Proyektiv geometriya

Проектив геометрия - геометриянинг проектив алмаштиришлар натижасида шаклларнинг ўзгармайдиган хоссаларини ўрганувчи бўлими. Бундай хоссалар проектив хоссалар дейилади. Проектив алмаштиришлар тўғри чизиқни тўғри чизиққа ўтказувчи алмаштиришлардан иборат. Масалан, ўхшаш алмаштириш, перспектива. Бир тўғри чизиқда ётувчи нуқталар проектив алмаштириш натижасида яна бир тўғри чизиқда ётувчи нуқталарга, иккинчи тартибли чизиқлар иккинчи тартибли чизиқларга ўтади. Аммо айлана, эллипс, парабола ёки гиперболага ўтиши ҳам мумкин. Бир тўғри чизиқда ётувчи А, В, С, Д нуқталарнинг қўш нисбати (АБCД) проектив алмаштиришда ўзгармайди. П. г.да қулайлик учун чексиз узоклашган элементлар қўлланади. Текисликда ётмайдиган (хосмас) элементлар чексиз узоқлашган нуқталар ва чексиз узоқлашган тўғри чизиқдан иборат. Евклид геометриясинпнг параллел тўғри чизиқлари чексиз узоқлашган нуқтада кесишади, деб олинади. Бунда турли йўналишдаги параллел тўғри чизиқлар турли чексиз узоқ нуқталарда кесишиши керак. Чексиз узоқлашган тўғри чизиқ барча чексиз узоқлашган нуқталар тўплами бўлади. Натижада "турли икки тўғри чизиқ битта нуқтада кесишади" деган аксиома ўринли бўлади.

П. г. аксиоматик асосда қурилиши ҳам мумкин. Унда иккилик принсипи ўринли бўлади. Евклид фазосини хосмас элементлар (чексиз узоқлашган нуқта, тўғри чизиқ, текислик) билан тўлдириб, уч ва ундан ортиқ ўлчовли проектив фазоларни ҳосил қилиш мумкин. П. г. га биринчи марта ХВИИ асрда франсуз математиклари Ж. Дезарг ва бошқа Паскаллар асос солган. Унинг кейинги ривожланишига эса Г. Монж катта ҳисса қўшган. Франсуз математиклари Ж. Понселе, Ж. Брианшонлар П.г.ни мустақил фан сифатида баён этишган. П.г.нинг ривожланишида Швейсария математиги Я. Штейнер, франсуз математиги М. Шал, немис математиги К. Штаудт ва бошқаларнинг хизматлари катта.

П.г. математика ва табиацҳуносликнинг турли соҳаларида қўлланади.

Адабиёт

• Глаголев Н. А., Проективная геометрия, 2 изд, М., 1963; Бакелман Н. Я., Висшая геометрия, М., 1967; Ефимов Н. В., Висшая геометрия, 5 изд., М., 1971.