Ziyosfera

Modulning parchalanishi

Mavhum algebrada modulning parchalanishi modulni modullarning bevosita yigʻindisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun koʻpincha parchalanish turlaridan qoʻllanadi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi boʻlgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi, agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul boʻladi.

Ayrılabilir modul ikki nol boʻlmagan submodullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi boʻlmagan moduldir. Azumaya teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari boʻlgan modullarga parchalanishga ega boʻlsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent boʻladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi.

Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy boʻladi, agar u boʻlinish halqalari ustidagi matritsa halqalarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (aslida mahsulot) boʻladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi).

Idempotentlar va parchalanishlar

Modulning toʻgʻridan-toʻgʻri toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini toʻplaydigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir[1]. Haqiqatan ham, agar M=⨁i∈IMi{\displaystyle M = \bigoplus_{i \in I} M_i}, keyin, har biri uchun i∈I{\displaystyle i \in I}, chiziqli endomorfizm ei:M→Mi↪M{\displaystyle e_i : M \to M_i \hookrightarrow M} tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir (eiej=0{\displaystyle e_i e_j = 0} uchun i≠j{\displaystyle i \ne j}) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi. Bular:

1M⁡=∑i∈Iei{\displaystyle 1_{\operatorname{M}} = \sum_{i \in I} e_i}

endomorfizmlar sifatida (bu yerda yigʻindi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yigʻindi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir toʻplami {ei}i∈I{\displaystyle \{ e_i \}_{i \in I}} Shunday qilib, faqat cheksiz koʻp ei(x){\displaystyle e_i(x)} har biri uchun nolga teng x∈M{\displaystyle x \in M} va ∑ei=1M{\displaystyle \sum e_i = 1_M} olish orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining parchalanishini aniqlanadi Mi{\displaystyle M_i} tasvirlari boʻlish ei{\displaystyle e_i} ga teng.

Bu fakt allaqachon halqaning mumkin boʻlgan parchalanishiga baʼzi cheklovlar qoʻyadi: halqa berilgan R{\displaystyle R}, dekompozitsiya bor deylik

RR=⨁a∈AIa{\displaystyle {}_R R = \bigoplus_{a \in A} I_a}

R{\displaystyle R} ning oʻzi ustidan chap modul sifatida, qaerda Ia{\displaystyle I_a} chap submodullar; yaʼni, chap ideallar . Har bir endomorfizm RR→RR{\displaystyle {}_R R \to {}_R R} R elementi bilan toʻgʻri koʻpaytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib, Ia=Rea{\displaystyle I_a = R e_a} qayerda ea{\displaystyle e_a} ning idempotentlari hisoblanadi End⁡(RR)≃R{\displaystyle \operatorname{End}({}_R R) \simeq R}[2] .Idempotent endomorfizmlarning yigʻindisi R birligining parchalanishiga mos keladi: 1R=∑a∈Aea∈⨁a∈AIa{\displaystyle 1_R = \sum_{a \in A} e_a \in \bigoplus_{a \in A} I_a}, bu shartli ravishda cheklangan yigʻindi; ayniqsa, A{\displaystyle A} chekli toʻplam boʻlishi kerak.

Masalan, R=M⁡n(D){\displaystyle R = \operatorname{M}_n(D)}, boʻlinish halqasi ustidagi n -uchun- n matritsalar halqasi D. Keyin RR{\displaystyle {}_R R} n nusxasining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisidir Dn{\displaystyle D^n}, ustunlar; har bir ustun oddiy chap R -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal[3].

R halqa boʻlsin. Faraz qilaylik, uning oʻzidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud.

