, бир кундан кейин у шарқдан ғарбга йўналтирилади.

Бу ҳам импулс алмашинуви бўлганлигини англатади; Ер ва маятник боб импулсларини алмашган. Ер маятник бобига қараганда шунчалик каттароқки, Ер импулсининг ўзгариши сезилмайди. Шунга қарамай, маятник бобнинг тебраниш текислиги ўзгарганлиги сабабли, сақланиш қонунлари алмашинув содир бўлиши кераклигини англатади.

Импулснинг ўзгаришини кузатиш ўрнига, тебраниш текислигининг пресессиясини параллел ташиш ҳолати сифатида самарали тасвирлаш мумкин. Бунинг учун чексиз кичик айланишларни тузиш орқали шуни кўрсатиш мумкинки, прецессия тезлиги Ернинг бурчак тезлигининг Ерга нормал йўналиши бўйича проексиясига пропорционалдир, бу эса тебраниш текислигининг изи параллел ташишдан ўтишини англатади. . 24 соатдан сўнг, Ер рамкасидаги изнинг бошланғич ва охирги йўналишлари ўртасидаги фарқ α = −2π син φ ни ташкил қилади, бу Гаусс-Боннет теоремаси томонидан берилган қийматга мос келади. α маятникнинг голономияси ёки геометрик фазаси деб ҳам аталади. Ерга уланган ҳаракатларни таҳлил қилганда, Ер рамкаси инертиал рамка эмас, балки маҳаллий вертикал атрофида кунига 2π син φ радиан самарали тезликда айланади. Фуко маятникининг бурилиш текислигининг бурилиш бурчагини тасвирлаш учун Ер юзасига тегиб турган конуслар ичида параллел ташишдан фойдаланадиган оддий усулдан фойдаланиш мумкин .

Ер билан боғланган координаталар тизими нуқтаи назаридан (ўлчов доираси ва томошабин Ер билан чегараланган, шунингдек, агар у ҳаракатланаётганда Кориолис кучига ер реакцияси томошабин томонидан сезилмаса), х ўқи шарққа қаратилган тўртбурчаклар координата тизимидан фойдаланиш ва унинг й ўқи шимолга қаратилган бўлса, маятникнинг пресессияси Кориолис кучига боғлиқ (бошқа хаёлий кучлар тортишиш ва марказдан қочма кучлар тўғридан-тўғри пресессия компонентига эга эмас, Эйлер кучи паст, чунки Ернинг айланиш тезлиги деярли доимий). Кичик бурчак яқинлашувида доимий табиий частотаси ω бўлган планар саркаcни кўриб чиқинг. Маятник бобида иккита куч таъсир қилади: тортишиш ва сим билан таъминланган тикловчи куч ва Кориолис кучи (тортишиш кучини тикловчи кучга қарши марказдан қочма кучни эътиборсиз қолдириш мумкин). φ кенгликдаги Кориолис кучи кичик бурчак яқинлашувида горизонтал бўлиб, қуйидагича ифодаланади:

$${\дисплайстйле \бегин{алигн} Ф_{c, х} &=2 м \Омега \дфраc{дй}{дт} \син\варпҳи\\ Ф_{c, й} &=- 2 м \Омега \дфраc{дх}{дт} \син\варпҳи \энд{алигн}}$$

Бу ерда Ω — Ернинг айланиш частотаси, Ф_c,х х — йўналишдаги Кориолис кучининг компоненти ва Ф_c,й — й — йўналишдаги Кориолис кучининг компоненти.

Қайта тикловчи куч, кичик бурчакли яқинлашувда ва марказдан қочма кучда қуйидагича ифодаланади:

$${\дисплайстйле \бегин{алигн} Ф_{г,х} &=- м \омега^2 х \\ Ф_{г,й} &=- м \омега^2 й. \энд{алигн}}$$

Юлдузли кун ва кенгликдаги прецессия даври ва прецессия графиклари. Фуко маятникининг жанубий яримшарда соат милига тескари, Шимолий яримшарда эса соат йўналиши бўйича айланиши натижасида белги ўзгаради. Мисол шуни кўрсатадики, Париждаги бир юлдуз ҳар бир юлдуз кунида 271 ° дан ўтиб, айланиш учун 31,8 соат вақт олади.

