Ziyosfera

Larmor teoremasi

Зарядлар системасининг магнит ва импулс моментлари орасидаги боғланиш

Системадаги и{\дисплайстйле и}-номерли зарранинг массаси ми{\дисплайстйле м_{и}}, заряди эи{\дисплайстйле э_{и}}, радиус-вектори ри{\дисплайстйле \техтбф{р}_{и}}, тезлиги ви{\дисплайстйле \техтбф{в}_{и}} бўлсин. Системанинг магнит моменти таърифига мувофиқ,

М=∑эи2c[риви];(1){\дисплайстйле \техтбф{М} = \сум\фраc{э_{и}}{2c}\лефт[\техтбф{р}_{и} \техтбф{в}_{и}\ригҳт];\ \ \ (1)}

Системанинг ҳаракат миқдори моменти эса

Л=∑Ли=∑ми[риви];(2){\дисплайстйле \техтбф{Л} = \сум\техтбф{Л}_{и} = \сум м_{и}\лефт[\техтбф{р}_{и} \техтбф{в}_{и}\ригҳт];\ \ \ (2)}

Шуларга асосан

М=∑эи2миcЛи;(3){\дисплайстйле \техтбф{М} = \сум\фраc{э_{и}}{2м_{и}c}\техтбф{Л}_{и};\ \ \ (3)}

Агар зарралар, атомдаги электронлар эканлигини ҳисобга олсак, уларнинг бир хил зарядли ва массали бўлишидан фойдаланиб, (3) ни қуйидагича ёзиб олишимиз мумкин:

М=э2мcЛ;(4){\дисплайстйле \техтбф{М}=\фраc{э}{2мc}\техтбф{Л};\ \ \ (4)}

Атом электронлари ядро атрофида орбитал ҳаракатда бўлади, демак, М — системанинг орбитал магнит моменти ва Л — системанинг орбитал ҳаракат миқдори моменти. Шундай қилиб, орбитал магнит момент билан орбитал ҳаракат миқдори моменти ўзаро пропорсионал экан.

Электрон зарядининг манфийлиги, яъни э<0{\дисплайстйле э<0} сабабли, (4) га мувофиқ М ва Л векторларнинг йўналишлари қарама-қаршидир.

Таъсир қилувчи ташқи магнит майдон бўлмаса, системанинг магнит моменти, демак, у билан боғланган системанинг ҳаракат миқдори моменти ўзгармасдан сақланади.

Энди фараз қилайлик, заиф бир жинсли ташқи магнит майдон мавжуд бўлсин. Бу майдон таъсирида магнит момент ва у билан боғланган ҳаракат миқдори моменти секин-аста ўзгаради. Шу ўзгаришни текширайлик.

Биламизки, М магнит моментли системага Ҳ кучланганликли ташқи магнит майдон таъсир кучининг моменти К=[МҲ]{\дисплайстйле \техтбф{К} = \лефт[\техтбф{М Ҳ}\ригҳт]} бўлади. Механика курсидан маълумки, куч моменти ҳаракат миқдори моментининг вақт бўйича ҳосиласига тенг: К=дЛдт{\дисплайстйле \техтбф{К} = \дфраc{д\техтбф{Л}}{дт}}.

Бинобарин, дЛдт=[МҲ]{\дисплайстйле \дфраc{д\техтбф{Л}}{дт}=\лефт[\техтбф{М Ҳ}\ригҳт]} ёки (4) га асосан, дЛдт=[э2мcЛ,Ҳ]{\дисплайстйле \дфраc{д\техтбф{Л}}{дт} = \лефт[\фраc{э}{2мc}\техтбф{Л, Ҳ}\ригҳт]}.

Энди

ωЛ=−эҲ2мc;(5){\дисплайстйле \омега_{Л} = -\фраc{э\техтбф{Ҳ}}{2мc};\ \ \ (5)}

десак,

дЛдт=[ωЛЛ];(6){\дисплайстйле \дфраc{д\техтбф{Л}}{дт}=\лефт[\омега_{Л}\техтбф{Л}\ригҳт];\ \ \ (6)}

бўлади.