RR=R1⊕⋯⊕Rn{\displaystyle {}_R R = R_1 \oplus \cdots \oplus R_n}

ikki tomonlama ideallarga aylanadi Ri{\displaystyle R_i} ning R . Yuqoridagi kabi, Ri=Rei{\displaystyle R_i = R e_i} baʼzi ortogonal idempotentlar uchun ei{\displaystyle e_i} shu kabi 1=∑1nei{\displaystyle \textstyle{1 = \sum_1^n e_i}} . beri Ri{\displaystyle R_i} idealdir, eiR⊂Ri{\displaystyle e_i R \subset R_i} va hokazo eiRej⊂Ri∩Rj=0{\displaystyle e_i R e_j \subset R_i \cap R_j = 0} uchun i≠j{\displaystyle i \ne j} . Keyin, har bir i uchun,

eir=∑jejrei=∑jeirej=rei.{\displaystyle e_i r = \sum_j e_j r e_i = \sum_j e_i r e_j = r e_i.}

Yaʼni, ei{\displaystyle e_i} markazda joylashgan; yaʼni ular markaziy idempotentlardir[4] .Shubhasiz, argument teskari boʻlishi mumkin va shuning uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining ideallarga boʻlinishi va birlik 1 ga toʻgʻri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar oʻrtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri Ri{\displaystyle R_i} oʻzi — oʻz-oʻzidan halqa tomonidan berilgan birlik ei{\displaystyle e_i} va halqa sifatida R mahsulot halqasidir R1×⋯×Rn.{\displaystyle R_1 \times \cdots \times R_n.}

Masalan, yana oling R=M⁡n(D){\displaystyle R = \operatorname{M}_n(D)} . Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas.

Parchalanish turlari

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining bir necha turlari oʻrganilgan:

  • Yarim sodda parchalanish : oddiy modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
  • Ajralmaydigan parchalanish : parchalanmaydigan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
  • Mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish (qarang. #Azumaya teoremasi): endomorfizm halqalari mahalliy halqalar boʻlgan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (har bir x element uchun x yoki 1 — x birlik boʻlsa, halqa mahalliy hisoblanadi).
  • Ketma-ket parchalanish : bir seriyali modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (agar pastki modullar panjarasi chekli zanjir boʻlsa, modul bir qatorli hisoblanadi[5]) parchalanishi.

Oddiy modul ajralmaydigan boʻlgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy boʻlsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega boʻlishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish boʻladi.

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi, agar u ajralmaydigan toʻldiruvchini qabul qilsa, maksimal parchalanish deyiladi. Parchalanish M=⨁i∈IMi{\displaystyle \textstyle{M = \bigoplus_{i \in I} M_i}} Agar M ning har bir maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi L uchun kichik toʻplam mavjud boʻlsa, maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi deyiladi. J⊂I{\displaystyle J \subset I} shu kabi

M=(⨁j∈JMj)⨁L.{\displaystyle M = \left(\bigoplus_{j \in J} M_j \right) \bigoplus L.}[6].

Ikki parchalanish M=⨁i∈IMi=⨁j∈JNj{\displaystyle M = \bigoplus_{i \in I} M_i = \bigoplus_{j \in J} N_j} bijection mavjud boʻlsa, ekvivalent deyiladi φ:I→∼J{\displaystyle \varphi : I \overset{\sim}\to J} har biri uchun shunday i∈I{\displaystyle i \in I}, Mi≃Nφ(i){\displaystyle M_i \simeq N_{\varphi(i)}}[6] .Agar modul maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent boʻladi[7].

Azumaya teoremasi

Eng oddiy shaklda Azumaya teoremasida aytiladi[8].Sunday parchalanish berilgan M=⨁i∈IMi{\displaystyle M = \bigoplus_{i \in I} M_i} Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi Mi{\displaystyle M_i} mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), M ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi[9].Bunday parchalanish berilgan, agar M=N⊕K{\displaystyle M = N \oplus K}, keyin

  1. agar nol boʻlmasa, N ajralmaydigan toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindini oʻz ichiga oladi,
  2. agar N{\displaystyle N} ajralmaydi, uning endomorfizm halqasi mahalliy[10] va K{\displaystyle K} berilgan parchalanish bilan toʻldiriladi:
    M=Mj⊕K{\displaystyle M = M_j \oplus K} va hokazo Mj≃N{\displaystyle M_j \simeq N} baʼzilar uchun j∈I{\displaystyle j \in I} ,
  3. Har biriga i∈I{\displaystyle i \in I}, toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar mavjud N′{\displaystyle N'} ning N{\displaystyle N} va K′{\displaystyle K'} ning K{\displaystyle K} shu kabi M=Mi⊕N′⊕K′{\displaystyle M = M_i \oplus N' \oplus K'} .

Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi boʻyicha) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qoʻllanadi. Darhaqiqat, agar M cheklangan uzunlikdagi modul boʻlsa, u holda uzunlik boʻyicha induksiya boʻyicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega. M=⨁i=1nMi{\displaystyle M = \bigoplus_{i=1}^n M_i}, bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib boʻlmaydigan parchalanish berilgan M=⨁i=1mNi{\displaystyle M = \bigoplus_{i=1}^m N_i} . Keyin u birinchisiga teng boʻlishi kerak: shunday m=n{\displaystyle m = n} va Mi≃Nσ(i){\displaystyle M_i \simeq N_{\sigma(i)}} baʼzi almashtirish uchun σ{\displaystyle \sigma} ning {1,…,n}{\displaystyle \{ 1, \dots, n \}} . Aniqrogʻi, beri N1{\displaystyle N_1} ajralmas, M=Mi1⨁(⨁i=2nNi){\displaystyle M = M_{i_1} \bigoplus (\bigoplus_{i=2}^n N_i)} baʼzilar uchun i1{\displaystyle i_1} . Keyin, beri N2{\displaystyle N_2} ajralmas, M=Mi1⨁Mi2⨁(⨁i=3nNi){\displaystyle M = M_{i_1} \bigoplus M_{i_2} \bigoplus (\bigoplus_{i=3}^n N_i)} va hokazo; yaʼni har bir summani toʻldiradi ⨁i=lnNi{\displaystyle \bigoplus_{i=l}^n N_i} baʼzilarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida qabul qilinishi mumkin Mi{\displaystyle M_i} ning qiymatidir.

Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir):

  • Element berilgan x∈N{\displaystyle x \in N}, toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi mavjud H{\displaystyle H} ning N{\displaystyle N} va kichik toʻplam J⊂I{\displaystyle J \subset I} shu kabi x∈H{\displaystyle x \in H} va H≃⨁j∈JMj{\displaystyle H \simeq \bigoplus_{j \in J} M_j} .

Buni koʻrish uchun cheklangan toʻplamni tanlang F⊂I{\displaystyle F \subset I} shu kabi x∈⨁j∈FMj{\displaystyle x \in \bigoplus_{j \in F} M_j} . Keyin, yozish M=N⊕L{\displaystyle M = N \oplus L}, Azumaya teoremasi boʻyicha, M=(⊕j∈FMj)⊕N1⊕L1{\displaystyle M = (\oplus_{j \in F} M_j) \oplus N_1 \oplus L_1} baʼzi toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar bilan N1,L1{\displaystyle N_1, L_1} ning N,L{\displaystyle N, L} va keyin, modul qonuniga koʻra, N=H⊕N1{\displaystyle N = H \oplus N_1} bilan H=(⊕j∈FMj⊕L1)∩N{\displaystyle H = (\oplus_{j \in F} M_j \oplus L_1) \cap N} . Keyin, beri L1{\displaystyle L_1} ning bevosita yig‘indisidir L{\displaystyle L}, yozishimiz mumkin L=L1⊕L1′{\displaystyle L = L_1 \oplus L_1'} undan keyin ⊕j∈FMj≃H⊕L1′{\displaystyle \oplus_{j \in F} M_j \simeq H \oplus L_1'}, bu F chekli boʻlgani uchun, bu degani H≃⊕j∈JMj{\displaystyle H \simeq \oplus_{j \in J} M_j} baʼzi J uchun Azumaya teoremasini takroran qoʻllash orqali hisoblanadi.

