Ziyosfera

Golonomik cheklovlar

Классик механикада голономик чекловлар позиция ўзгарувчилари (ва эҳтимол вақт) ўртасидаги муносабатлар бўлиб, улар қуйидаги шаклда ифодаланиши мумкин[1]:

ф(у1,у2,у3,…,ун,т)=0{\дисплайстйле ф(у_1, у_2, у_3,\лдоц, у_н, т) = 0}

бу ерда {у1,у2,у3,…,ун}{\дисплайстйле \{ у_1, у_2, у_3, \лдоц, у_н \}} тизимни тавсифловчи н та умумлаштирилган координаталар (чекланмаган конфигурация майдонида). Масалан, шар юзасида ётиш билан чегараланган заррачанинг ҳаракати голономик чекланишга бўйсунади, лекин агар заррача тортишиш кучи таъсирида сферадан тушиши мумкин бўлса, чеклов голономик бўлмаган бўлади. Биринчи ҳолда, голономик чеклов тенглама билан берилиши мумкин

р2−а2=0{\дисплайстйле р^2-а^2=0}

бу ерда р{\дисплайстйле р} радиусли шарнинг марказидан масофа а{\дисплайстйле а}, ҳолбуки, иккинчи ҳолономик бўлмаган ҳолат томонидан берилиши мумкин

р2−а2≥0{\дисплайстйле р^2 - а^2 \геқ 0}

Тезликка боғлиқ чекловлар (ярим голономик чекловлар деб ҳам аталади) масалан[2],

ф(у1,у2,…,ун,у˙1,у˙2,…,у˙н,т)=0{\дисплайстйле ф(у_1,у_2,\лдоц,у_н,\дот{у}_1,\дот{у}_2,\лдоц,\дот{у}_н,т)=0}

одатда голономик эмас.

Голономик тизим

Классик механикада тизимнинг барча чекловлари голономик бўлса, тизим голономик деб таърифланиши мумкин. Чеклов голономик бўлиши учун у функсия сифатида ифодаланиши керак:

ф(у1,у2,у3,…,ун,т)=0,{\дисплайстйле ф(у_1,\ у_2,\ у_3,\ \лдоц,\ у_н,\ т)=0, \,}

яъни голономик чеклов фақат координаталарга боғлиқ хж{\дисплайстйле х_ж} ва эҳтимол вақт т{\дисплайстйле т} [1]. Бу тезликларга ёки т га нисбатан юқори тартибли ҳосилага боғлиқ эмас. Юқорида кўрсатилган шаклда ифодалаб бўлмайдиган чеклов голономик бўлмаган чекловдир .

Кириш

Юқорида таърифланганидек, голономик тизим (оддий қилиб айтганда) тизимнинг ҳолатини фақат вақт ўтиши билан тизим таркибий қисмларининг ўзгаришини билиш орқали чиқариш мумкин бўлган тизимдир, лекин тезликни ёки нимада эканлигини билиш шарт эмас . компонентларни бир-бирига нисбатан кўчиришни буюртма қилинг. Бундан фарқли ўлароқ, голономик бўлмаган тизим кўпинча тизим ҳолатининг ўзгаришини аниқлаш учун вақт ўтиши билан таркибий қисмларнинг тезлиги маълум бўлиши керак бўлган тизим ёки ҳаракатланувчи қисм чекловга боғлана олмайдиган тизимдир. юза, ҳақиқий ёки хаёлий. Голономик тизимларга мисоллар портал кранлар, маятниклар ва робот қўллардир. Голономик бўлмаган тизимларга мисоллар Сегwайс, велосипедлар ва автомобиллардир.

Терминология

Конфигурация майдони у→{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}} Ҳар бир эркинлик даражаси учун биттадан тизим таркибий қисмларининг силжишини санаб ўтади. Конфигурация майдони ёрдамида тавсифланиши мумкин бўлган тизим склерономик деб аталади.

