Markaziy kuch

Классик механикада обект устидаги марказий куч — бу куч маркази деб аталадиган нуқта томон ёки ундан узоқроққа йўналтирилган куч.

${\дисплайстйле \веc{Ф} = \матҳбф{Ф}(\матҳбф{р}) = \лефт\верт Ф( \матҳбф{р} ) \ригҳт\верт \ҳат{\матҳбф{р}}}$

бу ерда ${\дисплайстйле \веc Ф}$ куч, Ф — вектор қийматли куч функсияси, Ф — скаляр қийматли куч функцияси, р — позиция вектори, || р || унинг узунлиги ва ${\дисплайстйле \ҳат{\матҳбф{р}} = \матҳбф р / \|\матҳбф р\|}$ мос келадиган бирлик векторидир .

Барча марказий куч майдонлари консерватив ёки сферик симметрик эмас. Бироқ, марказий куч, агар у сферик симметрик ёки айланма ўзгармас бўлса, консерватив ҳисобланади.

Хусусиятлари

Консерватив бўлган марказий кучлар ҳар доим потенциал энергиянинг салбий градиэнти сифатида ифодаланиши мумкин:

Фаилед то парсе (Ункноwн фунcтион \инфин): {\дисплайстйле \матҳбф{Ф}(\матҳбф{р}) = - \матҳбф{\набла} В(\матҳбф{р}) \; \техт{, бунда } В(\матҳбф{р}) = \инт_{|\матҳбф{р}|}^{+\инфин} Ф(р)\,\матҳрм{д}р}

(интеграциянинг юқори чегараси ихтиёрийдир, чунки потенциал қўшимча константагача аниқланади).

Консерватив соҳада умумий механик энергия (кинетик ва потенциал) сақланади:

${\дисплайстйле Э = \тфраc{1}{2} м |\матҳбф{\дот{р}}|^2 + \тфраc{1}{2} И |\болдсймбол{\омега}|^2 + В(\матҳбф{р}) = \техт{cонстант}}$

(бу ерда „ р“ вақтга нисбатан „ р“ ҳосиласини, яъни тезликни, „ И“ бу жисмнинг инерсия моментини, „ω“ эса бурчак тезлигини билдиради), марказий куч майдонида эса шундай бурчак моментум:

${\дисплайстйле \матҳбф{Л} = \матҳбф{р} \тимес м\матҳбф{\дот{р}} = \техт{cонстант}}$

чунки куч таъсир қиладиган момент нолга тенг. Натижада, жисм бурчак импулс векторига перпендикуляр бўлган ва бошни ўз ичига олган текисликда ҳаракат қилади ва Кеплернинг иккинчи қонунига бўйсунади. (Агар бурчак моменти нолга тенг бўлса, жисм уни координата билан боғлайдиган чизиқ бўйлаб ҳаракатланади.)

Ҳар қандай марказий куч таъсирида ҳаракатланувчи жисм Кеплернинг иккинчи қонунига бўйсунишини ҳам кўрсатиш мумкин. Бироқ, биринчи ва учинчи қонунлар Нютоннинг бутун дунё тортишиш қонунининг тескари квадрат табиатига боғлиқ ва бошқа марказий кучлар учун умуман амал қилмайди.

Консерватив бўлиш натижасида бу ўзига хос марказий куч майдонлари ирротациондир, яъни унинг бурилиши нолга тенг, фақат бошланғичдан ташқари :

${\дисплайстйле \набла\тимес\матҳбф{Ф} (\матҳбф{р}) = \матҳбф{0} .}$

Мисоллар

Гравитацион куч ва Кулон кучи иккита таниш мисолдир ${\дисплайстйле Ф( \матҳбф{р} )}$ фақат 1/ р ² га пропорционал бўлиш. Бундай куч майдонидаги обект салбий билан ${\дисплайстйле Ф( \матҳбф{р} )}$ (жозибали кучга тўғри келади) Кеплернинг сайёралар ҳаракати қонунларига бўйсунади.

Фазовий гармоник осилаторнинг куч майдони марказий ҳисобланади ${\дисплайстйле Ф( \матҳбф{р} )}$ фақат р га пропорционал ва манфий.

Бертран теоремасига кўра, бу икки, ${\дисплайстйле Ф( \матҳбф{р} ) = -к/р^2}$ ва ${\дисплайстйле Ф(\матҳбф{р})=-кр}$, барча чегараланган орбиталар барқарор ёпиқ орбиталар бўлган ягона мумкин бўлган марказий куч майдонлари. Бироқ, баъзи ёпиқ орбиталарга эга бўлган бошқа куч майдонлари ҳам мавжуд.

Манбалар

• Тайлор, Жоҳн Р. (2005). Cлассиcал Мечаниcс. Саусалито, CА.: Унив. Сcиэнcе Боокс. ИСБН 1-891389-22-Х.
• Эриc W. Wеисстеин (1996-2007). „Cентрал Форcе“. СcиэнcеWорлд. Wолфрам Ресеарч. Ретриэвед 2008-08-18.