Ziyosfera

Oltin spiral

Олтин спираллар ўзига ўхшашдир . Шакл катталаштирилганда чексиз такрорланади.

Геометрияда олтин спирал логарифмик спирал бўлиб, унинг ўсиш омили φ, олтин нисбати.ҳисобланади. Яъни, олтин спирал ҳар чорак бурилиш учун φ коэффициэнтига кенгайтирилади (ёки келиб чиқишидан узоқроқ).

Олтин спиралнинг ўлчамлари

Тахминий ва ҳақиқий олтин спираллар: яшил спирал ҳар бир квадратнинг ички қисмига тегувчи чорак доиралардан ясалган, қизил спирал эса олтин спирал, логарифмик спиралнинг махсус тури бўлади. Бир-бирига ёпишган қисмлар сариқ рангда кўринади. Каттароқ квадратнинг ён томонининг кейинги кичик квадратга узунлиги олтин нисбатдиа бўлади. Ён узунлиги 1 бўлган квадрат учун кейинги кичикроқ квадрат 1/φ кенглигида бўлади. Кейинги кенглик 1/φ², кейин 1/φ³ ва ҳоказо.

Олтин спиралга яқин бўлган, аммо тўлиқ тенг келмайдиган бир нечта таққосланадиган спираллар мавжуддир[1].

Мисол учун, олтин спирални биринчи навбатда унинг узунлиги ва кенглиги ўртасидаги нисбат олтин нисбат бўлган тўртбурчакдан бошлаб ташкил топган. Кейин бу тўртбурчакни квадратга ва шунга ўхшаш тўртбурчакга бўлиш мумкин ва кейин бу тўртбурчакни худди шу тарзда ажратиш мумкин. Ушбу жараённи ихтиёрий миқдордаги қадамлар учун давом эттиргандан сўнг, натижада тўртбурчаклар квадратларга деярли тўлиқ бўлинади. Ушбу квадратларнинг бурчакларини чорак доиралар билан боғлаш мумкин. Натижада, ҳақиқий логарифмик спирал бўлмаса ҳам, олтин спиралга яқинроқ бўлади шакл бўлади[1].

Яна бир тахминий Фибоначчи спирали бўлиб, у бироз бошқача тарзда қурилган бўлиб фибоначчи спирали 2 квадратга бўлинган тўртбурчакдан бошланади. Ҳар бир қадамда тўртбурчакка тўртбурчакнинг энг узун томони узунлигига тенг квадрат қўшилади. Фибоначчи рақамлари чексизликка яқинлашганда, кетма-кет Фибоначчи рақамлари орасидаги нисбат олтин нисбатга яқинлашганлиги сабабли, бу спирал ҳам олдинги тахминга ўхшаш бўлиб, расмда кўрсатилганидек, кўпроқ квадрат қўшилади.

Табиатдаги спираллар

Табиатда тахминий логарифмик спираллар пайдо бўлиши мумкин, масалан, спирал галактикаларнинг қўллари[2] — олтин спираллар бу логарифмик спиралларнинг алоҳида ҳолатларидан биридир, гарчи бу ҳолатнинг пайдо бўлишига нисбатан умумий тенденция мавжудлиги ҳақида ҳеч қандай далил йўқ бўлса ҳам. Филлотаксис олтин нисбат билан боғлиқ, чунки у кетма-кет барглар ёки гулбаргларнинг олтин бурчак билан ажратилишини ўз ичига олади; бу шунингдек, спиралларнинг пайдо бўлишига олиб келади, гарчи уларнинг ҳеч бири (мажбурий) олтин спирал бўлмайди. Баъзида айтилишича, спирал галактикалар ва наутилус қобиқлари олтин спирал шаклида кенгаяди ва шунинг учун ҳам φ, ҳам Фибоначчи қаторлари билан боғлиқ бўлади. Дарҳақиқат, кўплаб моллюскалар, шу жумладан наутилус қобиғи логарифмик спирал ўсишини намойиш этади, аммо турли бурчакларда одатда олтин спиралникидан аниқ фарқ қилади[3][4][5]. Бу нақш организмнинг шаклини ўзгартирмасдан ўсишига имкон беради. Спирал галактикалар кўпинча логарифмик спираллар ёки гиперболик спираллар сифатида моделлаштирилган бўлса-да, уларнинг қадам бурчаклари логарифмик спираллардан фарқли ўлароқ (бу бурчак ўзгармайди) галактика марказидаги масофага қараб ўзгаради. Уларни моделлаштириш учун бошқа математик спираллардан фойдаланилади[6].