у→=[у1у2…ун]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}=\бегин{бматрих}у_1 & у_2 &\лдоц& у_н \энд{бматрих}^\матҳрм{Т}}

Воқеалар майдони конфигурация майдони билан бир хил, ўзгарувчини қўшишдан ташқари т{\дисплайстйле т} вақт ўтиши билан тизимдаги ўзгаришларни ифодалаш (агар тизимни тавсифлаш учун керак бўлса). Фақат конфигурация майдони ўрнига ҳодиса майдони ёрдамида тасвирланиши керак бўлган тизим реономик деб аталади. Кўпгина тизимларни склерономик ёки реономик жиҳатдан тавсифлаш мумкин. Масалан, маятникнинг умумий рухсат этилган ҳаракатини склерономик чеклаш билан тасвирлаш мумкин, лекин маятникнинг вақт ичида ҳаракатини реономик чеклаш билан тасвирлаш керак.

у→=[у1у2…унт]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}=\бегин{бматрих}у_1 & у_2 &\лдоц& у_н & т\энд{бматрих}^\матҳрм{Т}}

Ҳолат майдони қ→{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{қ}} конфигурация майдони, шунингдек, конфигурация майдонидаги ҳар бир атама тезлигини тавсифловчи шартлар.

қ→=[у→у˙→]=[у1…уну˙1…у˙н]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{қ}=\бегин{бматрих}\оверригҳтарроw{у} \\\оверригҳтарроw{\дот{у}} \энд{бматрих}=\бегин{бматрих}у_1 &\лдоц& у_н & \дот{у}_1&\лдоц& \дот{у}_н\энд{бматрих}^\матҳрм{Т}}

Ҳолат-вақт фазоси вақтни қўшади т{\дисплайстйле т} .

қ→=[у→у˙→]=[у1…унту˙1…у˙н]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{қ}=\бегин{бматрих}\оверригҳтарроw{у} \\\оверригҳтарроw{\дот{у}} \энд{бматрих}=\бегин{бматрих}у_1 &\лдоц& у_н & т&\дот{у}_1&\лдоц& \дот{у}_н\энд{бматрих}^\матҳрм{Т}}

Мисоллар

Порталли кран

Ўқлари белгиланган порталли краннинг графикаси

Ўнг томонда кўрсатилганидек, порталли кран — бу ўқлар билан кўрсатилгандек, ўз ҳолатини 3 ўқда ҳаракатлантиришга қодир бўлган юқори имкониятларга эга кран. Интуитив равишда биз кран голономик тизим бўлиши керак деган хулосага келишимиз мумкин, чунки унинг таркибий қисмларининг маълум бир ҳаракати учун компонентлар қандай тартиб ёки тезликда ҳаракатланиши муҳим эмас: ҳар бир компонентнинг маълум бир бошланғич ҳолатидан тўлиқ силжиши шарти билан. бир хил бўлса, барча қисмлар ва бутун тизим бир хил ҳолатда тугайди. Математик жиҳатдан биз буни қуйидагича исботлашимиз мумкин:

Тизимнинг конфигурация майдонини қуйидагича белгилашимиз мумкин:

у→=[хйз]{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}=\бегин{бматрих}х\\й\\з\энд{бматрих}}

Айтишимиз мумкинки, краннинг ҳар бир компонентининг „нол“ ҳолатидан эгилиши Б{\дисплайстйле Б}, Г{\дисплайстйле Г}, ва О{\дисплайстйле О}, мос равишда кўк, яшил ва тўқ сариқ компонентлар учун. Координаталар тизимининг йўналиши ва жойлашиши тизимнинг голономик эканлигида муҳим эмас, лекин бу мисолда компонентлар унинг ўқларига параллел равишда ҳаракатланади. Агар координата тизимининг келиб чиқиши краннинг орқа-пастки-чап қисмида бўлса, у ҳолда биз позицияни чеклаш тенгламасини қуйидагича ёзишимиз мумкин:

(х−Б)+(й−Г)+(з−(ҳ−О))=0{\дисплайстйле (х-Б) + (й-Г) + (з-(ҳ-О)) = 0}

бу ерда ҳ{\дисплайстйле ҳ} краннинг баландлиги. Биз стандарт шаклга соддалаштиришимиз мумкин, бу ерда барча константалар ўзгарувчилардан кейин жойлаштирилади:

х+й+з−(Б+Г+ҳ−О)=0{\дисплайстйле х+й+з-(Б+Г+ҳ-О) = 0}

Чунки биз чекловчи тенгламани голономик шаклда олдик (аниқроғи, чеклаш тенгламамиз шундай кўринишга эга. ф(х,й,з)=0{\дисплайстйле ф(х, й, з) = 0}, бу ерда {х,й,з}∈у→{\дисплайстйле \{х, й, з\} \ин \оверригҳтарроw{у}}), бу тизим голономик бўлиши кераклигини кўришимиз мумкин.

