Mukammal son

6 рақамининг мукаммал сон ҳолатидаги тасвири

Рақамлар назариясида мукаммал сон бу соннинг ўзидан ташқари унинг мусбат бўлувчилари йиғиндисига тенг бўлган мусбат бутун сондир. Масалан, 6 сонининг 1, 2 ва 3 бўлувчиси бор (ўзидан ташқари) ва 1 + 2 + 3 = 6, шунинг учун 6 мукаммал сондир.

Соннинг бўлувчилари йиғиндиси, соннинг ўзи бундан мустасно, унинг аликвот йиғиндиси дейилади, шунинг учун мукаммал сон унинг аликвот йиғиндисига тенг бўлган сондир. Эквивалент тарзда, мукаммал сон — унинг барча мусбат бўлувчилари йиғиндисининг ярмига тенг бўлган сон; белгиларда, ${\дисплайстйле \сигма_1(н)=2н}$ бу ерда ${\дисплайстйле \сигма_1}$ бўлувчилар йиғиндиси функсиясидир. Масалан, 28 сони 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 мукаммалдир.

Бу таъриф қадимий манбаларга асосланган бўлиб, Эвклиднинг элементлари (ВИИ.22) асарида пайдо бўлган, у ерда у τέλειος ἀριθμός (мукаммал, идеал ёки тўлиқ сон)деб аталади. . Эвклид шунингдек, шаклланиш қоидасини (ИХ.36) исботлади ${\дисплайстйле қ(қ+1)/2}$ ҳар доим ҳам мукаммал сон ${\дисплайстйле қ}$ шаклнинг боши ҳисобланади ${\дисплайстйле 2^п-1}$ мусбат бутун сон учун ${\дисплайстйле п}$ — ҳозир Мерсенн боши деб аталадиган нарса. Икки минг йил ўтгач, Леонҳард Эйлер барча ҳатто мукаммал сонлар ҳам шу шаклда эканлигини исботлади. Бу Эвклид-Эйлер теоремаси деб номланади.

Тоқ мукаммал сонлар ёки чексиз кўп мукаммал сонлар мавжудлиги номаълум. Биринчи бир нечта мукаммал рақамлар 6, 28, 496 ва 8128.

Келиб чиқиши

Тахминан  Милоддан аввалги 300-йилда Эвклид шуни кўрсатдики, агар 2 ^п − 1 тубдан кейин 2 ^{п −1} (2 ^п − 1) мукаммал. Дастлабки тўртта мукаммал сон қадимги юнон математикасига маълум бўлган ягона сонлар эди ва математик Никомах милоддан аввалги 100-йилда 8128 ни қайд этган. Замонавий тил билан айтганда, Никомах ҳар бир мукаммал сон ${\дисплайстйле 2^{н-1}(2^н-1)}$ бу ерда ${\дисплайстйле 2^н-1}$ асосий) қуйидаги шаклда эканлигини исбоциз таъкидлайди. У н нинг ўзи асосий бўлиши кераклигини билмаганга ўхшайди. Шунингдек, у (нотўғри) мукаммал сонлар навбатма-навбат 6 ёки 8 билан тугашини айтади. (Биринчи 5 та мукаммал рақам 6, 8, 6, 8, 6 рақамлари билан тугайди, олтинчиси ҳам 6 билан тугайди.) Искандариялик Фило биринчи асрда ёзилган „Яратилиш ҳақида“ китобида мукаммал сонларни тилга олиб, дунё 6 кунда яратилган, Ой эса 28 кунда айланиб чиқади, чунки 6 ва 28 мукаммалдир. Филодан кейин Ориген ва Дидим кўр, 10 000 дан кам бўлган фақат тўртта мукаммал рақам борлигини кузатишни қўшади. (Ибтидо 1. 14-19 га изоҳ). Авлиё Августин эрамизнинг В аср бошларида Худонинг шаҳрида (ХИ китоб, 30-боб) мукаммал рақамларни белгилайди ва Худо дунёни 6 кунда яратган деган даъвони такрорлайди, чунки 6 энг кичик мукаммал сондир. Мисрлик математик Исмоил ибн Фаллус (1194—1252) кейинги учта мукаммал рақамни (33,550,336; 8,589,869,056; ва 137,438,691,328) эслатиб ўтган ва ҳозирда нотўғри эканлиги маълум бўлган яна бир нечтасини санаб ўтган. Бешинчи мукаммал рақам ҳақида биринчи маълум Европа эслатмаси номаълум математик томонидан 1456 ва 1461-йиллар орасида ёзилган қўлёзмадир. 1588-йилда италян математиги Пиэтро Каталди олтинчи (8 589 869 056) ва еттинчи (137 438 691 328) мукаммал сонларни аниқлади, шунингдек, Эвклид қоидасидан олинган ҳар бир мукаммал сон 6 ёки 8 билан тугашини исботлади.

