Stereometriya

Стереометрия (қад.-юн. стереос - "қаттиқ, фазовий" ва юн. μετρεω (метрео) - "ўлчайман") Евклид геометриясининг соҳаси бўлиб, унда уч ўлчамли, шакллар ўрганилади.

1. Тўғри чизиқ ва текисликнинг параллеллиги

 текислик ва унга тегишли бўлмаган а тўғри чизиқ бирорта ҳам умумий нуқтага эга бўлмаса, у ҳолда улар параллел дейилади. Тўғри чизиқ ва текисликнинг параллелик аломати. Агар тўғри чизиқ  текисликдаги бирор а тўгри чизиққа параллел бўлса, у ҳолда у шу текисликка ҳам параллелдир. Тўғри чизиқ ва текисликларни параллеллиги ҳақидаги теоремалар: а) Агар  текисликка тегишли бўлган а тўғри чизиқ  текисликка параллел бўлиб, шу билан бирга  ва  текисликлар в тўғри чизиқ орқали кесишса, у ҳолда а ва в тўғри чизиқлар параллел бўлади . б) Агар а ва в параллел тўғри чизиқлар орқали кесишувчи турли текисликлар ўтказилса, у ҳолда а, в ва уларни кесишиш чизиғи с тўғри чизиқлар ўзаро параллел бўлади. в) Агар кесишувчи  ва  текисликларнинг Ҳар бири берилган а тўғри чизиқка параллел бўлса, у ҳолда уларни кесишиш чизиғи в р ҳам а тўғри чизиққа параллел бўлади.

2. Текисликларни параллеллиги

Агар  ва  текисликлар бирорта ҳам умумий нуқтага эга бўлмаса, у ҳолда улар параллел дейилади. Икки текисликнинг параллеллик аломати:  текисликда ётган ўзаро кесишувчи а ва в тўғри чизиқлар  текислигида ётган c ва д тўғри чизиқларга мос равишда параллел бўлса, у ҳолда  ва  текисликлар ўзаро параллелдир. Параллел текисликлар ҳақидаги теоремалар: а) Агар икики параллел текисликларни учинчи текислик кесиб ўца, у ҳолда кесишиш чизиқлари параллел бўлади. б) Иккита параллел текислик орасига жойлашган параллел тўғри чизиқларнинг кемалари тенг.

3. Тўғри чизиқ ва текисликнинг перпендикулярлиги

Агар текисликни кесиб ўтувчи тўғри чизиқ текисликдаги шу кесишиш нуқтасидан ўтувчи исталган тўғри чизиқка перпендикуляр бўлса, тўғри чизиқ шу текисликка перпендикуляр дейилади. Тўғри чизиқ ва текисликнинг перпендикулярлик аломати. Агар текисликни кесиб ўтувчи тўғри чизиқ, текисликнинг шу кесишиш нуқтасидан ўтувчи икки тўғри чизиғига перпендикуляр бўлса, у ҳолда текисликнинг ўзига ҳам перпендикуляр бўлади. Тўғри чизиқ ва текисликнинг перпендикулярлиги ҳақидаги теоремалар: а) Битта текисликка перпендикуляр икки тўғри чизиқ ўзаро параллелдир. б) Агар текислик иккита параллел тўғри чизиқдан бирига перпендикуляр бўлса, у ҳолда иккинчисига ҳам перпендикулярдир. в) Берилган тўғри чизиқка перпендикуляр икки текислик ўзаро параллелдир.

4. Текисликларнинг перпендикулярлиги

Кесишувчи иккита текисликнинг кесишган тўғри чизиғига перпендикуляр бўлган учинчи текислик уларни перпендикуляр тўғри чизиқлар бўйича кесиб ўца, бу икки текислик перпендикуляр текисликлар дейилади.

  Текисликларни перпендикулярлик аломати. Агар текислик иккинчи текисликка перпендикуляр тўғри чизиқ орқали ўца, у ҳолда улар ўзаро перпендикуляр бўлади.

Перпендикуляр текисликлар ҳақидаги теоремалар: а) Агар икки текислик перпендикуляр бўлиб, улардан бирига тегишли бўлган тўғри чизиқ уларнинг кесишиш чизиғига перпендикуляр бўлса, у ҳолда бу тўғри чизиқ иккинчи текисликка перпендикуляр бўлади. б) Агар икки текислик перпендикуляр бўлиб, улардан бирига кесишган чизиқдан перпендикуляр ўтказилса, у ҳолда бу перпендикуляр бутунлай иккинчисига тегишли бўлади.