Маятник

Оддий маятник

Ўнг томонда кўрсатилганидек, оддий маятник оғирлик ва ипдан ташкил топган тизимдир. Ип юқори учида бурилишга, пастки учида эса оғирликга бириктирилади. Узайиб бўлмайдиган бўлиб, ипнинг узунлиги доимийдир. Бу тизим голономикдир, чунки у голономик чекловга бўйсунади:

х2+й2−Л2=0,{\дисплайстйле {х^2+й^2} - Л^2=0,}

бу ерда (х,й){\дисплайстйле (х,\ й)} оғирликнинг ҳолати ва Л{\дисплайстйле Л} сатр узунлиги.

Қаттиқ жисм

Қаттиқ жисмнинг зарралари голономик чекловга бўйсунади

(ри−рж)2−Лиж2=0,{\дисплайстйле (\матҳбф{р}_и - \матҳбф{р}_ж)^2 - Л_{иж}^2=0, \,}

бу ерда ри{\дисплайстйле \матҳбф{р}_и}, рж{\дисплайстйле \матҳбф{р}_ж} мос равишда заррачаларнинг жойлашуви Пи{\дисплайстйле П_и} ва Пж{\дисплайстйле П_ж}, ва Лиж{\дисплайстйле Л_{иж}} улар орасидаги масофа ҳисобланади. Агар берилган тизим голономик бўлса, кўриб чиқилаётган тизимнинг таркибий қисмларига қўшимча қисмларни қаттиқ боғлаш уни голономик бўлмаслиги мумкин, чунки эркинлик даражалари камаймайди (бошқача қилиб айтганда, конфигурация майдони ўзгармаган деб ҳисобласак).

Пфафф шакли

Чекловнинг қуйидаги дифференсиал шаклини кўриб чиқамиз:

∑жАиждуж+Аидт=0{\дисплайстйле \сум_ж\ А_{иж} \, ду_ж+А_и \, дт=0}

бу ерда Аиж,Аи{\дисплайстйле А_{иж},А_и} дифференсиалларнинг коэффициэнтларидир дуж,дт{\дисплайстйле ду_ж,дт} и чеклов тенгламаси учун. Бу шакл Пфафф шакли ёки дифференсиал шакл деб аталади.

Агар дифференсиал шакл интегралланса, яъни функсия мавжуд бўлса фи(у1,у2,у3,…,ун,т)=0{\дисплайстйле ф_и(у_1,\ у_2,\ у_3,\ \лдоц,\ у_н,\ т)=0} тенгликни қондирамиз

дфи=∑жАиждуж+Аидт=0{\дисплайстйле дф_и=\сум_ж\ А_{иж} \, ду_ж+А_и \, дт=0}

у ҳолда бу чеклов голономик чеклашдир; акс ҳолда, бу голономик эмас. Шунинг учун барча голономик ва баъзи ноголономик чекловларни дифференсиал шакл ёрдамида ифодалаш мумкин. Бу тарзда ифодалаб бўлмайдиган голономик чекловларга мисоллар умумлаштирилган тезликларга боғлиқ бўлганлардир.  Пфафф кўринишидаги чеклаш тенгламаси билан чеклов голономик ёки ноголономик бўладими, Пфафф шакли интегралланишига боғлиқ. Пфаффиан шакли чекловининг интеграциялашувини (ёки йўқлигини) текшириш учун тест тавсифи учун қуйидаги голономик чекловлар учун универсал тестга қаранг.

Голономик чекловлар учун универсал тест

Агар тизимнинг чеклаш тенгламаси Пфафф чеклаш шаклида ёзилган бўлса, тизим голономик ёки йўқлигини аниқлаш учун математик тест мавжуд.