Жуфт мукаммал сонлар

Эвклид 2 ^{п −1} (2 ^п − 1) ҳар доим 2 ^п бўлганда, жуфт мукаммал сон − 1 — асосий (Элементлар, Проп. ИХ.36).

Масалан, биринчи тўртта мукаммал рақам 2 ^{п −1} (2 ^п − 1), п билан туб сон, қуйидагича:

п = 2 учун: 2 ¹ (2 ² − 1) = 2 × 3 = 6

п = 3 учун: 2 ² (2 ³ − 1) = 4 × 7 = 28

п = 5 учун: 2 ⁴ (2 ⁵ − 1) = 16 × 31 = 496

п = 7 учун: 2 ⁶ (2 ⁷ − 1) = 64 × 127 = 8128.

2 ^п шаклидаги туб сонлар − 1 рақамлар назарияси ва мукаммал сонларни ўрганган ХВИИ аср роҳиби Марин Мерсеннадан кейин Мерсенне туб сонлари сифатида танилган. 2 ^п учун − 1 туб бўлиши учун п ўзи туб бўлиши керак. Бироқ, 2 ^п шаклдаги барча рақамлар эмас − 1-сонли п сони туб; масалан, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 туб сон эмас. Аслида, Мерсенне туб сонлари жуда кам учрайди — 2 610 944 туб сондан п дан 43 112 609 гача, 2 ^п . − Улардан фақат 47 таси учун 1 асосий ҳисобланади.

Гарчи Никомач барча мукаммал сонлар шаклга эга эканлигини (далилсиз) таъкидлаган бўлса-да ${\дисплайстйле 2^{н-1}\лефт(2^н - 1\ригҳт)}$ қаерда ${\дисплайстйле 2^н - 1}$ туб бўлса (гарчи у буни бироз бошқача таъкидлаган бўлса-да), Ибн ал-Ҳайсам (Алҳазен) тахминан эрамизнинг 1000-йилларида фақат ҳар бир жуфт мукаммал сон шу шаклда бўлишини тахмин қилган. Фақат ХВИИИ асргача Леонҳард Эйлер 2 ^{п −1} (2 ^п) формула эканлигини исботлади. − 1) барча жуфт мукаммал сонларни беради. Шундай қилиб, ҳатто мукаммал сонлар ва Мерсен туб сонлари ўртасида яккама -якка мувофиқлик мавжуд; ҳар бир Мерсенне туб сони битта мукаммал сон ҳосил қилади ва аксинча. Бу натижа кўпинча Эвклид-Эйлер теоремаси деб аталади.

