Ziyosfera

Heaviside funksiyasi

Бирлик Ҳеависиде функсияси. х = 0 да функсиянинг қиймати 1 га тенг, деб олинган.

Ҳеависиде функсияси (бирлик поғонасимон функсия, "поғонача", Оливер Ҳеависиде шарафига шундай номланган) — қисмий узлуксиз функсия бўлиб, аргументнинг манфий қийматларида нолга, мусбат қийматларида эса бирга тенг. Одатда, х=0{\дисплайстйле х = 0} нуқтада бу функсия аниқланмаган, лекин унинг аниқланиш соҳаси ҳақиқий сонлар ўқининг ҳамма сонларини ўз ичига олиши учун, бу нуқтада олдиндан аниқлаб олинади. Умуман олганда эса, Ҳеависиде функсиясининг нол нуқтада қандай қиймат қабул қилиши деярли ҳеч қандай аҳамият касб этмайди. Шунинг учун Ҳеависиде функсиясининг турли таърифларидан фойдаланиш мумкин, масалан:

θ(х)={0,х<0;1,х⩾0.{\дисплайстйле \тҳета(х)=\бегин{cасес} 0, & х<0; \\ 1, & х\геқслант 0.\энд{cасес}}

Ҳеависиде функсиясини, Айверсон қавслари орқали жуда қулай кўринишда ёзиш мумкин:

θ(х)=[х⩾0].{\дисплайстйле \тҳета(х)=[\,х\геқслант 0\,].}

Ҳеависиде функсияси сигналларни қайта ишлашда, маълум бир вақт оралиғида бир ҳолатдан бошқа ҳолатга ўтган сигналларни аниқлашда фойдаланилади. Математик статистикада эса, бу функсия, эмпирик тақсимот функсиясини ёзишда ишлатилади.

Ҳеависиде функсияси Диракнинг делта-функсиясидан олинган интеграл ҳисобланади. Яъни, θ′=δ{\дисплайстйле \тҳета ' = \делта}. Ёки буни қуйидагича кўринишда ҳам ёзиш мумкин:

θ(х)=∫−∞хδ(т)дт.{\дисплайстйле \тҳета(х)=\инт\лимиц_{-\инфтй}^х\!\делта(т)\,дт.}

Дискрет кўриниши

Ҳеависиде функсиясини бутун н{\дисплайстйле н} сонли аргументнинг функсияси кўринишида ҳам аниқлаш мумкин:

θ[н]={0,н<0;1,н⩾0,{\дисплайстйле \тҳета[н]=\бегин{cасес}0, & н<0; \\ 1, & н\геқслант 0,\энд{cасес}}

бу ерда н{\дисплайстйле н} — бутун сон.

Дискрет бирлик импулс:

δ[н]=θ[н]−θ[н−1].{\дисплайстйле \делта[н]=\тҳета[н]-\тҳета[н-1].}

Ёзишда

Кўпинча бирлик функсияни интеграл кўринишда ёзиш қулай ва фойдали бўлади:

θ(х)=−лимε→0+⁡12πи∫−∞∞1τ+иεэ−ихτдτ.{\дисплайстйле \тҳета(х)=-\лим_{\варепсилон\то 0^+}\фраc{1}{2\пи и}\инт\лимиц_{-\инфтй}^\инфтй\фраc{1}{\тау+и\варепсилон}э^{-их\тау}\,д\тау.}

θ(0)

Функсиянинг нол нуқтадаги қиймати θ(0)=0{\дисплайстйле \тҳета(0)=0}, θ(0)=1/2{\дисплайстйле \тҳета(0)=1/2} ёки θ(0)=1{\дисплайстйле \тҳета(0)=1} каби кўринишлардан бири орқали олдиндан танлаб олинади. Энг кўп қўлланиладиган вариант — θ(0)=1/2{\дисплайстйле \тҳета(0)=1/2}, чунки, симметрия қонунларига биноан, биринчи тур узилиш нуқтасида функсиянинг қийматини мос ҳолда бир томонлама чегараларнинг ўрта арифметиги билан аниқлаш қулай, бундан ташқари, ушбу ҳолда Ҳеависиде функсияси сгн(х){\дисплайстйле сгн(х)} билан боғланган [1]:

θ(х)=12(1+сгн⁡х)={0,х<0;12,х=0;1,х>0.{\дисплайстйле \тҳета(х)=\фраc{1}{2}(1+\сгн х)=\бегин{cасес} 0, & х<0; \\ \дфраc{1}{2}, & х=0; \\ 1, & х>0.\энд{cасес}}

Нол нуқтадаги қийматини функсияда ошкор ҳолда кўрсатиш ҳам мумкин:

θн(х)={0,х<0;н,х=0;1,х>0.{\дисплайстйле \тҳета_н(х)=\бегин{cасес}0, & х<0; \\ н, & х=0; \\ 1, & х>0.\энд{cасес}}

Фоуриэр алмаштириши

Ҳеависиде функсиясидан олинган ҳосила — бу Диракнинг делта-функсиясидир. Демак, Делта-функсиядан интеграл олсак, Ҳеависиде функсиясини беради:

θ(х)=∫−∞хδ(т)дт{\дисплайстйле \тҳета(х)=\инт\лимиц_{-\инфтй}^х\делта(т)\,дт}.

Шундан сўнг, Делта-функсиянинг интегралига Фоуриэр алмаштиришларини қўллаб, Ҳеависиде функсияси учун қуйидаги ифодани ҳосил қиламиз:

12πиω+12δ(ω),{\дисплайстйле \фраc{1}{2\пи и\омега}+\фраc{1}{2}\делта(\омега),}

яъни

θ(т)=∫−∞+∞(12πиω+12δ(ω))эиωтдω{\дисплайстйле \тҳета(т)=\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\лефт(\фраc{1}{2\пи и\омега}+\фраc{1}{2}\делта(\омега)\ригҳт)э^{и\омега т}\,д\омега}

(ёйилмадаги нолинчи частотага тўғри келувчи иккинчи ҳад, Ҳеависиде функсиясининг юқорига доимий ўсишини кўрсатади, бундай бўлмаганда, тоқ функсия ҳосил бўлган бўларди).



Яна қаранг

  1. ↑ Браcеwелл, Роналд Неwболд. Тҳе Фоуриэр трансформ анд иц апплиcатионс, 3рд (эн), Неw Ёрк: МcГраw-Ҳилл, 2000 — 61-бет. ИСБН 0-07-303938-1.  
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Heaviside_funksiyasi" dan olindi