Чеклов тенгламаси учун ёки и{\дисплайстйле и} чеклаш тенгламалари тўплами (юқоридаги каби вақтни ифодаловчи ўзгарувчи(лар)ни киритиш мумкинлигига эътибор беринг. Аи∈Аиж{\дисплайстйле А_и\ин А_{иж}} ва дт∈дуж{\дисплайстйле \, дт \ин ду_ж} қуйидаги шаклда):

∑жнАиждуж=0;{\дисплайстйле \сум_ж^н\ А_{иж} \, ду_ж=0; \,}

тест тенгламасидан фойдаланишимиз мумкин:

Аγ(∂Аβ∂уα−∂Аα∂уβ)+Аβ(∂Аα∂уγ−∂Аγ∂уα)+Аα(∂Аγ∂уβ−∂Аβ∂уγ)=0{\дисплайстйле А_\гамма\лефт(\фраc{\партиал А_\бета}{\партиал у_\алпҳа}-\фраc{\партиал А_\алпҳа}{\партиал у_\бета}\ригҳт) + А_\бета \лефт(\фраc{\партиал А_\алпҳа}{\партиал у_\гамма} - \фраc{\партиал А_\гамма}{\партиал у_\алпҳа}\ригҳт) + А_\алпҳа \лефт(\фраc{\партиал А_\гамма}{\партиал у_\бета} - \фраc{\партиал А_\бета}{\партиал у_\гамма}\ригҳт) = 0}

бу ердаα,β,γ=1,2,3…н{\дисплайстйле \алпҳа,\бета,\гамма=1,2,3\лдоц н}ичида (н3)=н(н−1)(н−2)6{\дисплайстйле \бином н 3 = \фраc{н(н-1)(н-2)}{6}} ҳар бир чеклов тенгламаси учун синов тенгламаларининг комбинацияси и{\дисплайстйле и} чеклаш тенгламалари тўплами.

Бошқача қилиб айтадиган бўлсак, учта ўзгарувчидан иборат тизимни шартлар билан битта тест тенгламаси билан бир марта синаб кўриш керак бўлади. α,β,γ{\дисплайстйле \алпҳа, \бета, \гамма} шартлар бўлиш 1,2,3{\дисплайстйле 1, 2, 3} чеклаш тенгламасида (ҳар қандай тартибда), лекин тўртта ўзгарувчидан иборат тизимни синаб кўриш учун тест тўрт мартагача тўрт хил синов тенгламалари билан, атамалар билан бажарилиши керак бўлади. α,β,γ{\дисплайстйле \алпҳа, \бета, \гамма} шартлар бўлиш 1,2,3{\дисплайстйле 1, 2, 3}, 1,2,4{\дисплайстйле 1, 2, 4}, 1,3,4{\дисплайстйле 1, 3, 4}, ва 2,3,4{\дисплайстйле 2, 3, 4} чеклаш тенгламасида (ҳар бири ҳар қандай тартибда) тўрт хил тестда. Бешта ўзгарувчидан иборат тизим учун бу ҳақиқатни текшириш учун голономик тизимда ўнта тест ва учта чеклаш тенгламалари тўпламига эга беш ўзгарувчидан иборат тизим учун ўттизта тест (ўзгарувчининг ўзгариши каби соддалаштирилган ҳолда) ўтказилиши керак. бу рақамни камайтириш учун бажарилмайди). Шу сабабли, ушбу усулни учдан ортиқ ўзгарувчига эга тизимларда қўллашда, кўриб чиқилаётган тизим голономик ёки йўқлиги ҳақида умумий фикрни қўллаш тавсия этилади ва агар тизим бўлмаса, синовдан ўтиш керак. Бундан ташқари, математик сезгидан фойдаланиб, қайси тест биринчи бўлиб муваффақияциз бўлишини башорат қилишга уриниб кўриш ва шу билан бошлаш, аввалига муваффақиятли бўлиши мумкин бўлган тестларни ўтказиб юбориш яхшироқдир.

Агар ҳар бир синов тенгламаси барча чеклаш тенгламалари учун комбинациялар тўплами учун тўғри бўлса, тизим голономик ҳисобланади. Агар у ҳатто битта тест комбинацияси учун нотўғри бўлса, тизим голономик бўлмаган.