Математика

Фибоначчи спирали Фибоначчи кетма-кетлигидан олинган квадратларга ёзилган чорак доира ёйлари ёрдамида олтин спиралга яқинлашади.

Бошланғич радиуси 1 бўлган олтин спирал қутб координаталари нуқталарининг жойлашувидир (р,θ){\дисплайстйле (р,\тҳета)} қониқарлидирр=φ2θ/π{\дисплайстйле р=\варпҳи^{2\тҳета/\пи}}Олтин спирал учун қутб тенгламаси бошқа логарифмик спираллар билан бир хил, лекин ўсиш омилининг б нинг махсус қиймати қуйидагилар[7]: р=аэбθ{\дисплайстйле р = аэ^{б\тҳета}}ёкиθ=1блн⁡(р/а),{\дисплайстйле \тҳета = \фраc{1}{б} \лн(р/а),}э — натурал логарифмларнинг асоси, а — спиралнинг бошланғич радиуси ва б шундайки, θ тўғри бурчак бўлганда (ҳар икки йўналишда чорак бурилиш) қуйидагиларга эга бўламиз:эбθригҳт=φ.{\дисплайстйле э^{б\тҳета_\матҳрм{ригҳт}} = \варпҳи.}Шунинг учун б томонидан берилганб=лн⁡φθригҳт.{\дисплайстйле б = {\лн{\варпҳи} \овер \тҳета_\матҳрм{ригҳт}}.}

Лукас спирали олтин спиралга унинг шартлари катта бўлганда яқинлашади, лекин улар кичик бўлганда эмас. 2 дан 76 гача бўлган 10 та атама киритилган.

б нинг рақамли қиймати тўғри бурчак 90 градус ёки каби ўлчанганига боғлиқ π2{\дисплайстйле \техцтйле\фраc{\пи}{2}} радянлар; ва бурчак иккала йўналишда бўлиши мумкинлиги сабабли, б нинг мутлақ қиймати учун формулани ёзиш энг осонусулдир (яъни, б бу қийматнинг манфий ҳам бўлиши мумкин):|б|=лн⁡φ90≐0.0053468{\дисплайстйле |б| = {\лн{\варпҳи} \овер 90} \дотеқ0.0053468}θ учун даражаларда ёки|б|=лн⁡φπ/2≐0.3063489{\дисплайстйле |б| = {\лн{\варпҳи} \овер \пи/2} \дотеқ0.3063489}θ учун радянларда.

Логарифмик ва олтин спиралнинг муқобил формулалари[8].р=аcθ{\дисплайстйле р =аc^{\тҳета}}Бу ерда c доимийси орқали берилганc=эб{\дисплайстйле c =э^б}бу олтин спирал учун c қийматларини берадиc=φ190≐1.0053611{\дисплайстйле c = \варпҳи ^ \фраc{1}{90}\дотеқ1.0053611}агар θ даражаларда ўлчанадиган бўлса ва уc=φ2π≐1.358456{\дисплайстйле c = \варпҳи ^ \фраc{2}{\пи} \дотеқ1.358456}агар θ радианларда ўлчанади.

Логарифмик спиралларга нисбатан олтин спирал ўзига хос хусусиятга эга бўлиб, θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π аргументларига тегишли тўртта коллинеар спирал нуқта А, Б, C, Д учун C нуқтаси проектив гармоник ҳисобланади. Б нинг А, Д га нисбатан конжугати, яъни ўзаро нисбати (А, Д ; Б, C) ягона қиймат −1 га эга бўлади. Олтин спирал (А, Д ; Б, C) = (А, Д ; C, Б) бўлган ягона логарифмик спирал ҳисобланади.