5. Текисликка туширилган перпендикуляр ва оғма

Берилган нуқтадан берилган текисликка туширилган перпендикуляр деб, берилган нуқтани текисликнинг нуқтаси билан туташтирувчи ва текисликка перпендикуляр тўғри чизиқда ётувчи кесмага айтилади. Нуқтадан текисликгача масофа перпендикулярнинг узунлиги дейилади. Берилган нуқтадан берилган текисликка ўтказилган оғма деб берилган нуқтани текисликдаги нуқта билан туташтирувчи ва текисликка перпендикуляр бўлмаган исталган кесмага айтилади. Уч перпендикуляр ҳақидаги теорема. Текисликда оғмани асосидан унинг проексиясига перпендикуляр қилиб ўтказилган тўғри чизиқ оғманинг ўзига ҳам перпендикулярдир. Аксинча, текисликдаги тўғри чизиқ оғмага перпендикуляр бўлса, у оғманинг проексиясига ҳам перпендикуляр бўлади. Оғма ва текислик орасидаги бурчак деб, оғма ва унинг шу тексиликдаги ортогонал проексияси орасидаги бурчакка айтилади.

6. Икки ёқли бурчак ва уни ўлчаш

Иккита ярим текисликдан ва уларни чегаралаб турган умумий тўғри чизиқдан ташкил топган фигура икки ёқли бурчак дейилади. Ярим текисликлар икки ёқли бурчакнинг ёқлари, уларни чегараловчи тўғри чизиқ эса икки ёқли бурчакнинг қирраси дейилади. Икки ёқли бурчакнинг қиррасига перпендикуляр текислик билан ҳосил қилинган бурчак икки ёқли бурчакнинг чизиқли бурчаги дейилади. Икки ёқли бурчакнинг ўлчови учун унга мос чизиқли бурчакнинг ўлчови қабул қилинади.

2 . Кўпёқлар

Кўпёқларга доир масалаларни ечишда асосий кўпёқлар турлари ва уларнинг хоссаларини билиш талаб этилади. 1. Сирти чекли миқдордаги ясси кўпбурчакдан иборат жисм кўпёқ дейилади. Кўпбурчакларнинг томонлари кўпёқни қирралари дейилади. Кўпёқни чегараловчи кўпбурчаклар кўпёқни ёқлари дейилади. 2. Призма деб икки ёғи тенг кўпбурчаклардан иборат бўлиб, параллел текисликларда ётувчи ва қолган барча қирралари параллел кўпёққа айтилади. Тенг кўпбурчаклар призмани асослари дейилади. Призмани қолган ёқлари ён ёқлари дейилади. Призманинг асосларида ётмайдиган қирралари ён қирралари дейилади. Призманинг барча ён қирралари параллел текисликлар ҳосил қилган параллел тўғри чизиқларнинг кесмалари эканлигидан ўзаро тенг. Асослари орасидаги масофани ифодаловчи кесма призманинг баландлиги дейилади. Призмани диагонали деб битта ёғига тегишли бўлмаган учларини туташтирувчи кесмага айтилади. Ён ёқлари асос текислигига перпендикуляр бўлган призма тўғри призма дейилади. Мунтазам призма деб шундай тўғри призмага айтиладики, унинг асослари мунтазам кўпбурчаклардан иборат бўлади. Ихтиёрий призманинг ён сирти қуйидаги формула билан топилади:

Сён = Пн •АА1

бу ерда Пн – призманинг кўндаланг кесим периметри; АА1 – ён қирраси узунлиги. Хусусий ҳолда тўғри призманинг ён сирти асосининг периметри билан баландлиги кўпайтмасига тенг. Призманинг ҳажми қуйидаги формула билан ҳисобланади:

В = Сн •АА1 В = Сасос • Ҳ,

бу ерда Сн - призманинг кўндаланг кесим юзи; АА1 - ён қирраси узунлиги; Сасос – асосининг юзи; Ҳ – призманинг баландлиги. 3. Асоси параллелограмдан иборат призмага параллелепипед дейилади. Унинг барча олтита ёқлари параллелограмдир. Параллепипеднинг хоссалари: А) Параллелепипеднинг диагоналлари ўрталари унинг симметрия маркази дейилади; Б) Параллелепипеднинг қарама-қарши ёқлари тенг ва параллел; С) Параллепипеднинг барча тўртта диагонали ҳам бир нуқтада кессишади ва кесишиш нуқтасида тенг иккига бўлинади. Ён қирралари асос текислигига перпендикуляр тўғри параллелепипед дейилади. Тўғри бурчакли параллелепипед тўғри параллелепипед бўлиб, асослари тўғри тўртбурчаклардан иборат. Тўғри бурчакли параллелепипеднинг қирралари тенг бўлса, бундай параллелепипед куб дейилади. Кубнинг ҳамма ёқлари тенг квадратлардан иборат. Тўғри бурчакли параллелепипеднинг ҳажми ва диагонали мос равишда қуйидаги формулалар бўйича ҳисобланади: В = абc, д2 = а2+ в 2+c2 бу ерда а, в, c - тўғри бурчакли параллелепипеднинг бир учидан чиққан қирралари. Кубнинг ҳажми ва диагонали мос равишда қуйидаги формулалар ёрдамида ҳисобланади: В= а3, д = а ,

