Mediana

Медианалар

Медиана (лотинча: медиāна – ўрта) – Г учбурчак медианаси – учбурчакнинг бир учи билан шу учи қаршисидаги томони ўртасини туташтирувчи кесма. Учбурчакнинг учала медианалари бир нуқтада кесишади ва кесишиш нуқтасида учбурчак учидан ҳисоблаганда 2 : 1 нисбатда бўлинади. Учбурчак медианаларининг кесишиш нуқтаси, унинг оғирлик маркази билан устма-уст тушади. 2° тетраэдр (учбурчакли пирамида) медианаси – тетраэдр бир учи билан шу учи қаршисидаги ёқ оғирлик марказини туташтирувчи кесма. Тетраэдрнинг тўрттала медианаси бир нуқтада кесишади;

Асосий нисбатлар

Медиананинг узунлигини ҳисоблаш учун учбурчак томонларининг узунликлари маълум бўлганда, Аполлоний теоремаси қўлланади (Стюарт теоремаси орқали ёки параллелограммага чўзилган ва квадратлар йиғиндисининг параллелограммасидаги тенгликдан фойдаланиб олинган). ён томонлари ва диагоналлар квадратлари йиғиндиси:

${\дисплайстйле м_а = \дфраc{1}{2}\сқрт {2 б^2 + 2 c^2 - а^2},}$

${\дисплайстйле м_б = \дфраc{1}{2}\сқрт{2 а^2 + 2 c^2 - б^2},}$

${\дисплайстйле м_c = \дфраc{1}{2}\сқрт{2 а^2 + 2 б^2 - c^2},}$

бу ерда ${\дисплайстйле м_а,\ м_б,\ м_c}$ мос равишда ${\дисплайстйле а,\ б,\ c}$ учбурчак томонлари медианаларидир.

Хусусан, ихтиёрий учбурчакнинг медианалари квадратлари йиғиндиси унинг томонлари квадратлари йиғиндисининг 3/4 қисмини ташкил қилади:

${\дисплайстйле м_а^2 + м_б^2 + м_c^2 = \фраc34 (а^2 + б^2 + c^2)}$.

Аксинча, учбурчакнинг ихтиёрий томонининг узунлигини медианаларда ифодалаш мумкин:

${\дисплайстйле а = \фраc{2}{3} \сқрт{-м_а^2 + 2м_б^2 + 2м_c^2} = \сқрт{2(б^2+c^2)-4м_а^2} = \сқрт{\фраc{б^2}{2} - c^2 + 2м_б^2} = \сқрт{\фраc{c^2}{2} - б^2 + 2м_c^2},}$

${\дисплайстйле б = \фраc{2}{3} \сқрт{-м_б^2 + 2м_а^2 + 2м_c^2} = \сқрт{2(а^2+c^2)-4м_б^2} = \сқрт{\фраc{а^2}{2} - c^2 + 2м_а^2} = \сқрт{\фраc{c^2}{2} - а^2 + 2м_c^2},}$

${\дисплайстйле c = \фраc{2}{3} \сқрт{-м_c^2 + 2м_б^2 + 2м_а^2} = \сқрт{2(б^2+а^2)-4м_c^2} = \сқрт{\фраc{б^2}{2} - а^2 + 2м_б^2} = \сқрт{\фраc{а^2}{2} - б^2 + 2м_а^2},}$

бу ерда ${\дисплайстйле м_а, м_б, м_c}$ учбурчакнинг мос томонларига медианалар, ${\дисплайстйле а, б, c}$ учбурчакнинг томонлари.

Ҳар қандай учбурчакнинг майдони ${\дисплайстйле С}$, унинг медианалари узунлиги билан ифодаланган:

${\дисплайстйле С = \фраc{4}{3} \сқрт{\сигма (\сигма - м_а)(\сигма - м_б)(\сигма - м_c)},}$

бу ерда ${\дисплайстйле \сигма = (м_а + м_б + м_c)/2}$ медиана узунликлари йиғиндисининг ярми.

Яна қаранг

• Медиана (статистика)