Parallel oʻqlar teoremasi

Ҳуйгенс–Стеинер(Гюйгенс – Штайнер) теоремаси деб ҳам аталадиган параллел ўқ теоремаси ёки худди Кристиан Гюйгенс ва Якоб Штайнер номи билан аталган Штайнер теоремаси ^[1] қаттиқ жисмнинг инерция моментини ёки иккинчи моментини аниқлаш учун ишлатилиши мумкин. Бу теорема жисмнинг оғирлик маркази ва ўқлар орасидаги перпендикуляр масофа орқали параллел ўқга нисбатан жисмнинг инерсия моментини ҳисобга олган ҳолда ҳар қандай ўқ учун ўринли

Инерсиянинг масса моменти

Жисмнинг ўқ атрофидаги масса инерсия моментини масса маркази орқали параллел ўқ атрофидаги масса моментидан аниқлаш мумкин.

Фараз қилайлик, массаси $м$ бўлган жисм тананинг масса марказидан ўтувчи $з$ ўқи атрофида айлантирилди. Тананинг бу ўққа нисбатан $И cм$ инерсия моменти бор. Параллел ўқ теоремаси шуни кўрсатадики, агар жисм ўрнига биринчи $з'$ параллел бўлган ва ундан $д$ масофага силжиган янги ўқ атрофида айланса, у ҳолда янги ўққа нисбатан инерсия моменти $И$ бўлади. томонидан $И cм$ билан боғлиқ

{\дисплайстйле И = И_\матҳрм{cм} + мд^2.}

Аниқки, $д$ масофа $з$ ва $з'$ ўқлари орасидаги перпендикуляр масофа.

Параллел ўқ теоремаси чўзиш қоидаси ва перпендикуляр ўқ теоремаси билан турли шакллар учун инерсия моментларини топиш учун қўлланиши мумкин.

Параллел ўқлар майдон инерция моменти учун ҳукмронлик қилади

Чиқариш

Биз умумийликни йўқотмаган ҳолда, Декарт координата тизимида ўқлар орасидаги перпендикуляр масофа х ўқи бўйлаб, масса маркази эса координата бошида жойлашган деб тахмин қилишимиз мумкин. з — ўқига нисбатан инерсия моменти кейин

{\дисплайстйле И_\матҳрм{cм} = \инт (х^2 + й^2) \, дм.}

Х ўқи бўйлаб масса марказидан $Д$ масофада жойлашган $з'$ ўқига нисбатан инерсия моменти.

{\дисплайстйле И = \инт \лефт[(х - Д)^2 + й^2\ригҳт] \, дм.}

Қавслар очиб чиқамиз,

{\дисплайстйле И = \инт (х^2 + й^2) \, дм + Д^2 \инт дм - 2Д\инт х\, дм.}

Биринчи ҳади $И cм$ , иккинчи ҳади эса $МД 2$ айланади. Якуний ҳадда интеграл масса марказининг х координатасига кўпайтирилади – Бу нолга тенг, чунки масса маркази бошланғичда жойлашган. Шундай қилиб, тенглама қуйидагича бўлади:

{\дисплайстйле И = И_\матҳрм{cм} + МД^2.}

Тенсорларни умумлаштириш

Параллел экса теоремаси инерция тенсорини ўз ичига олган ҳисоб-китобларга умумлаштирилиши мумкин^[2]. $И иж$ жисмнинг масса марказида ҳисобланган инерсия тензорини белгилайлик. Кейин янги нуқтага нисбатан ҳисобланган $Ж иж$ инерция тенсори

{\дисплайстйле Ж_{иж}=И_{иж} + м\лефт(|\матҳбф{Р}|^2 \делта_{иж}-Р_и Р_ж\ригҳт),}

бу ерда ${\дисплайстйле \матҳбф{Р}=Р_1\матҳбф{\ҳат{х}}+Р_2\матҳбф{\ҳат{й}}+Р_3\матҳбф{\ҳат{з}}\!}$ — масса марказидан янги нуқтага силжиш вектори, $δ иж$ — Кронекер делтаси.

Диагонал элементлар учун ( $и = ж$ бўлганда) айланиш ўқига перпендикуляр силжишлар параллел ўқ теоремасининг юқоридаги соддалаштирилган версиясига олиб келади.

Параллел ўқ теоремасининг умумлаштирилган версиясини координаталарсиз ёзувлар шаклида қуйидагича ифодалаш мумкин.

{\дисплайстйле \матҳбф{Ж} = \матҳбф{И} + м \лефт[\лефт(\матҳбф{Р} \cдот \матҳбф{Р}\ригҳт) \матҳбф{Э}_{3} - \матҳбф{Р} \отимес \матҳбф{Р} \ригҳт],}

бу ерда Э₃ — 3 × 3 идентификация матрицаси ва ${\дисплайстйле \отимес}$ ташқи манба ҳисобланади.

Параллел ўқ теоремасининг кейинги умумлаштирилиши х, й ва з ўқларининг мос ёзувлар тўпламига параллел бўлган ҳар қандай ортогонал ўқлар тўпламига нисбатан инерсия тензорини беради, улар масса марказидан ўтади ёки ўтмайди^[2].

