Kotes spirali

Физикада ва текислик эгри чизиқлари математикасида Cотес спирали (шунингдек , Котес спирали деб ёзилади) Рожер Котес томонидан таснифланган спираллар оиласидан биридир.

Тавсиф

Котес ушбу эгри чизиқлар бўйича ўзининг таҳлили билан қуйидагича таништиради: „Маълум бир жойдан келиб чиққан ҳолда, уларнинг масофалари кубларига тескари нисбатда марказга тортувчи кучлар таъсирида жисмлар ҳаракатланиши мумкин бўлган ҳар хил турдаги траэкторияларни санаб ўтиш таклиф этилади. берилган тезлик ва йўналиш.“ (уларни спирал сифатида тасвирламайди).

Оиладаги спиралларнинг шакли параметрларга боғлиқ. Қутб координаталаридаги эгри чизиқлар (р, θ), р > 0 қуйидаги беш тенгламадан бири билан аниқланади:

К га мос келадиган котес спираллари 2/3 (қизил), 1,0 (қора), 1,5 (яшил), 3,0 (кўк) ва 6,0 (кўк) га тенг.

${\дисплайстйле \фраc{1}{р} = \бегин{cасес}$

А \cош(к\тҳета + \варепсилон) \\
А \эхп(к\тҳета + \варепсилон) \\
А \синҳ(к\тҳета + \варепсилон) \\
А (к\тҳета + \варепсилон) \\
А \cос(к\тҳета + \варепсилон) \\

\энд{cасес}}

А > 0, к > 0 ва э ихтиёрий ҳақиқий сон константаларидир. А ҳажмини, к шаклини ва э спиралнинг бурчак ҳолатини аниқлайди.

Котес турли шаклларни „ҳолатлар“ деб атаган. Юқоридаги эгри чизиқлар тенгламалари мос равишда унинг 5 та ҳолатига мос келади..

Диаграмма турли хил эгри чизиқларнинг намуналарини кўрсатади. Марказ „О“ билан белгиланади ва θ нолга тенг бўлса, О дан эгри чизиқгача бўлган радиус кўрсатилади. Агар кўрсатилмаган бўлса, э қиймати нолга тенг.

Биринчи ва учинчи шакллар Пуинсот спираллари; иккинчиси — тенг бурчакли спирал; тўртинчиси — гиперболик спирал (муқобил номи билан тўғрироқ: „Ўзаро спирал“ деб аталади, чунки у гипербола ёки Пуинсот спиралларида мавжуд бўлган гиперболик функциялар билан боғлиқ эмас); бешинчиси — эписпирал.

Уларнинг хусусиятлари ҳақида кўпроқ маълумот олиш учун алоҳида эгри чизиқларга мурожаат қилиш керак.

Классик механика

Котес спираллари классик механикада тескари кубли марказий куч остида ҳаракатланадиган заррача ҳаракати учун эчимлар оиласи сифатида пайдо бўлади. Марказий кучни кўриб чиқамиз:

${\дисплайстйле \болдсймбол{Ф}(\болдсймбол{р}) = -\фраc{\му}{р^3}\ҳат\болдсймбол{р},}$

бу ерда м — тортишиш кучи. Марказий куч таъсирида ҳаракатланувчи заррачани кўриб чиқайлик ва унинг ўзига хос бурчак моменти ҳ бўлсин, у ҳолда зарра Котес спирали бўйлаб ҳаракатланади, бу спиралнинг доимий к қиймати билан берилган.

${\дисплайстйле к = \сқрт{1 - \фраc{\му}{ҳ^2}}}$

μ < ҳ ² бўлганда (спиралнинг косинус шакли), ёки

${\дисплайстйле к = \сқрт{\фраc{\му}{ҳ^2} - 1}}$

μ > ҳ ² бўлганда, спиралнинг Пуинсот шакли. μ = ҳ ² бўлганда, заррача гиперболик спирал бўйлаб боради. Чиқаришни ҳаволаларда топиш мумкин.

Тарих

Ҳармониа Менсурарум (1722) да Рожер Котес бир қатор спиралларни ва <и ид="мwЙА">Литуус</и> каби бошқа эгри чизиқларни таҳлил қилди. У тескари кубли марказий куч майдонидаги заррачанинг мумкин бўлган траэкторияларини тасвирлаб берди, улар Котес спиралларидир. Таҳлил Принcипиа 1 китобининг 42-таклифидаги усулга асосланади, бу ерда тананинг йўли ихтиёрий марказий куч, бошланғич тезлик ва йўналиш остида аниқланади.

