Viete formulalari sahifasining manbasini koʻrish

== Qoidalar ==
=== Asosiy formulalar ===
''n''-darajali har qanday koʻphad

: <math>P(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math> (bu yerda koeffitsiyentlar [[haqiqiy son|haqiqiy]] yoki [[kompleks sonlar|kompleks son]] boʻlishi mumkin va ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;≠&nbsp;0)

[[algebraning asosiy teoremasi]]ga koʻra ''n'' ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub> kompleks ildizga ega.

Viete formulalari koʻphadning ''koeffitsiyentlarini'' {&nbsp;''a''<sub>''k''</sub>&nbsp;} shu koʻphad ''ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasi'' {&nbsp;''x''<sub>''i''</sub>&nbsp;} bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi:

: <math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ 
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}</math>

Boshqacha qilib aytganda, ''a''<sub>''n''&minus;''k''</sub> (''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''k'') inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar ''k'' ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan:

: <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}.</math>

Bu yerda ''k''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;…,&nbsp;''n''. Bu yerda yana ''i''<sub>''k''</sub> indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viete formulalarining chap tomoni ildizlarning [[elementar simmetrik koʻphad|elementar simmetrik funksiyalaridir]].

=== Halqalarga umumlashtirish ===
Viete formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa [[butunlik oblasti]] ({{lang-en|integral domain}}) ''R'' da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda <math>a_i/a_n</math> boʻlaklari ''R'' ning [[ulushlar halqasi]]ga ({{lang-en|ring of fractions}}) kiradi. Agar <math>a_i/a_n</math> ''R'' da qaytariluvchi boʻlsa boʻlaklar ''R'' ning oʻziga kiradi. <math>x_i</math> ildizlar [[algebraik yopiq maydon]]da ({{lang-en|algebraically closed field}}) olinadi. Odatda ''R'' [[butun son]]larning halqasidir va kasrlar maydoni [[ratsional son]]lar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa [[kompleks son]]lar maydonidir. Bu holda Viete formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisobsiz bilib olishga yordam beradi.

Butunlik oblasti boʻlmagan ''kommutativ halqa'' (yoki ''abel halqasi'') koʻphadlari uchun Viete formulalarini har doim ham emas, balki <math>a_i</math> lar <math>x_i</math> lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 [[Modulli arifmetika|modulli]] butun sonlari halqasida <math>x^2-1</math> koʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar <math>x_1=1</math> va <math>x_2=3</math> boʻlsa, Viete formulalari toʻgʻri boʻlmaydi.