Нютоннинг ҳаракат қонунларидан фойдаланиб, бу тенгламалар системасига олиб келади

$${\дисплайстйле \бегин{алигн} \дфраc{д^2х}{дт^2} &=-\омега^2 х + 2 \Омега \дфраc{дй}{дт} \син \варпҳи\\ \дфраc{д^2й}{дт^2} &=-\омега^2 й - 2 \Омега \дфраc{дх}{дт} \син \варпҳи . \энд{алигн}}$$

Мураккаб координаталарга ўтиш з = х + ий, тенгламалар ўқилади

$${\дисплайстйле \фраc{д^2з}{дт^2} + 2и\Омега \фраc{дз}{дт} \син \варпҳи +\омега^2 з=0 \,.}$$

Биринчи буюртма учун

$${\дисплайстйле з=э^{-и\Омега \син \варпҳи т}\лефт(c_1 э^{и\омега т}+c_2 э^{-и\омега т}\ригҳт) \,.}$$

Агар вақт кунларда ўлчанадиган бўлса, у ҳолда Ω = 2π ва маятник бир кун давомида −2π син φ бурчак билан айланади.

Оптик толада қутбланган ёруғлик

Иккинчи мисол — битта режимли оптик толага кирувчи чизиқли поларизацияланган ёруғлик. Фараз қилайлик, тола космосда қандайдир йўлни босиб ўтади ва ёруғлик толага кирган йўналишда чиқади. Кейин дастлабки ва якуний поларизацияларни солиштиринг. Ярим классик ёндашувда тола тўлқин ўтказгич вазифасини бажаради ва ёруғлик моменти ҳар доим толага тегиб туради. Поларизацияни импулсга перпендикуляр ориэнтация сифатида қараш мумкин. Эляф ўз йўлидан чиқиб кетаётганда, ёруғликнинг импулс вектори импулс фазосида сферада йўлни излайди. Йўл ёпиқ, чунки ёруғликнинг бошланғич ва охирги йўналишлари мос келади ва қутбланиш сферага вектор тангенсидир. Импулс фазосига бориш Гаусс харитасини олиш билан тенгдир. Поларизацияни айлантира оладиган кучлар йўқ, фақат сферага тегиб қолиш учун чеклов. Шундай қилиб, қутбланиш параллел равишда ўтади ва фаза силжиши ёпиқ қаттиқ бурчак (ёруғлик ҳолатида спиннинг 1 марта) билан берилади.

Стокастик насос эффекти

Стокастик насос классик стокастик тизим бўлиб, параметрларнинг даврий ўзгаришига ўртача нолга тенг бўлмаган оқимлар билан жавоб беради. Стокастик насос эффекти стокастик оқимларнинг момент ҳосил қилувчи функсияси эволюциясидаги геометрик фаза нуқтаи назаридан талқин қилиниши мумкин.

Аттракторларда аниқланган геометрик фаза

Беррининг формуласи дастлаб чизиқли Гамилтон тизимлари учун аниқланган бўлса-да, тез орада Нинг ва Хакен шунга ўхшаш геометрик фазани маълум циклик аттракторларга эга бўлган чизиқли бўлмаган диссипатив тизимлар каби мутлақо бошқа тизимлар учун белгилаш мумкинлигини англаб этди. Улар бундай циклик аттракторлар маълум симметрияларга эга бўлган чизиқли бўлмаган диссипатив тизимлар синфида мавжудлигини кўрсатдилар. Берри фазасини бу умумлаштиришнинг бир қанча муҳим жиҳатлари мавжуд: 1) Беррининг дастлабки фазаси учун параметр фазоси ўрнига бу Нинг-Ҳакен умумлаштириш фаза фазосида аниқланади; 2) Квант механик тизимидаги адиабатик эволюция ўрнига, фазалар фазосида тизимнинг эволюцияси адиабатик бўлмаслиги керак. Вақтинчалик эволюциянинг вақт миқёсида ҳеч қандай чеклов йўқ; 3) Гермит тизими ёки чизиқли дампингли гермитий бўлмаган тизим ўрнига тизимлар одатда чизиқли ва гермитий бўлмаган бўлиши мумкин.