Майдоннинг иккинчи моменти

Параллел ўқлар қоидаси Д текислик минтақаси учун майдоннинг иккинчи моментига (соҳа инерсия моменти) ҳам қўлланади:

{\дисплайстйле И_з = И_х + Ар^2,}

Бу ерда $И з$ — параллел ўқга нисбатан Д нинг инерсия майдони моменти, $И х$ — Д нинг марказга нисбатан инерсия майдони, $А$ — текислик минтақасининг майдони Д, $р$ — янги ўқдан масофа. ўқи $з$ текислик минтақасининг марказий қисмига Д . Д нинг маркази бир хил зичликка эга бўлган бир хил шаклдаги физик пластинканинг оғирлик марказига тўғри келади.

Планар динамика учун қутб инерсия моменти

Текисликка параллел ҳаракатланиши чекланган қаттиқ жисмнинг масса хоссалари унинг масса маркази Р=(х,й) билан аниқланади. Бу текисликда ва унинг текисликка перпендикуляр бўлган Р орқали ўқ атрофидаги қутб инерсия моменти И_Р. Параллел ўқ теоремаси ихтиёрий С нуқта атрофидаги инерсия моменти И_С ва масса маркази Р га нисбатан И_Р инерсия моменти ўртасидаги қулай муносабатни таъминлайди.

Эслатиб ўтамиз, Р масса маркази хоссага эга

{\дисплайстйле \инт_В \рҳо(\матҳбф{р}) (\матҳбф{р}-\матҳбф{Р}) \, дВ=0,}

бу ерда р жисмнинг В ҳажмида интеграллашган. Планар ҳаракатланаётган жисмнинг қутб инерсия моментини ҳар қандай мос ёзувлар нуқтаси С га нисбатан ҳисоблаш мумкин,

{\дисплайстйле И_С = \инт_В \рҳо(\матҳбф{р}) (\матҳбф{р}-\матҳбф{С})\cдот (\матҳбф{р}-\матҳбф{С}) \, дВ,}

Бу ерда С доимий ва р эса В ҳажм бўйича интеграллашган.

И_Р инерсия моменти бўйича И_С инерсия моментини олиш учун С дан Р масса марказига д векторни киритамиз,

{\дисплайстйле \бегин{алигн} И_С & = \инт_В \рҳо(\матҳбф{р}) (\матҳбф{р}-\матҳбф{Р}+\матҳбф{д})\cдот (\матҳбф{р}-\матҳбф{Р}+\матҳбф{д}) \, дВ \\ & = \инт_В \рҳо(\матҳбф{р}) (\матҳбф{р}-\матҳбф{Р})\cдот (\матҳбф{р}-\матҳбф{Р})дВ + 2\матҳбф{д}\cдот\лефт(\инт_В \рҳо(\матҳбф{р}) (\матҳбф{р}-\матҳбф{Р}) \, дВ\ригҳт) + \лефт(\инт_В \рҳо(\матҳбф{р}) \, дВ\ригҳт)\матҳбф{д}\cдот\матҳбф{д}. \энд{алигн}}

Биринчи аъзо — инерсия моменти И_Р, иккинчи аъзо — масса марказининг таърифи бўйича нолга тенг, охирги белги д — жисмнинг умумий массаси векторнинг квадрат катталигига кўра. Шундай қилиб,

{\дисплайстйле И_С = И_Р + Мд^2, \,}

Бу параллел ўқ теоремаси деб номланади^[3].

Инерция моменти матрицаси

Қаттиқ зарралар тизимининг инерция матрицаси мос ёзувлар нуқтасини танлашга боғлиқ^[4]. Р масса марказига нисбатан инерция матрицаси ва бошқа С нуқтага нисбатан инерсия матрицаси ўртасида фойдали муносабат мавжуд. Бу муносабат параллел ўқ теоремаси деб аталади.

томонидан берилган мос ёзувлар нуқтаси С га нисбатан ўлчанган қаттиқ заррачалар тизими учун олинган инерция матрицаси [И_С] ни кўриб чиқайлик.

{\дисплайстйле [И_С] = -\сум_{и=1}^н м_и[р_и-С][р_и-С],}

бу ерда р _и заррача П_и, и=1,…,н ўрнини белгилайди. Эслатиб ўтамиз, [р_и−С] — ўзаро кўпайтмани бажарадиган эгри-симметрик матрица,

{\дисплайстйле [р_и -С]\матҳбф{й} = (\матҳбф{р}_и - \матҳбф{С})\тимес \матҳбф{й},}

ихтиёрий й вектор учун.