Мисол

Пфафф кўринишидаги чеклаш тенгламаси билан тасвирланган ушбу динамик тизимни кўриб чиқинг:

(cос⁡θ)дх+(син⁡θ)дй+(йcос⁡θ−хсин⁡θ)дθ=0{\дисплайстйле (\cос\тҳета) дх + (\син\тҳета)дй+(й\cос\тҳета-х\син\тҳета)д\тҳета=0}

Текшириш орқали конфигурация майдони у→=[хйθ]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}=\бегин{бматрих}х & й & \тҳета \энд{бматрих}^\матҳрм{Т}} . Конфигурация майдонида фақат учта атама мавжуд бўлгани сабабли, фақат битта синов тенгламаси керак бўлади. Ўзгартиришга тайёргарлик кўриш учун биз чеклаш тенгламасининг шартларини шундай ташкил қилишимиз мумкин:

Аα=cос⁡θ{\дисплайстйле А_\алпҳа=\cос\тҳета}
Аβ=син⁡θ{\дисплайстйле А_\бета=\син\тҳета}
Аγ=йcос⁡θ−хсин⁡θ{\дисплайстйле А_\гамма=й\cос\тҳета-х\син\тҳета}
уα=дх{\дисплайстйле у_\алпҳа=дх}
уβ=дй{\дисплайстйле у_\бета=дй}
уγ=дθ{\дисплайстйле у_\гамма=д\тҳета}

Шартларни алмаштириб, тест тенгламамиз қуйидагича бўлади:

(йcос⁡θ−хсин⁡θ)(∂∂х(син⁡θ)−∂∂й(cос⁡θ))+(син⁡θ)(∂∂θ(cос⁡θ)−∂∂х(йcос⁡θ−хсин⁡θ))+(cос⁡θ)(∂∂й(йcос⁡θ−хсин⁡θ)−∂∂θ(син⁡θ))=0{\дисплайстйле (й\cос\тҳета-х\син\тҳета)\бигг(\фраc{\партиал}{\партиал х}(\син\тҳета)-\фраc{\партиал}{\партиал й}(\cос\тҳета)\бигг)+(\син\тҳета)\бигг(\фраc{\партиал}{\партиал \тҳета}(\cос\тҳета)-\фраc{\партиал}{\партиал х}(й\cос\тҳета-х\син\тҳета)\бигг)+(\cос\тҳета)\бигг(\фраc{\партиал}{\партиал й}(й\cос\тҳета-х\син\тҳета)-\фраc{\партиал}{\партиал \тҳета}(\син\тҳета)\бигг)=0}

Барча қисман ҳосилаларни ҳисоблаб чиққач, биз қуйидагиларни оламиз:

(йcос⁡θ−хсин⁡θ)(0−0)+(син⁡θ)(−син⁡θ−(−син⁡θ))+(cос⁡θ)(cос⁡θ−cос⁡θ)=0{\дисплайстйле (й\cос\тҳета-х\син\тҳета)\бигг(0-0\бигг)+(\син\тҳета)\бигг(-\син\тҳета-(-\син\тҳета)\бигг)+(\cос\тҳета)\бигг(\cос\тҳета-\cос\тҳета\бигг)=0}

Соддалаштириб, биз қуйидагиларни топамиз:

0=0{\дисплайстйле 0=0}

Бизнинг синов тенгламамиз тўғри эканлигини кўрамиз ва шунинг учун тизим голономик бўлиши керак.

Биз синовни тугатдик, аммо энди тизим голономик эканлигини билиб, голономик чеклаш тенгламасини топишни хоҳлашимиз мумкин. Биз уни Пфафф шаклининг ҳар бир атамасини бирлаштириб, уларни битта тенгламага бирлаштиришга ҳаракат қилиш орқали топишга ҳаракат қилишимиз мумкин, масалан:

∫(cос⁡θ)дх=хcос⁡θ+ф(й,θ){\дисплайстйле \инт(\cос\тҳета) дх = х\cос\тҳета + ф(й, \тҳета)}
∫(син⁡θ)дй=йсин⁡θ+ф(х,θ){\дисплайстйле \инт(\син\тҳета)дй = й\син\тҳета + ф(х, \тҳета)}
∫(йcос⁡θ−хсин⁡θ)дθ=йсин⁡θ+хcос⁡θ+ф(х,й){\дисплайстйле \инт(й\cос\тҳета-х\син\тҳета)д\тҳета = й\син\тҳета+х\cос\тҳета+ ф(х, й)}

Голономик чеклаш тенгламасини топиш учун интеграцияларимиз натижаларини бирлаштира олишимизни кўриш осон:

йсин⁡θ+хcос⁡θ+C=0{\дисплайстйле й\син\тҳета+х\cос\тҳета+C = 0}

Бу ерда C — интеграция константаси.

