Perpendikulyar oʻqlar teoremasi

Perpendikulyar oʻq teoremasi (yoki tekislik figurasi teoremasi) tekis qatlamning (yaʼni 2-D jismning) qatlam tekisligiga perpendikulyar oʻqga nisbatan inersiya momenti qatlamning inersiya momentlari yigʻindisiga teng ekanligini aytadi. bir-biriga toʻgʻri burchak ostida joylashgan ikkita oʻq haqida, oʻz tekisligida perpendikulyar oʻq oʻtadigan nuqtada bir-birini kesib oʻtadi.

Perpendikulyar oʻqlarni aniqlang $x$ , $y$ , va $z$ (kelib chiqishida uchrashadi $O$ ) jismning ichida yotishi uchun $xy$ samolyot va $z$ oʻqi tananing tekisligiga perpendikulyar. I_x, I_y va I_z mos ravishda x, y, z oʻqlariga nisbatan inersiya momentlari boʻlsin. Keyin perpendikulyar oʻq teoremasi shuni koʻrsatadiki^[1],

I_z = I_x + I_y

Ushbu qoida parallel oʻq teoremasi va choʻzish qoidasi bilan turli shakllar uchun qutb inersiya momentlarini topish uchun qoʻllanishi mumkin.

Agar planar obyekt shunday aylanish simmetriyasiga ega boʻlsa $I_x$ va $I_y$ teng boʻlsa^[2], perpendikulyar oʻqlar teoremasi foydali munosabatni beradi:

I_z = 2I_x = 2I_y

Chiqarish

Dekart koordinatalarida ishlaganda tekislik jismining inersiya momenti haqida $z$ oʻqi tomonidan berilgan^[3]:

I_{z} = \int (x^2 + y^2) \,dm = \int x^2\,dm + \int y^2\,dm = I_{y} + I_{x}

Samolyotda, $z=0$ , shuning uchun bu ikki atama ga nisbatan inersiya momentlaridir $x$ va $y$ mos ravishda oʻqlar, perpendikulyar oʻq teoremasini beradi. Bu teoremaning teskarisi ham xuddi shunday olingan.

Shu esta tutilsinki $\int x^2\,dm = I_{y} \ne I_{x}$ chunki ichida $\int r^2\,dm$ , $r$ aylanish oʻqidan masofani oʻlchaydi, shuning uchun y oʻqining aylanishi uchun nuqtaning aylanish oʻqidan ogʻish masofasi uning x koordinatasiga teng.

Manbalar

↑ Paul A. Tipler „Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis“, . Physics. Worth Publishers Inc., 1976. ISBN 0-87901-041-X.
↑ Obregon, Joaquin. Mechanical Simmetry. Author House, 2012. ISBN 978-1-4772-3372-6.
↑ K. F. Riley, M. P. Hobson & S. J. Bence „Ch. 6: Multiple Integrals“, . Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press, 2006. ISBN 978-0-521-67971-8.

[1] Paul A. Tipler „Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis“, . Physics. Worth Publishers Inc., 1976. ISBN 0-87901-041-X.

[2] Obregon, Joaquin. Mechanical Simmetry. Author House, 2012. ISBN 978-1-4772-3372-6.

[3] K. F. Riley, M. P. Hobson & S. J. Bence „Ch. 6: Multiple Integrals“, . Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press, 2006. ISBN 978-0-521-67971-8.

[1]

[2]

[3]