Молекуляр адиабатик потенциал сирт кесишмаларида таъсир қилиш

Борн-Оппенгеймер тизимида молекулаларда геометрик фазани ҳисоблашнинг бир неча усуллари мавжуд. Бунинг бир усули „адиабатик бўлмаган уланиш“ орқали амалга оширилади ${\дисплайстйле М \тимес М}$ матрица" томонидан аниқланади:

$${\дисплайстйле \тау_{иж}^\му = \лангле \пси_и | \партиал^\му \пси_ж \рангле,}$$

бу ерда ${\дисплайстйле \пси_и}$ ядро параметрларига боғлиқ ҳолда адиабатик электрон тўлқин функциясидир ${\дисплайстйле Р_\му}$ . Ноадиабатик боғланиш, М. томонидан молекуляр асос учун мустақил равишда ишлаб чиқилган, дала назариясидаги Уилсон ҳалқасига (1974) ўхшаш ҳалқа интегралини аниқлаш учун ишлатилиши мумкин. Баэр (1975, 1980, 2000). Ёпиқ ҳалқа берилган ${\дисплайстйле \Гамма}$, томонидан параметрланган ${\дисплайстйле Р_\му(т),}$ қаерда ${\дисплайстйле т \ин [0, 1]}$ параметрдир ва ${\дисплайстйле Р_\му(т + 1) = Р_\му(т)}$ . Д -матрица томонидан берилган

$${\дисплайстйле Д[\Гамма] = \ҳат{П} э^{\оинт_\Гамма \тау^\му \,дР_\му}}$$(Бу ерга ${\дисплайстйле \ҳат{П}}$ йўлни тартибга солувчи белги). Буни бир марта кўрсатиш мумкин ${\дисплайстйле М}$ этарлича катта бўлса (яъни электрон ҳолатларнинг етарли сони ҳисобга олинади), бу матрица диагонал бўлиб, диагонал элементлари тенг. ${\дисплайстйле э^{и\бета_ж},}$ қаерда ${\дисплайстйле \бета_ж}$ учун ҳалқа билан боғлиқ геометрик фазалардир ${\дисплайстйле ж}$ — адиабатик электрон ҳолат.

Вақт тескари носимметрик электрон Гамилтонианлар учун геометрик фаза ҳалқа билан ўралган конуснинг кесишмалари сонини акс эттиради. Аниқроқ айтганда,

$${\дисплайстйле э^{и\бета_ж} = (-1)^{Н_ж},}$$бу ерда ${\дисплайстйле Н_ж}$ адиабатик ҳолат иштирок этган конуссимон кесишмалар сони ${\дисплайстйле \пси_ж}$ ҳалқа билан ўралган ${\дисплайстйле \Гамма.}$

Д -матрицали ёндашувга алтернатива Панчаратнам фазасини тўғридан-тўғри ҳисоблаш бўлади. Бу, айниқса, агар киши фақат адиабатик ҳолатнинг геометрик фазалари билан қизиқса фойдали бўлади. Ушбу ёндашувда рақам олинади ${\дисплайстйле Н + 1}$ баллар сони ${\дисплайстйле (н = 0, \доц, Н)}$ ҳалқа бўйлаб ${\дисплайстйле Р(т_н)}$ билан ${\дисплайстйле т_0 = 0}$ ва ${\дисплайстйле т_Н = 1,}$ у ҳолда фақат ж — адиабатик ҳолатлардан фойдаланилади ${\дисплайстйле \пси_ж[Р(т_н)]}$ Панчаратнам кўпайтмасини ҳисоблаб чиқади:

$${\дисплайстйле И_ж(\Гамма, Н) = \прод\лимиц_{н=0}^{Н-1} \лангле \пси_ж[Р(т_н)] | \пси_ж[Р(т_{н+1})] \рангле.}$$Чекловда ${\дисплайстйле Н \то \инфтй}$ бири бор (тушунтириш ва баъзи иловалар учун Рйб & Баэр 2004 га қаранг)

