Skleronom

Механик тизим склероном ҳисобланади, агар чекловлар тенгламалари аниқ ўзгарувчи сифатида вақтни ўз ичига олмаса ва чекловлар тенгламасини умумлаштирилган координаталар билан тасвирлаш мумкин бўлса. Бундай чекловлар склерономик чекловлар деб аталади. Склерономнинг қарама-қарши томони реономдир.

Илова

3 ўлчамли фазода массага эга заррача ${\дисплайстйле м\,\!}$, тезлик ${\дисплайстйле \матҳбф{в}\,\!}$ кинетик энергияга эга ${\дисплайстйле Т\,\!}$

${\дисплайстйле Т =\фраc{1}{2}м в^2 \,\!.}$

Тезлик позициянинг ҳосиласидир ${\дисплайстйле р\,\!}$ вақтга нисбатан ${\дисплайстйле т\,\!}$ . Бир нечта ўзгарувчилар учун занжир қоидасидан фойдаланинг:

${\дисплайстйле \матҳбф{в}=\фраc{д\матҳбф{р}}{дт}=\сум_и\ \фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал қ_и}\дот{қ}_и+\фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал т}\,\!.}$

бу ерда ${\дисплайстйле қ_и\,\!}$ умумлаштирилган координаталардир .

Шунинг учун,

${\дисплайстйле Т =\фраc{1}{2}м \лефт(\сум_и\ \фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал қ_и}\дот{қ}_и+\фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал т}\ригҳт)^2\,\!.}$

Шартларни диққат билан қайта тартибга солишдан қуйидаги келиб чиқади,

${\дисплайстйле Т =Т_0+Т_1+Т_2\,\!:}$

${\дисплайстйле Т_0=\фраc{1}{2}м\лефт(\фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал т}\ригҳт)^2\,\!,}$

${\дисплайстйле Т_1=\сум_и\ м\фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал т}\cдот \фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал қ_и}\дот{қ}_и\,\!,}$

${\дисплайстйле Т_2=\сум_{и,ж}\ \фраc{1}{2}м\фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал қ_и}\cдот \фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал қ_ж}\дот{қ}_и\дот{қ}_ж\,\!,}$

бу ерда ${\дисплайстйле Т_0\,\!}$, ${\дисплайстйле Т_1\,\!}$, ${\дисплайстйле Т_2\,\!}$ умумлаштирилган тезликларда мос равишда 0, 1 ва 2 даражали бир жинсли функсиялардир . Агар бу тизим склерономик бўлса, у ҳолда позиция аниқ вақтга боғлиқ эмас:

${\дисплайстйле \фраc{\партиал \матҳбф{р}}{\партиал т}=0\,\!.}$

Шунинг учун, фақат муддат ${\дисплайстйле Т_2\,\!}$ йўқолмайди:

${\дисплайстйле Т = Т_2\,\!.}$

Кинетик энергия умумлаштирилган тезликларда 2-даражали бир хил функсиядир.

Мисол: маятник

Оддий маятник

Ўнг томонда кўрсатилганидек, оддий маятник оғирлик ва ипдан ташкил топган тизимдир. Ип юқори учида бурилишга, пастки учида эса оғирликга бириктирилади. Узайиб бўлмайдиган бўлиб, ипнинг узунлиги доимийдир. Шунинг учун бу тизим склерономдир; у склерономик чекловга бўйсунади:

${\дисплайстйле \сқрт{х^2+й^2} - Л=0\,\!,}$

бу ерда ${\дисплайстйле (х,й)\,\!}$ оғирликнинг ҳолати ва ${\дисплайстйле Л\,\!}$ сатр узунлиги.

Тебраниш нуқтасига эга оддий маятник

Мураккаброқ мисол келтиринг. Ўнгдаги кейинги расмга қаранг: Ипнинг юқори учи оддий гармоник ҳаракатга эга бўлган айланиш нуқтасига бириктирилган деб фараз қилинг.

${\дисплайстйле х_т=х_0\cос\омега т\,\!,}$

бу ерда ${\дисплайстйле х_0\,\!}$ амплитуда, ${\дисплайстйле \омега\,\!}$ бурчак частотаси, ва ${\дисплайстйле т\,\!}$ вақт ҳисобланади.

Ипнинг юқори учи маҳкамланмаган бўлса-да, бу узайтирилмайдиган ипнинг узунлиги ҳали ҳам доимийдир. Юқори учи ва оғирлик орасидаги масофа бир хил бўлиши керак. Шунинг учун, бу тизим реономдир, чунки у аниқ вақтга боғлиқ бўлган чекловларга бўйсунади

${\дисплайстйле \сқрт{(х - х_0\cос\омега т)^2+й^2} - Л=0\,\!.}$