Дастлабки тезлик ва йўналишга қараб, у 5 хил „ҳолат“ мавжудлигини аниқлайди (арзимас ҳолатлар бундан мустасно, айлана ва марказдан ўтган тўғри чизиқ).

Унинг таъкидлашича, 5 нинг „биринчи ва охиргиси Нютон томонидан гипербола ва эллипснинг квадратураси (яъни интеграцияси) орқали тасвирланган“.

2-ҳолат тенг бурчакли спирал бўлиб, у энг яхши спиралдир. Бу катта тарихий аҳамиятга эга, чунки Принcипиа 1 китобининг 9-таклифида Нютон исботлайдики, агар жисм марказий куч таъсирида тенг бурчакли спирал бўйлаб ҳаракатланса, бу куч радиус кубига тескари бўлиши керак (ҳатто Унинг исботидан олдин, 11-таклифда, эллипсдаги фокусга қаратилган ҳаракат тескари квадрат кучни талаб қилади).

Шуни тан олиш керакки, барча эгри чизиқлар спиралнинг одатий таърифига мос келмайди. Масалан, тескари куб кучи марказдан қочма (ташқарига йўналтирилган) бўлганда, м < 0 бўлганда, эгри чизиқ марказ атрофида бир марта ҳам айланмайди. Бу ҳолат 5 билан ифодаланади, юқорида кўрсатилган қутбли тенгламаларнинг биринчиси, бу ҳолда к > 1.

Самуэл Эрншоу 1826 йилда нашр этилган китобида „Котес спираллари“ атамасини ишлатган, шунинг учун терминология ўша пайтда ишлатилган.

Эарншоу Котеснинг 5 та ҳолатини аниқ тасвирлаб беради ва кераксиз равишда 6-ни қўшади, яъни куч марказдан қочма (итариш) бўлганда. Юқорида таъкидлаб ўтилганидек, Котес буни 5-кассага киритган.

Фақат 3 та Котес спирали борлиги ҳақидаги нотўғри қараш ЭТ Уиттакернинг 1904 йилда биринчи марта нашр этилган Заррачалар ва қаттиқ жисмларнинг аналитик динамикаси ҳақидаги рисоласидан келиб чиққан кўринади.

Уиттакернинг „ўзаро спирали“ нинг изоҳи бор, у Котеснинг „Ҳармониа Менсурарум“ ва Нютоннинг 9-таклифига ишора қилади. Бироқ, бу нотўғри, чунки 9-таклифнинг спирали тенг бурчакли спирали бўлиб, у уни умуман Котес спирали деб билмайди.

Афсуски, кейинги муаллифлар унинг тўғрилигини текшириш учун қийинчиликларга дуч келмай, Уиттакернинг йўл-йўриғига эргашдилар.

Манбалар

Адабиётлар

• Wҳиттакер ЭТ. А Треатисе он тҳе Аналйтиcал Дйнамиcс оф Партиcлес анд Ригид Бодиэс, wитҳ ан Интродуcтион то тҳе Проблем оф Тҳреэ Бодиэс, 4тҳ, Неw Ёрк: Довер Публиcатионс, 1937 — 80–83-бет. ИСБН 978-0-521-35883-5. 
• Рогер Cотес (1722) Ҳармониа Менсуарум, пп. 31, 98.
• Исааc Неwтон (1687) Пҳилосопҳиæ Натуралис Принcипиа Матҳематиcа, Боок И, § 2, Пропоситион 9, анд § 8, Пропоситион 42, Cоролларй 3, анд § 9, Пропоситион 43, Cоролларй 6
• Данбй ЖМ „Тҳе Cасе ƒ(р) = μ/р ³ — Cотес' Спирал (§4.7)“, . Фундаменталс оф Cелестиал Мечаниcс, 2нд эд., рев., Ричмонд, ВА: Wиллманн-Белл, 1988 — 69–71-бет. ИСБН 978-0-943396-20-0. 
• Сймон КР. Мечаниcс, 3рд, Реадинг, МА: Аддисон-Wеслей, 1971 — 154-бет. ИСБН 978-0-201-07392-8. 
• Самуэл Эарншаw. Дйнамиcс, Ор ан Элементарй Треатисе он Мотион анд а Шорт Треатисе он Аттраcтионс, 1ст, Ж. & Ж. Ж. Деигҳтон; анд Wҳиттакер, Треачер & Арнот, 1832 — 47-бет. 

Ҳаволалар

• Wеисстеин, Эриc W. „Котес спирали“ ҳисоб-китоби