ГИМПС тақсимланган ҳисоблаш лойиҳаси томонидан олиб борилган тўлиқ қидирув шуни кўрсатдики, биринчи 48 та мукаммал сон 2 ^{п −1} (2 ^п) − 1) учун

п = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 91, 992 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 анд 57885161 (сеқуэнcе

Бундан ташқари, учта юқори мукаммал сонлар топилди, улар учун п = 74207281, 77232917 ва 82589933. Гарчи бу диапазонда бошқалар ҳам бўлиши мумкин бўлса-да, ГИМПС томонидан ўтказилган дастлабки, аммо тўлиқ синовлар 109332539 дан паст бўлган п учун бошқа мукаммал рақамларни аниқламади. 2018-йил декабр (2018-12) ҳолатига кўра , 51 Мерсенне туб сони маълум, ва шунинг учун 51 жуфт мукаммал сонлар (уларнинг энг каттаси 2 ^82589932 × (2 ^82589933) − 1) 49 724 095 та рақам билан). Чексиз кўп мукаммал сонлар борми ёки чексиз кўп Мерсенне туб сонлари борми номаълум.

Шунингдек, 2 ^{п −1} шаклига эга (2 ^п − 1), ҳар бир жуфт мукаммал сон (2^п − 1)тҳ учбурчак сони (ва шунинг учун 1 дан 2^п − 1 гача бўлган бутун сонлар йиғиндисига тенг)2^п − 1) ва 2^п−1тҳ олти бурчакли сон. Бундан ташқари, 6 дан ташқари ҳар бир жуфт мукаммал сон ((2^п + 1)/3)тҳ -нчи марказлаштирилган нонагонал сон ва биринчи 2^(п−1)/2 тоқ кублар (2^(п+1)/2-1 кубгача бўлган тоқ кублар) йиғиндисига тенг:

${\дисплайстйле \бегин{алигн}$

6 = 2^1\лефт(2^2 - 1\ригҳт)
 & = 1 + 2 + 3, \\[8пт]
28 = 2^2\лефт(2^3 - 1\ригҳт)
 & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1^3 + 3^3, \\[8пт]
496 = 2^4\лефт(2^5 - 1\ригҳт)
 & = 1 + 2 + 3 + \cдоц + 29 + 30 + 31 \\
 & = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3, \\[8пт]
8128 = 2^6\лефт(2^7 - 1\ригҳт)
 & = 1 + 2 + 3 + \cдоц + 125 + 126 + 127 \\
 & = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3, \\[8пт]
33550336 = 2^{12}\лефт(2^{13} - 1\ригҳт)
 & = 1 + 2 + 3 + \cдоц + 8189 + 8190 + 8191 \\
 & = 1^3 + 3^3 + 5^3 + \cдоц + 123^3 + 125^3 + 127^3.

\энд{алигн}}

Жуфт мукаммал сонлар (бундан мустасно 6) қуйидаги шаклга эга:

${\дисплайстйле Т_{2^п - 1} = 1 + \фраc{\лефт(2^п - 2\ригҳт) \тимес \лефт(2^п + 1\ригҳт)}{2} = 1 + 9 \тимес Т_{\лефт(2^п - 2\ригҳт)/3}}$

ҳар бир натижада учбурчак сони Т₇ = 28, Т₃₁ = 496, Т₁₂₇ = 8128 (мукаммал сондан 1 ни айириш ва натижани 9 га бўлишдан кейин) 3 ёки 5 билан тугайди, кетма-кетлик Т₂ = 3, Т₁₀ = 55 билан бошланади Т₁₀ = 55, Т ₄₂ = 903, Т ₂₇₃₀ = 3727815, . . . Буни қуйидагича қайта шакллантириш мумкин: ҳар қандай жуфт мукаммал соннинг рақамларини қўшиш ( 6), кейин олинган соннинг рақамларини қўшиб, битта рақам (рақамли илдиз деб аталади) олинмагунча бу жараённи такрорлаш ҳар доим рақамни ҳосил қилади. 1. Масалан, 8128 нинг рақамли илдизи 1 га тенг, чунки 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, ва 1 + 0 = 1. Бу барча мукаммал рақамлар билан ишлайди 2 ^{п −1} (2 ^п − 1) тоқ туб п билан ва аслида 2 ^{м −1} (2 ^м) кўринишдаги барча сонлар билан − 1) тоқ бутун сон учун (асосий бўлиши шарт эмас) м .