Доимий коэффициэнтларнинг чекловлари

Берилган Пфафф чеклови учун ҳар бир дифференсиалнинг ҳар бир коэффициэнти доимий, бошқача қилиб айтганда, чеклов кўринишида:

∑жАиждуж+Аидт=0;{Аиж,Аи;ж=1,2,…;и=1,2,…}∈Р{\дисплайстйле \сум_ж\ А_{иж} \, ду_ж+А_и \, дт=0; \;\{А_{иж}, А_{и} ;\,ж = 1,2,\лдоц;\,и = 1,2,\лдоц\}\ин\матҳбб{Р}}

чеклов голономик бўлиши керак.

Буни қуйидагича исботлашимиз мумкин: тўғридан-тўғри юқорида тавсифланганидек, ҳар бир дифференциалнинг ҳар бир коэффициэнти доимий бўлган Пфафф кўринишидаги чекловлар тизимини кўриб чиқинг. Ушбу чекловлар тизимининг голономик эканлигини текшириш учун биз универсал тестдан фойдаланамиз. Кўришимиз мумкинки, синов тенгламасида нолга тенг бўлиши керак бўлган учта атама мавжуд. Шунинг учун, агар ҳар бир тест тенгламасидаги ушбу учта шартнинг ҳар бири нолга тенг бўлса, унда барча тест тенгламалари тўғри ва бу тизим голономикдир. Ҳар бир тест тенгламасининг ҳар бир атамаси қуйидаги шаклда бўлади:

А3(∂А2∂у1−∂А1∂у2){\дисплайстйле А_3\лефт(\фраc{\партиал А_2}{\партиал у_1} - \фраc{\партиал А_1}{\партиал у_2}\ригҳт)}

бу ерда:


  • А1{\дисплайстйле А_1}, А2{\дисплайстйле А_2}, ва А3{\дисплайстйле А_3} баъзи комбинациялар ((н3)=н(н−1)(н−2)/6{\дисплайстйле \бином н 3 = н (н - 1) (н - 2) / 6} билан жами комбинациялар) нинг Аиж;ж=1,2,…{\дисплайстйле А_{иж};\,ж = 1,2,\лдоц} ва Аи{\дисплайстйле А_{и}} берилган чеклов учун и{\дисплайстйле и} .
  • у1{\дисплайстйле у_1}, у2{\дисплайстйле у_2}, ва у3{\дисплайстйле у_3} нинг мос келадиган бирикмасидир уж;ж=1,2,…{\дисплайстйле у_ж;\,ж = 1,2,\лдоц} ва дт{\дисплайстйле дт} .

Бундан ташқари, мавжуд и{\дисплайстйле и} тест тенгламалари тўплами.

Биз таърифи бўйича ҳаммасини кўришимиз мумкин Ан{\дисплайстйле А_н} доимийлардир. Маълумки, ҳар қандай константанинг ҳосиласи 0{\дисплайстйле 0} (тўлиқ ёки қисман) бўлади. Шундай қилиб, биз ҳар бир қисман ҳосилани қуйидагича қисқартиришимиз мумкин:

А3(0−0){\дисплайстйле А_3\биг(0-0\биг)}

ва шунинг учун ҳар бир атама нолга тенг, чап томонда ҳар бир тест тенгламаси нолга тенг, ҳар бир тест тенгламаси тўғри ва тизим голономикдир.

Икки ёки битта ўзгарувчининг конфигурация бўшлиқлари

Пфафф чеклови билан тавсифланиши мумкин бўлган ва фақат иккита ўзгарувчи ёки битта ўзгарувчидан иборат конфигурация майдони ёки ҳолат майдонига эга бўлган ҳар қандай тизим голономик ҳисобланади.

