Hannay burchagi

Классик механикада Ҳаннай бурчаги айланма геометрик фазанинг (ёки Беррй фазасининг) механик аналогидир. У Буюк Британиянинг Бристол университетидан Жон Ҳаннай шарафига номланган. Ханнай биринчи марта 1985 йилда бурчакни тасвирлаб, яқинда расмийлаштирилган Беррй босқичи ғояларини классик механикага кенгайтирди.

Классик механикада Ҳаннай бурчаги

Ҳаннай бурчаги ҳаракат-бурчак координаталари контекстида аниқланади. Дастлаб вақт ўзгармайдиган тизимда ҳаракат ўзгарувчиси ${\дисплайстйле И_\алпҳа}$ доимий ҳисобланади. Вақти-вақти билан безовталанишни киритгандан сўнг ${\дисплайстйле \ламбда(т)}$, ҳаракат ўзгарувчиси ${\дисплайстйле И_\алпҳа}$ адиабатик инвариантга айланади ва Ҳаннай бурчаги ${\дисплайстйле \тҳета^Ҳ_\алпҳа}$ унинг мос бурчак ўзгарувчиси учун бузилиш содир бўлган эволюцияни ифодаловчи йўл интегралига кўра ҳисобланиши мумкин. ${\дисплайстйле \ламбда(т)}$ асл қийматига қайтади:

$${\дисплайстйле \тҳета^Ҳ_\алпҳа = -\фраc{\партиал}{\партиал И_\алпҳа}\оинт\!\болдсймбол{п} \cдот \фраc{\партиал \болдсймбол{қ}}{\партиал \ламбда}\матҳрм{д}\ламбда}$$бу ерда ${\дисплайстйле \болдсймбол{п}}$ ва ${\дисплайстйле \болдсймбол{қ}}$ Гамилтонианнинг каноник ўзгарувчилари .

Мисол

Фуко маятник классик механиканинг намунасидир, у баъзан Берри фазасини тасвирлаш учун ҳам ишлатилади. Қуйида биз ҳаракат бурчаги ўзгарувчилари ёрдамида Фуко маятникини ўрганамиз. Оддийлик учун биз умумий протоколда қўлланиладиган Гамилтон-Жакоби тенгламасидан фойдаланмаймиз.

Биз частотали текислик маятникини кўриб чиқамиз ${\дисплайстйле \омега}$ бурчак тезлиги бўлган Ернинг айланиши таъсирида ${\дисплайстйле \веc{\Омега}=(\Омега_х,\Омега_й,\Омега_з)}$ сифатида белгиланган амплитуда билан ${\дисплайстйле \Омега=|\веc{\Омега}|}$ . Мана, ${\дисплайстйле з}$ йўналиши Ернинг марказидан маятникгача. Маятник учун Лагрангиан:

$${\дисплайстйле Л=\фраc{1}{2}м(\дот{х}^2+\дот{й}^2)-\фраc{1}{2}м\омега^2(х^2+й^2)+м\Омега_з(х\дот{й}-й\дот{х})}$$Тегишли ҳаракат тенгламаси$${\дисплайстйле \ддот{х}+\омега^2х=2\Омега_з\дот{й}}$$$${\дисплайстйле \ддот{й}+\омега^2й=-2\Омега_з\дот{х}}$$Кейин ёрдамчи ўзгарувчини киритамиз ${\дисплайстйле \варпи=х+ий}$ бу аслида бурчак ўзгарувчиси. Энди биз учун тенглама мавжуд ${\дисплайстйле \варпи}$ : $${\дисплайстйле \ддот{\варпи}+\омега^2\варпи=-2и\Омега_з\дот{\варпи}}$$Унинг характеристик тенгламасидан$${\дисплайстйле \ламбда^2+\омега^2=-2и\Омега_з\ламбда}$$биз унинг характерли илдизини оламиз (биз шуни таъкидлаймиз ${\дисплайстйле \Омега \лл \омега}$)$${\дисплайстйле \ламбда=-и\Омега_з\пм и\сқрт{\Омега_з^2+\омега^2}\аппрох-и\Омега_з\пм и\омега}$$Ечим шундан кейин$${\дисплайстйле \варпи=э^{-и\Омега_зт}(Аэ^{и\омега т}+Бе^{-и\омега т})}$$Ер бир тўлиқ айланишдан кейин, яъни ${\дисплайстйле Т=2\пи/\Омега\аппрох 24ҳ}$, биз учун фаза ўзгариши бор ${\дисплайстйле \варпи}$$${\дисплайстйле \Делта \варпҳи=2\пи\фраc{\омега}{\Омега}+2\пи\фраc{\Омега_з}{\Омега}}$$Биринчи атама маятникнинг динамик таъсирига боғлиқ бўлиб, динамик фаза деб аталади, иккинчиси эса Ҳаннай бурчаги бўлган геометрик фазани ифодалайди. $${\дисплайстйле \тҳета^Ҳ=2\пи\фраc{\Омега_з}{\Омега}}$$

Манбалар

• Ҳаннай Жоҳн Ҳ. 1985 Англе вариабле ҳолономй ин адиабатиc эхcурсион оф ан интеграбле Ҳамилтониан Ж. Пҳйс. А: Матҳ. Ген. 18 221-30.
• Марсден, Жерролд Э.; Монтгомерй, Ричард; Ратиу, Тудор С.. Редуcтион, Сймметрй, анд Пҳасес ин Мечаниcс. АМС Бооксторе, 1990 — 69-бет. ИСБН 0-8218-2498-8. 
• C. Писани. Қуантум-мечаниcал Аб-инитио Cалcулатион оф тҳе Пропертиэс оф Cрйсталлине Материалс, Проcеэдингс оф тҳе ИВ Счоол оф Cомпутатионал Чемистрй оф тҳе Италиан Чемиcал Соcиэтй, Спрингер, 1994 — 282-бет. ИСБН 3-540-61645-4. 
• ; Жеан-Марc Трисcоне; Чарлес Ҳ АҳнПҳйсиcс оф Ферроэлеcтриcс: а Модерн Перспеcтиве. Спрингер, 2007 — 2-бет. ИСБН 978-3-540-34590-9. 

Ҳаволалар

• Профессор Жоҳн Ҳ. Ҳаннай: Ресеарч Ҳигҳлигҳц. Департмент оф Пҳйсиcс, Университй оф Бристол.