Ziyosfera

Hosilaviy funksiyalar (fizika)

Fizikada, aniqrogʻi, Gamilton mexanikasida generatsiya qiluvchi funksiya erkin maʼnoda qisman hosilalari tizim dinamikasini aniqlaydigan differensial tenglamalarni hosil qiluvchi funksiyadir. Umumiy misollar — statistik mexanikaning boʻlinish funksiyasi, Gamiltonian va kanonik oʻzgarishlarni amalga oshirishda kanonik oʻzgaruvchilarning ikkita toʻplami oʻrtasida koʻprik vazifasini bajaradi.

Kanonik transformatsiyalarda

Quyidagi jadvalda umumlashtirilgan toʻrtta asosiy ishlab chiqaruvchi funksiya mavjud[1]:

Natijaviy funksiya Uning hosilalari
F=F1(q,Q,t){\displaystyle F= F_1(q, Q, t) \,\!} p=∂F1∂q{\displaystyle p = ~~\frac{\partial F_1}{\partial q} \,\!} va P=−∂F1∂Q{\displaystyle P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q} \,\!}
F=F2(q,P,t)=F1+QP{\displaystyle F= F_2(q, P, t) = F_1 + QP \,\!} p=∂F2∂q{\displaystyle p = ~~\frac{\partial F_2}{\partial q} \,\!} va Q=∂F2∂P{\displaystyle Q = ~~\frac{\partial F_2}{\partial P} \,\!}
F=F3(p,Q,t)=F1−qp{\displaystyle F= F_3(p, Q, t) =F_1 - qp \,\!} q=−∂F3∂p{\displaystyle q = - \frac{\partial F_3}{\partial p} \,\!} va P=−∂F3∂Q{\displaystyle P = - \frac{\partial F_3}{\partial Q} \,\!}
F=F4(p,P,t)=F1−qp+QP{\displaystyle F= F_4(p, P, t) =F_1 - qp + QP \,\!} q=−∂F4∂p{\displaystyle q = - \frac{\partial F_4}{\partial p} \,\!} va Q=∂F4∂P{\displaystyle Q = ~~\frac{\partial F_4}{\partial P} \,\!}

Misollar

Baʼzan berilgan Gamiltonian garmonik osilatorga oʻxshab ketadigan Gamiltonianga aylantirilishi mumkin:

H=aP2+bQ2.{\displaystyle H = aP^2 + bQ^2.}

Masalan, Gamiltonian bilan

H=12q2+p2q42,{\displaystyle H = \frac{1}{2q^2} + \frac{p^2 q^4}{2},}

Bu yerda p — umumlashtirilgan impuls va q — umumlashtirilgan koordinata, tanlash uchun yaxshi kanonik transformatsiya boʻladi.

P=pq2andQ=−1q.(1){\displaystyle P = pq^2 \text{ and }Q = \frac{-1}{q}. \, (1)}

Bu Gamiltonianni quyidagiga aylantiradi:

H=Q22+P22,{\displaystyle H = \frac{Q^2}{2} + \frac{P^2}{2},}

Bu garmonik osilator Gamiltonian shaklida boʻladi.

Ushbu transformatsiya uchun F hosil qiluvchi funksiya uchinchi turdagi,

F=F3(p,Q).{\displaystyle F = F_3(p,Q).}

F ni aniq topish uchun yuqoridagi jadvaldagi hosila uchun tenglamadan foydalaning,

P=−∂F3∂Q,{\displaystyle P = - \frac{\partial F_3}{\partial Q},}

va (1) tenglamadagi P ifodasini p va Q bilan ifodalangan holda almashtiring:

pQ2=−∂F3∂Q{\displaystyle \frac{p}{Q^2} = - \frac{\partial F_3}{\partial Q}}

Buni Q ga nisbatan integrallash natijasida (1) tenglama bilan berilgan transformatsiyaning hosil qiluvchi funksiyasi tenglamasi olinadi:

F3(p,Q)=pQ{\displaystyle F_3(p,Q) = \frac{p}{Q}}

Bu toʻgʻri ishlab chiqarish funksiyasi ekanligini tasdiqlash uchun uning (1) mos kelishini tekshiring:

q=−∂F3∂p=−1Q{\displaystyle q = - \frac{\partial F_3}{\partial p} = \frac{-1}{Q}}

Manbalar

  1. ↑ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 2001 — 373-bet. ISBN 978-0-201-65702-9. 
  • Goldstein, Herbert; Poole, C. P.; Safko, J. L. (2001). Classical Mechanics (3rd ed.)
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Hosilaviy_funksiyalar_(fizika)" dan olindi