Биз буни қуйидагича исботлашимиз мумкин: конфигурация майдони ёки ҳолат фазоси билан динамик тизимни кўриб чиқинг:

у→=[у1у2]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}=\бегин{бматрих}у_1 & у_2 \энд{бматрих}^\матҳрм{Т}}

агар тизим ҳолат фазоси билан тасвирланган бўлса, биз шунчаки айтамиз у2{\дисплайстйле у_2} бизнинг вақт ўзгарувчимизга тенг т{\дисплайстйле т} . Ушбу тизим Пфаффиан шаклида тасвирланади:

Аи1ду1+Аи2ду2=0{\дисплайстйле А_{и1} ду_1+А_{и2} ду_2=0}

билан и{\дисплайстйле и} чекловлар тўплами. Тизим универсал тест ёрдамида синовдан ўтказилади. Бироқ, универсал тест конфигурация ёки давлат майдонида учта ўзгарувчини талаб қилади. Буни амалга ошириш учун биз шунчаки қўғирчоқ ўзгарувчини қўшамиз λ{\дисплайстйле \ламбда} шакллантириш учун конфигурация ёки ҳолат майдонига:

у→=[у1у2λ]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}=\бегин{бматрих}у_1 & у_2 & \ламбда\энд{бматрих}^\матҳрм{Т}}

Чунки сохта ўзгарувчи λ{\дисплайстйле \ламбда} таърифи бўйича тизимдаги бирор нарсанинг ўлчови эмас, унинг Пфафф кўринишидаги коэффициэнти бўлиши керак 0{\дисплайстйле 0} . Шундай қилиб, биз Пфаффиан шаклимизни қайта кўриб чиқамиз:

Аи1ду1+Аи2ду2+0дλ=0{\дисплайстйле А_{и1} ду_1+А_{и2} ду_2+0д\ламбда=0}

Энди биз тестдан маълум бир чеклов учун фойдаланишимиз мумкин и{\дисплайстйле и} Агар чекловлар тўплами мавжуд бўлса:

(0)(∂∂у1(Аи2)−∂∂у2(Аи1))+(Аи2)(∂∂λ(Аи1)−∂∂у1(0))+(Аи1)(∂∂у2(0)−∂∂λ(Аи2))=0{\дисплайстйле (0)\бигг(\фраc{\партиал}{\партиал у_1}(А_{и2})-\фраc{\партиал}{\партиал у_2}(А_{и1})\бигг)+(А_{и2})\бигг(\фраc{\партиал}{\партиал \ламбда}(А_{и1})-\фраc{\партиал}{\партиал у_1}(0)\бигг)+(А_{и1})\бигг(\фраc{\партиал}{\партиал у_2}(0)-\фраc{\партиал}{\партиал \ламбда}(А_{и2})\бигг)=0}

Буни англагандан кейин : ∂∂λ(ф(у1,у2))=0{\дисплайстйле \фраc{\партиал}{\партиал \ламбда}(ф(у_1, у_2))=0} чунки сохта ўзгарувчи λ{\дисплайстйле \ламбда} тизимни тавсифлаш учун ишлатиладиган коэффициэнтларда пайдо бўлиши мумкин эмас, биз синов тенгламаси барча чеклаш тенгламалари тўплами учун тўғри бўлиши кераклигини ва шунинг учун тизим голономик бўлиши кераклигини кўрамиз. Шунга ўхшаш далилни конфигурация ёки ҳолат бўшлиғидаги битта ҳақиқий ўзгарувчи ва иккита қўғирчоқ ўзгарувчи билан Пфафф шаклида тасвирланган эркинлик даражасидаги тизимлар ҳам ҳар доим голономик эканлигини тасдиқлаш учун амалга ошириш мумкин.

Хулоса қилиб шуни тушунамизки, голономик бўлмаган тизимларни Пфафф шаклида моделлаштириш мумкин бўлса ҳам, Пфафф шаклида моделлаштирилиши мумкин бўлган ҳар қандай тизим икки ёки ундан кам эркинлик даражасига эга (эркинлик даражалари сони конфигурация майдонидаги атамалар сонига тенг).) голономик бўлиши керак.

Муҳим эслатма: тест тенгламаси бажарилмади, чунки тестга киритилган қўғирчоқ ўзгарувчи ва шунинг учун тестга киритилган қўғирчоқ дифференциал ҳақиқий конфигурация ёки ҳолат бўшлиғи ўзгарувчилари функсияси бўлган ҳар қандай нарсани фарқлайди. 0{\дисплайстйле 0} . Қуйидаги конфигурация ёки ҳолат майдонига эга тизимга эга бўлиш:

у→=[у1у2у3]Т{\дисплайстйле \оверригҳтарроw{у}=\бегин{бматрих}у_1 & у_2 & у_3\энд{бматрих}^\матҳрм{Т}}

ва бир ёки бир нечта чекловлар Пфафф шаклида бўлган чекловлар тўплами:

Аи1ду1+Аи2ду2+0ду3=0{\дисплайстйле А_{и1} ду_1+А_{и2} ду_2+0ду_3=0}

тизимнинг голономиклигини кафолатламайди, чунки битта дифференциал коэффициэнтга эга бўлса ҳам 0{\дисплайстйле 0}, конфигурация ёки давлат майдонида тасвирланган учта эркинлик даражаси ҳали ҳам мавжуд.