Уларнинг шакли туфайли 2 ^{п −1} (2 ^п − 1), ҳар бир жуфт мукаммал сон иккилик шаклда п бирликдан кейин ифодаланади п − 1  ноллар; масалан,

6 ₁₀ = 2 ² + 2 ¹ = 110 ₂ ,

28 ₁₀ = 2 ⁴ + 2 ³ + 2 ² = 11100 ₂ ,

496 ₁₀ = 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ⁵ + 2 ⁴ = 111110000 ₂ ва

8128 ₁₀ = 2 ¹² + 2 ¹¹ + 2 ¹⁰ + 2 ⁹ + 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ = 1111111000000 ₂ .

Шундай қилиб, ҳар бир жуфт мукаммал сон шундай кўринишга эга.

Ҳар бир жуфт мукаммал сон шунингдек амалий сондир.

Тоқ мукаммал сонлар

Турли натижалар олинган бўлса-да, тоқ мукаммал рақамлар мавжудлиги номаълум. 1496-йилда Жак Лефевр Эвклид қоидаси барча мукаммал сонларни беради, деб таъкидлади, бу эса тоқ мукаммал сонлар мавжуд эмаслигини билдиради. Эйлер шундай деди: „Бўлмаса … ҳар қандай тоқ мукаммал рақамлар бор — бу энг қийин савол.“ Яқинда Карл Померанс эвристик аргументни тақдим этди, бу ҳақиқатан ҳам тоқ мукаммал сон мавжуд бўлмаслиги керак. Барча мукаммал рақамлар ҳам Руданинг гармоник рақамлари бўлиб, 1 дан бошқа ҳеч қандай тоқ маъдан гармоник рақамлари йўқ деб тахмин қилинган. Тоқ мукаммал сонлар ҳақида исботланган кўпгина хусусиятлар Декарт рақамларига ҳам тегишли ва Пейс Нилсен бу рақамларни этарли даражада ўрганиш тоқ мукаммал рақамлар мавжуд эмаслигини исботлашга олиб келиши мумкинлигини айтди.

Ҳар қандай тоқ мукаммал Н сони қуйидаги шартларга жавоб бериши керак:

• Н > 10 ¹⁵⁰⁰ .
• Н Н ≡ 1 (мод 12) ёки Н ≡ 117 (мод 468) ёки Н ≡ 81 (мод 324) шаклида.
• Н шаклга эга

${\дисплайстйле Н=қ^{\алпҳа} п_1^{2э_1} \cдоц п_к^{2э_к},}$

қаерда:

• қ , п ₁ , …, п _к — алоҳида тоқ туб сонлар (Эйлер).
• қ ≡ а ≡ 1 (мод 4) (Эулер).
• Н нинг энг кичик туб омили кўпи билан ${\дисплайстйле \фраc{к-1}{2}.}$
• Ёки қ ^а > 10 ⁶² ёки п _ж ^{2 э _ж} > 10 ⁶² баъзи ж учун.
• ${\дисплайстйле Н < 2^{(4^{к+1}-2^{к+1})}}$
• ${\дисплайстйле \алпҳа + 2э_1 + 2э_2 + 2э_3 + \cдоц + 2э_к \геқ \фраc{66к-191}{25}}$ .
• ${\дисплайстйле қп_1п_2п_3 \cдоц п_к < 2Н^{\фраc{17}{26}}}$ .

• Н нинг энг катта туб омили 10 ⁸ дан катта ва ундан кичик ${\дисплайстйле \сқрт[3]{3Н}.}$
• Иккинчи энг катта туб омил 10 ⁴ дан катта, ва ундан кичик ${\дисплайстйле \сқрт[5]{2Н}}$ .
• Учинчи энг катта асосий омил 100 дан катта, ва ундан кичик ${\дисплайстйле \сқрт[6]{2Н}.}$
• Н камида 101 та туб омил ва камида 10 та алоҳида туб омилга эга. Агар 3 Н нинг омилларидан бири бўлмаса, у ҳолда Н камида 12 та алоҳида туб омилга эга.

Фойдаланилган адабиётлар