Нишаб бурчаги ва секторининг таърифи

Логарифмик спирал учун қутб тенгламасида:р=аэбθ{\дисплайстйле р =аэ^{б\тҳета}}б параметри қутб қиялик α{\дисплайстйле \алпҳа} бурчаги билан боғлиқ :тан⁡α=б{\дисплайстйле \тан\алпҳа=б}Олтин спиралда, б{\дисплайстйле б} доимий ва тенг |б|=лн⁡φπ/2{\дисплайстйле |б| = {\лн{\варпҳи} \овер \пи/2}} (юқорида аниқланганидек, радианларда θ учун), қиялик бурчаги α{\дисплайстйле \алпҳа} ҳисобланадиα=арcтан⁡(|б|)=арcтан⁡(лн⁡φπ/2),{\дисплайстйле \алпҳа = \арcтан(|б|) = \арcтан\лефт({\лн{\варпҳи}\овер\пи/2}\ригҳт),}шунинг учунα≐17.03239113{\дисплайстйле \алпҳа \дотеқ17.03239113}даражаларда ўлчанган бўлса, ёкиα≐0.2972713047{\дисплайстйле \алпҳа \дотеқ0.2972713047}агар радианларда ўлчанган бўлса у ҳолда:

Унинг тўлдирувчи бурчагиβ=π/2—α≐1.273525022{\дисплайстйле \бета = \пи/2 — \алпҳа \дотеқ1.273525022}радианларда ёкиβ=90—α≐73{\дисплайстйле \бета = 90 — \алпҳа \дотеқ73}даражаларда, олтин спирал қўлларининг спирал марказидан чизиқ билан ҳосил қилган бурчаги бўлади.

Яна қаранг

Манбалар

  1. ↑ 1,0 1,1 Мадден, Чарлес Б.. Фиб анд Пҳи ин Мусиc: Тҳе Голден Пропортион Мусиcал Форм. Ҳигҳ Арт Пресс [1999], 2005 — 14–16-бет. ИСБН 978-0967172767. 
  2. ↑ Мидҳат Газале. Гномон: Фром Пҳараоҳс то Фраcталс. Принcетон Университй Пресс, 1999 — 3-бет. ИСБН 9780691005140. 
  3. ↑ Давид Дарлинг. Тҳе Универсал Боок оф Матҳематиcс: Фром Абраcадабра то Зено'с Парадохес. Жоҳн Wилей & Сонс, 2004 — 188-бет. ИСБН 9780471270478. 
  4. ↑ Девлин. „Тҳе мйтҳ тҳат wилл нот го аwай“ (2007-йил 1-май). 2020-йил 12-ноябрда асл нусхадан архивланган. Қаралди: 2022-йил 26-ноябр.
  5. ↑ Петерсон. „Сеа Шелл Спиралс“. Сcиэнcе Неwс. Соcиэтй фор Сcиэнcе & тҳе Публиc (2005-йил 1-апрел). 2012-йил 3-октябрда асл нусхадан архивланган. Қаралди: 2022-йил 26-ноябр.
  6. ↑ Савченко, С. С.; Решетников, В. П. (Септембер 2013). "Питч англе вариатионс ин спирал галахиэс". Монтҳлй Нотиcес оф тҳе Роял Астрономиcал Соcиэтй 436 (2): 1074–1083. дои:10.1093/мнрас/стт1627. 
  7. ↑ Прия Ҳеменwай. Дивине Пропортион: Φ Пҳи ин Арт, Натуре, анд Сcиэнcе. Стерлинг Публишинг Cо, 2005 — 127-129-бет. ИСБН 1-4027-3522-7. 
  8. ↑ Клаус Маинзер. Сймметриэс оф Натуре: А Ҳандбоок фор Пҳилосопҳй оф Натуре анд Сcиэнcе. Wалтер де Груйтер, 1996 — 45, 199–200-бет. ИСБН 3-11-012990-6. 

Андоза:Металлиc ратиосАндоза:Спиралс

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Oltin_spiral" dan olindi