Мустақил умумлаштирилган координаталарга айлантириш

Голономик чеклаш тенгламалари тизимимиздаги баъзи боғлиқ ўзгарувчиларни осонгина олиб ташлашга ёрдам беради. Мисол учун, агар биз олиб ташлашни хоҳласак хд{\дисплайстйле х_д}, бу чеклаш тенгламасининг параметридир фи{\дисплайстйле ф_и}, биз тенгламани қуйидаги шаклга ўзгартиришимиз мумкин, буни амалга ошириш мумкин деб фараз қиламиз,

хд=ги(х1,х2,х3,…,хд−1,хд+1,…,хН,т),{\дисплайстйле х_д=г_и(х_1,\ х_2,\ х_3,\ \доц,\ х_{д-1},\ х_{д+1},\ \доц,\ х_Н,\ т), \,}

ва хд{\дисплайстйле х_д} ни алмаштиринг. Юқоридаги функсиядан фойдаланган ҳолда тизимнинг ҳар бир тенгламасида. Буни ҳар доим умумий жисмоний тизимлар учун қилиш мумкин, агар ҳосиласи бўлса фи{\дисплайстйле ф_и} узлуксиз бўлса, у ҳолда яширин функция теоремаси бўйича, ечим ги{\дисплайстйле г_и}, баъзи очиқ тўпламларда кафолатланган. Шундай қилиб, қарам ўзгарувчининг барча ҳодисаларини олиб ташлаш мумкин хд{\дисплайстйле х_д} .

Айтайлик, физик тизим мавжуд Н{\дисплайстйле Н} эркинлик даражалари. Энди, ҳ{\дисплайстйле ҳ} тизимга голономик чекловлар қўйилади. Кейин эркинлик даражалари сони камаяди м=Н−ҳ{\дисплайстйле м=Н - ҳ} . Биз фойдаланишимиз мумкин м{\дисплайстйле м} мустақил умумлаштирилган координаталар (қж{\дисплайстйле қ_ж}) системанинг ҳаракатини тўлиқ тасвирлаш. Трансформация тенгламасини қуйидагича ифодалаш мумкин:

хи=хи(қ1,қ2,…,қм,т),и=1,2,…Н.{\дисплайстйле х_и=х_и(қ_1,\ қ_2,\ \лдоц,\ қ_м,\ т)\ ,\ққуад\ққуад\ққуад и=1,\ 2,\ \лдоц Н. \,}

Физик тизимларнинг таснифи

Классик физикани қатъий ва услубий ўрганиш учун биз тизимларни таснифлашимиз керак. Олдинги муҳокамага асосланиб, биз физик тизимларни голономик тизимларга ва голономик бўлмаган тизимларга ажратишимиз мумкин. Кўпгина теорема ва тенгламаларни қўллаш шартларидан бири бу система голономик тизим бўлиши керак. Масалан, агар физик тизим голономик тизим ва моноген система бўлса, у ҳолда Гамилтон принсипи Лагранге тенгламасининг тўғрилиги учун зарур ва этарли шартдир[3].

Манбалар

  1. ↑ 1,0 1,1 Голдстеин, Ҳерберт „1.3 Cонстраинц“, . Cлассиcал мечаниcс, Тҳирд, Пеарсон Индиа: Аддисон-Wеслей, 2002 — 12–13-бет. ИСБН 9788131758915. ОCЛC 960166650. 
  2. ↑ Голдстеин, Ҳерберт. Cлассиcал Мечаниcс. Унитед Статес оф Америcа: Аддисон-Wеслей, 2002 — 46-бет. ИСБН 978-0-201-65702-9. 
  3. ↑ Голдстеин, Ҳерберт. Cлассиcал Мечаниcс, 3рд, Унитед Статес оф Америcа: Аддисон Wеслей, 1980 — 45-бет. ИСБН 0-201-65702-3.  
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Golonomik_cheklovlar" dan olindi