$${\дисплайстйле И_ж(\Гамма, Н) \то э^{и\бета_ж}.}$$

Сиклотрон ҳаракатининг геометрик фазаси ва квантланиши

Магнит майдонга дучор бўлган электрон ${\дисплайстйле Б}$ айлана (сиклотрон) орбита бўйлаб ҳаракатланади. Классик тарзда, ҳар қандай сиклотрон радиуси ${\дисплайстйле Р_c}$ қабул қилинади. Квант-механик жиҳатдан фақат дискрет энергия даражаларига (Ландау даражалари) рухсат берилади ва шундан бери ${\дисплайстйле Р_c}$ электроннинг энергияси билан боғлиқ, бу нинг квантланган қийматларига мос келади ${\дисплайстйле Р_c}$ . Шредингер тенгламасини ечиш натижасида олинган энергияни квантлаш шарти, масалан: ${\дисплайстйле Э = (н + \алпҳа)\ҳбар\омега_c,}$${\дисплайстйле \алпҳа = 1/2}$ эркин электронлар учун (вакуумда) ёки ${\дисплайстйле Э = в \сқрт{2(н + \алпҳа)эБ\ҳбар},\қуад \алпҳа = 0}$ графендаги электронлар учун, бу ерда ${\дисплайстйле н = 0, 1, 2, \лдоц}$ . Ушбу натижаларни олиш қийин бўлмаса-да, уларни олишнинг муқобил усули мавжуд бўлиб, у қайсидир маънода Ландау даражасидаги квантлаш ҳақида яхшироқ жисмоний тушунча беради. Бу муқобил усул ярим классик Бор-Соммерфелд квантлаш шартига асосланади:

$${\дисплайстйле \ҳбар\оинт д\матҳбф{р} \cдот \матҳбф{к} - э\оинт д\матҳбф{р}\cдот\матҳбф{А} + \ҳбар\гамма = 2 \пи \ҳбар (н + 1/2),}$$

геометрик фазани ўз ичига олади ${\дисплайстйле \гамма}$ сиклотрон орбитасининг ёпиқ ҳалқаси бўйлаб ўзининг (ҳақиқий фазода) ҳаракатини бажараётганда электрон томонидан олинади. Эркин электронлар учун, ${\дисплайстйле \гамма = 0,}$ эса ${\дисплайстйле \гамма = \пи}$ графендаги электронлар учун. Маълум бўлишича, геометрик фаза тўғридан-тўғри боғланган ${\дисплайстйле \алпҳа = 1/2}$ эркин электронлар ва ${\дисплайстйле \алпҳа = 0}$ графендаги электронлар.

Адабиётлар

• Жеэва Анандан; Жой Чристиан; Казимир Wанелик (1997). "Ресоурcе Леттер ГПП-1: Геометриc Пҳасес ин Пҳйсиcс". Ам. Ж. Пҳйс. 65 (3): 180. дои:10.1119/1.18570. 
• Cантони, В.; Мистрангиоли, Л. (1992). "Тҳреэ-поинт пҳасе, сймплеcтиc меасуре, анд Беррй пҳасе". Интернатионал Жоурнал оф Тҳеоретиcал Пҳйсиcс 31 (6): 937. дои:10.1007/БФ00675086. ҳттпс://арчиве.орг/детаилс/сим_интернатионал-жоурнал-оф-тҳеоретиcал-пҳйсиcс_1992-06_31_6/паге/937. 
• Ричард Монтгомерй. А Тоур оф Субриэманниан Геометриэс, Тҳеир Геодесиcс анд Апплиcатионс. Америcан Матҳематиcал Соc., 8 Аугуст 2006 — 11–-бет. ИСБН 978-0-8218-4165-5.  (Сеэ чаптер 13 фор а матҳематиcал треатмент)
• Cоннеcтионс то отҳер пҳйсиcал пҳеномена (суч ас тҳе Жаҳн–Теллер эффеcт) аре дисcуссед ҳере: Беррй’с геометриc пҳасе: а ревиэw
• Папер бй Проф. Галвез ат Cолгате Университй, десcрибинг Геометриc Пҳасе ин Оптиcс: Апплиcатионс оф Геометриc Пҳасе ин Оптиcс (Wайбаcк Мачине сайтида 2007-08-24 санасида архивланган)
• Суря Гангули, Фибре Бундлес анд Гауге Тҳеориэс ин Cлассиcал Пҳйсиcс: А Унифиэд Десcриптион оф Фаллинг Cац, Магнетиc Монополес анд Беррй’с Пҳасе