Maydon (algebra)

А бирли коммутатив ҳалқада ҳар бир нолдан фарқли элементи теска-риланувчи бŏлса, у ҳолда А коммутатив ҳалқа майдон дейилади.

• Майдон тушунчасининг жуда муҳим эканлигини назарда тутиб унинг ҳалқа тушунчасига асосланмайдиган таърифини келтирамиз.${\дисплайстйле (К,+)}$ — абел ҳалқа; б) ${\дисплайстйле (К,\cдот)}$- группоид, (К\{0}_,*)абел группа; с) (К\{0}) қўшиш билан кўпайтириш амаллари дистрибутивлик қонуни билан боғланган (уни икки формасининг ихтиёрий биттаси билан ифодалаш мумкин), бўлса${\дисплайстйле (К,+,\cдот)}$ алгебраик система майдон дейилади.

Мисол. х, й, з, т — лар${\дисплайстйле (П,+,\cдот)}$ майдоннинг ихтиёрий элементлари ва й${\дисплайстйле \неқ}$0, т${\дисплайстйле \неқ}$0 бўлсин.

${\дисплайстйле {х \овер й}}$${\дисплайстйле \пм}$${\дисплайстйле {з \овер т}}$ = ${\дисплайстйле {хт\пм йз\овер йт}}$ ни исбот қилинг.

Ечиш. Майдонда кўпайтириш коммутатив бўлгани учун ихтиёрий й${\дисплайстйле \неқ}$0 учун ${\дисплайстйле хй^{-1}}$= ${\дисплайстйле й^{-1}х}$ ва бу ифодаларнинг ҳар бирини ${\дисплайстйле \фраc{х}{й}}$ каср шаклида ифодалаш ҳеч қандай аниқсизликка олиб келмайди. Шунинг учун исботланаётган тенгликнинг чап томони ${\дисплайстйле хй^{-1}\пм зт^{-1} = хй^{-1}тт^{-1}\пм зт^{-1} йй^{-1}= хт(йт)^{-1}\пм йз(йт)^{-1}= (хт\пм йз)(йт)^{-1},}$ яъни ўнг томонига тенг.шу билан бирга нолнинг бўлувчилари мавжуд эмаслиги сабабидан ${\дисплайстйле й\неқ 0, т\неқ0}$ дан ${\дисплайстйле йт\неқ0}$ келиб чиқади.

Агар ${\дисплайстйле (П,+,\cдот)}$ майдон бири (бирлик элементи) нинг ҳамма бутун карралилари П нинг элементларидан иборат бўлса, яъни ${\дисплайстйле к=\элл}$ учун ${\дисплайстйле к\cдот1\неқ л\cдот1}$ бўлса Р майдон нол характеристикага эга дейилади ва ${\дисплайстйле чарП=0}$ шаклда ёзилади. Акс ҳолда ${\дисплайстйле 1<м<п}$ учун ${\дисплайстйле п\cдот1=0,}$ аммо ${\дисплайстйле м\cдот1\неқ0}$ бўлса, р натурал сон Р майдоннинг характеристикаси дейилади ва ${\дисплайстйле чарП=п}$ қилиб ёзилади. Бошқача қилиб айтганда, майдоннинг бири унинг аддитив группасида чексиз тартибли элемент бўлса, майдоннинг характеристикаси нолга тенг дейилади, акс ҳолда майдоннинг характеристикаси деб майдон бирининг унинг аддитив группасидаги тартибига айтилади.