Azumaya teoremasini oʻrnatishda, agar qoʻshimcha ravishda har bir Mi{\displaystyle M_i} hisoblash mumkin boʻlsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli): N{\displaystyle N} ga izomorfdir ⨁j∈JMj{\displaystyle \bigoplus_{j \in J} M_j} baʼzi bir kichik toʻplam uchun J⊂I{\displaystyle J \subset I}[11] (Maʼlum maʼnoda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan.), bu taxmin nomaʼlum „ Mi{\displaystyle M_i} countably genered“ ni oʻchirib qoʻyish mumkin; yaʼni, bu yaxshilangan versiya judayam toʻgʻri.

Halqaningning parchalanishi

Halqaning parchalanishi boʻyicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: R halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir:

  1. R — yarim oddiy halqa; yaʼni, RR{\displaystyle {}_R R} yarim oddiy chap moduldir.
  2. R≃∏i=1rM⁡mi(Di){\displaystyle R \simeq \prod_{i=1}^r \operatorname{M}_{m_i}(D_i)} qayerda M⁡n(D){\displaystyle \operatorname{M}_n(D)} n -by- n matritsalar halqasini va musbat sonlarni bildiradi r,m1,…,mr{\displaystyle r, m_1, \dots, m_r} R bilan belgilanadi (lekin Di{\displaystyle D_i} s R bilan aniqlanmaydi).
  3. R ustidagi har bir chap modul yarim oddiy moduldir.

Birinchi ikkitasining ekvivalentligini koʻrish uchun eʼtibor bering: agar RR≃⨁i=1rIi⊕mi{\displaystyle {}_R R \simeq \bigoplus_{i=1}^r I_i^{\oplus m_i}} qayerda Ii{\displaystyle I_i} oʻzaro izomorf boʻlmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar oʻngdan harakat qiladi.

R≃End⁡(RR)≃⨁i=1rEnd⁡(Ii⊕mi){\displaystyle R \simeq \operatorname{End}({}_R R) \simeq \bigoplus_{i=1}^r \operatorname{End}(I_i^{\oplus m_i})}

har biri qaerda End⁡(Ii⊕mi){\displaystyle \operatorname{End}(I_i^{\oplus m_i})} boʻlinish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida koʻrish mumkin Di=End⁡(Ii){\displaystyle D_i = \operatorname{End}(I_i)} . (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng boʻladi.) Ekvivalentlik 1. ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow} 3. chunki har bir modul boʻsh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.

Yana qarang

  • Sof inʼektsion modul

Manbalar

  1. ↑ Anderson & Fuller, Corollary 6.19. and Corollary 6.20.
  2. ↑ Here, the endomorphism ring is thought of as acting from the right; if it acts from the left, this identification is for the opposite ring of R.
  3. ↑ Processi, Ch.6., § 1.3.
  4. ↑ Anderson & Fuller, Proposion 7.6.
  5. ↑ Anderson & Fuller, § 32.
  6. ↑ 6,0 6,1 Anderson & Fuller, § 12.
  7. ↑ Anderson & Fuller, Theorrm 12.4.
  8. ↑ Facchini, Theorem 2.12.
  9. ↑ Anderson & Fuller, Theorem 12.6. and Lemma 26.4.
  10. ↑ Facchini, Lemma 2.11.
  11. ↑ Facchini, Corollary 2.55.
  • Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13-jild (2-nashr), New York: Springer-Verlag, x+376-bet, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
  • Frank W. Anderson, Lectures on Non-Commutative Rings (Wayback Machine saytida 2021-06-13 sanasida arxivlangan), University of Oregon, Fall, 2002.
  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2-jild (2nd-nashr), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
  • Y. Lam, Bass’s work in ring theory and projective modules [MR 1732042]
  • Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
  • R. Warfield: Exchange rings and decompositions of modules, Math. Annalen 199(1972), 31-36.
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Modulning_parchalanishi" dan olindi