У ҳолда, Р қаттиқ системанинг масса маркази бўлсин

{\дисплайстйле \матҳбф{Р} = (\матҳбф{Р}-\матҳбф{С}) + \матҳбф{С} = \матҳбф{д} + \матҳбф{С},}

Бу ерда д - С мос ёзувлар нуқтасидан Р масса марказига вектор. Инерция матрицасини ҳисоблаш учун ушбу тенгламадан фойдаланиб,

{\дисплайстйле [И_С] = -\сум_{и=1}^н м_и[р_и- Р + д][р_и - Р+ д].}

буни олиш учун ушбу тенгламани очиб чиқамиз

{\дисплайстйле [И_С] = \лефт(-\сум_{и=1}^н м_и [р_и - Р][р_и - Р]\ригҳт) + \лефт(-\сум_{и=1}^н м_и[р_и - Р]\ригҳт)[д] + [д]\лефт(-\сум_{и=1}^н м_и[р_и - Р]\ригҳт) + \лефт(-\сум_{и=1}^н м_и\ригҳт)[д][д].}

Биринчи аъзо — масса марказига нисбатан инерция матрицаси [И_Р]. Иккинчи ва учинчи шартлар Р масса марказининг таърифи бўйича нолга тенг,

{\дисплайстйле \сум_{и=1}^н м_и(\матҳбф{р}_и -\матҳбф{Р}) = 0.}

Ва охирги аъзо тизимнинг умумий массаси д дан тузилган қийшайган-симметрик матрица [д] квадратига кўпайтирилади.

Натижада параллел ўқ теоремаси,

{\дисплайстйле [И_С] = [И_Р] - М[д]^2,}

Бу ерда д - С мос ёзувлар нуқтасидан Р масса марказига вектор^[4].

Эгри-симметрик матрица учун идентификациялар

Параллел ўқ теоремасининг формулаларини эгри-симметрик матрицалар ва тензор формуласидан фойдаланган ҳолда солиштириш учун қуйидаги идентификациялар фойдалидир.

[Р] позиция вектори Р=(х,й,з) билан боғланган қийшайган симметрик матрица бўлсин, кейин инерция матрицасидаги маҳсулотга айланади

{\дисплайстйле -[Р][Р]= -\бегин{бматрих} 0 & -з & й \\ з & 0 & -х \\ -й & х & 0 \энд{бматрих}^2 = \бегин{бматрих} й^2+з^2 & -хй & -хз \\ -й х & х^2+з^2 & -йз \\ -зх & -зй & х^2+й^2 \энд{бматрих}.}

Ушбу маҳсулот ташқи маҳсулот [РР^Т] томонидан ҳосил қилинган матрица ёрдамида идентификациядан фойдаланиб ҳисобланиши мумкин.

{\дисплайстйле -[Р]^2 = |\матҳбф{Р}|^2[Э_3] -[\матҳбф{Р}\матҳбф{Р}^Т]= \бегин{бматрих} х^2+й^2+з^2 & 0 & 0 \\ 0& х^2+й^2+з^2 & 0 \\0& 0& х^2+й^2+з^2 \энд{бматрих}- \бегин{бматрих}х^2 & хй & хз \\ йх & й^2 & йз \\ зх & зй & з^2\энд{бматрих},}

бу ерда [Э₃] — 3×3 идентификация матрицаси.

Шуни ҳам эътиборга олинг

{\дисплайстйле |\матҳбф{Р}|^2 = \матҳбф{Р}\cдот\матҳбф{Р} =\операторнаме{тр}[\матҳбф{Р}\матҳбф{Р}^Т],}

Бу ерда тр ташқи манба матрицасининг диагонал элементлари йиғиндисини билдиради, унинг изи деб номланади.

Манбалар

↑ Артҳур Эрич Ҳаас (1928), Интродуcтион то тҳеоретиcал пҳйсиcс
↑ ^2,0 ^2,1 Абдулгҳанй, А. Р. (Оcтобер 2017), „Генерализатион оф параллел ахис тҳеорем фор ротатионал инертиа“, Америcан Жоурнал оф Пҳйсиcс, 85-жилд, № 10, 791–795-бет, дои:10.1119/1.4994835
↑ Паул, Буртон (1979), Кинематиcс анд Дйнамиcс оф Планар Мачинерй, Прентиcе Ҳалл, ИСБН 978-0-13-516062-6
↑ ^4,0 ^4,1 Кане, Т. Р.; Левинсон, Д. А. (2005), Дйнамиcс, Тҳеорй анд Апплиcатионс, МcГраw-Ҳилл, Неw Ёрк

[1] Артҳур Эрич Ҳаас (1928), Интродуcтион то тҳеоретиcал пҳйсиcс

[Abdulghany-2] 2,0 ^2,1 Абдулгҳанй, А. Р. (Оcтобер 2017), „Генерализатион оф параллел ахис тҳеорем фор ротатионал инертиа“, Америcан Жоурнал оф Пҳйсиcс, 85-жилд, № 10, 791–795-бет, дои:10.1119/1.4994835

[3] Паул, Буртон (1979), Кинематиcс анд Дйнамиcс оф Планар Мачинерй, Прентиcе Ҳалл, ИСБН 978-0-13-516062-6

[Kane-4] 4,0 ^4,1 Кане, Т. Р.; Левинсон, Д. А. (2005), Дйнамиcс, Тҳеорй анд Апплиcатионс, МcГраw-Ҳилл, Неw Ёрк

[1]

[2]

[3]

[4]