Сўнгги ифодадан кўрамизки, (дЛдт,Л)=0{\дисплайстйле \лефт(\дфраc{д\техтбф{Л}}{дт}, \техтбф{Л}\ригҳт)=0} ва шу билан бирга (дЛдт,Л)=12ддт(Л22){\дисплайстйле \лефт(\дфраc{д\техтбф{Л}}{дт}, \техтбф{Л}\ригҳт)= \фраc{1}{2}\дфраc{д}{дт}\лефт(\фраc{Л^{2}}{2}\ригҳт)} бўлади, демак, Л=cонст{\дисплайстйле Л=\техтрм{cонст}}, яъни ҳаракат миқдори моментининг сон қиймати ўзгармасдан сақланади.

Лармор прессессияси ва частотаси

Магнит майдон йўналишини з{\дисплайстйле з} координата ўқи деб қабул қилайлик ва Л векторнинг шу ўқ билан ҳосил қилган бурчагини θ{\дисплайстйле \тҳета} билан белгилайлик. У ҳолда

Лз=Лcос⁡θ{\дисплайстйле Л_{з} = Л\cос\тҳета}

ва (6) га асосан дЛздт=0{\дисплайстйле \дфраc{дЛ_{з}}{дт} = 0}, демак, Лз=Лcос⁡θ=cонст{\дисплайстйле Л_{з}=Л\cос\тҳета=\техтрм{cонст}}, яъни θ{\дисплайстйле \тҳета} бурчак ўзгармасдан сақланади.

(6) дан кўрамизки, Л векторнинг охири сон қиймати |дЛдт|=ωЛ=Лсин⁡θ{\дисплайстйле \лефт|\дфраc{д\техтбф{Л}}{дт}\ригҳт| = \омега_{Л} = Л\син\тҳета} тезлик билан ҳаракатланади, чунки ωЛ,Л,θ{\дисплайстйле \омега_{Л}, \техтбф{Л}, \тҳета} миқдорлар ўзгармасдир.

Шундай қилиб, ўзгармас бир жинсли магнит майдондаги атом электронларининг ҳаракат миқдори моменти ўзининг сон қийматини ва майдон йўналиши билан ҳосил қилган бурчагини ўзгартирмасдан, майдон атрофида текис айланма ҳаракатда бўлади. Лармор теоремасининг мазмуни ана шундан иборатдир. Юқорида келтирилган ҳодиса эса Лармор прессессияси деб юритилади. (5) да ифодаланган бурчакли тезлик ωЛ{\дисплайстйле \омега_{Л}} Лармор частотаси дейилади. Унинг сон қиймати эса

ωЛ=|э|Ҳ2мc;(7){\дисплайстйле \омега_{Л}=\фраc{|э|Ҳ}{2мc};\ \ \ (7)}
1-расм. Магнит майдонида зарранинг ҳаракати

Юқорида айтилганлар 1-расмда тасвирланган. Атом электронларининг О ядро атрофида ҳаракатланиб, ҳосил қилган токлари ясси чизиқли ёпиқ ток шаклида кўрсатилган.

Лармор теоремасини ифодалашда таъсир қилувчи магнит майдон жуда заиф деб ҳисобланган эди, яъни магнит майдон йўқлигида ядро атрофида ҳаракатланувчи электронларнинг хусусий частотаси ω0{\дисплайстйле \омега_{0}} га нисбатан Лармор частотаси ωЛ{\дисплайстйле \омега_{Л}} жуда кичик қиймат ҳисобланади:

ωЛ<<ω0;(8){\дисплайстйле \омега_{Л}<<\омега_{0};\ \ \ (8)}

У ҳолда (7) га мувофиқ, кўрамизки,

Ҳ<<2мc|э|ω0;(9){\дисплайстйле Ҳ<<\фраc{2мc}{|э|}\омега_{0};\ \ \ (9)}

бўлади. Масалан, атом спектрининг оптик қисмига мос хусусий частота ω0≈1015с−1{\дисплайстйле \омега_{0}\аппрох 10^{15} с^{-1}}. Энди м, c, э учун уларнинг сон қийматлари назарга олинса, (9) га мувофиқ <матҳ>Ҳ<<10^{8}<//матҳ> СГСМ бўлади. Тажрибада учрайдиган магнит майдонлар бу шартга бемалол бўйсунади.

Кўп физик ҳодисалар (диамагнетизм, Зееман эффекти, Фарадей эффекти ва бошқалар) Лармор прессессияси билан боғлиқдир.

Яна қаранг

Адабиётлар

  • Р.Х.Маллин Классик электродинамика, Ўқитувчи, Т., 1974
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Larmor_teoremasi" dan olindi