4. Пирамида деб, унинг битта ёғи ихтиёрий кўпбурчакдан, қолган ёқлари умумий учга эга бўлган учбурчаклардан иборат кўпёққа айтилади. Кўпбурчак пирамиданинг асоси, қолганлари ён ёқлари дейилади. Барча ён ёқларининг умумий учи пирамидани учи дейилади. Пирамидани баландлиги деб, пирамиданинг учидан асос текислигига туширилган перпендикулярга айтилади. Мунтазам пирамида деб асоси мунтазам кўпбурчакдан иборат бўлиб, баландлиги бу мунтазам кўпбурчакни марказига тушувчи пирамидага айтилади. Мунтазам пирамиданинг барча ён қирралари бир-бирига тенг; барча ён ёқлари тенг ёнли учбурчаклардир. Мунтазам пирамида ён ёғининг баландлиги бу пирамидани апофемаси дейилади. Агар пирамиданинг асоси н – бурчакдан иборат бўлса, у ҳолда бундай пирамида н- бурчакли пирамида дейилади. Учбурчакли пирамида тетраэдр дейилади. Агар тетраэдрнинг барча қирралари тенг бўлса, бундай тетраэдр мунтазам тетраэдр дейилади. Мунтазам пирамиданинг ён сирти қуйидаги формула ёрдамида ҳисобланади: Сён = П • ҳ, бу ерда П – пирамида асосининг периметри, ҳ – апофема. Пирамиданинг ҳажми қуйидаги формула бўйича ҳисобланади: В = С • Ҳ, бу ерда С – пирамида ассосининг юзи; Ҳ – пирамида баландлиги. 5. Пирамидани унинг асосига параллел текислик билан кесганда иккита кўпёқ ҳосил бўлади. Улардан бири кесик пирамида деб аталади, иккинчиси пирамида бўлиб, у кесик пирамидани тўлдирувчи дейилади. Кесик пирамидани асослари ўхшаш кўпбурчаклардан, ён ёқлари трапециялардан иборат. Кесик пирамиданинг баландлиги деб, охирлари асосларида бўлган перпендикуляр кесмасига айтилади. Агар кесик пирамида мунтазам пирамиданинг қисми бўлса, мунтазам кесик пирамида дейилади. Мунтазам кесик пирамиданинг ён ёқлари тенг ёнли трапециялардан иборат. Бу трапецияларнинг баландлиги мунтазам кесик пирамиданинг апофемаси дейилади. Мунтазам кесик пирамиданинг ён сирти қуйидаги формула ёрдамида ҳисобланади. Сён = (П1 + П2) ҳ, бу ерда П1П2 - пирамида асосларининг периметрлари; ҳ – апофема. Мунтазам кесик пирамидани ҳажми қуйидаги формула бўйича ҳисобланади: В = (С1 + +С2) Ҳ бу ерда Ҳ – кесик пирамида баландлиги; С1С2 – пирамида асосларининг юзлари . 6. а) Агар пирамиданинг барча ён қирралари асос текислиги билан бир хил бурчак ташкил қилса, ёки қирралари тенг бўлса, у ҳолда пирамиданинг баландлиги асосига ташқи чизилган айлана марказига тушади. Б) Агар пирамиданинг асоси барча ён ёқлари билан бир хил α бурчак ташкил қилса, ёки ён ёқлари апофемалари тенг бўлса, у ҳолда пирамиданинг баландлиги асосига ички чизилган айлана марказига тушади, шу билан бирга Сасос = Сён • cосα. С) Агар С1 ва С2 - пирамиданинг параллел кесимлари юзлари, а1 ва а2 - кесимларнинг чизиқли ўлчови элементи, ҳ1 ва ҳ2 - пирамиданинг учидан кесимларгача бўлган масофа бўлса, у ҳолда = = тенгликлар ўринли бўлади.