Viete formulalari

Виэте формулалари (талаффузи: Виет) — кўпҳаднинг коэффициентларини унинг илдизлари орқали ифодаловчи формулалар. Бу формулалар билан кўпҳаднинг илдизлари тўғрилигини текшириш қулай. Шунингдек, бу формулалар ёрдамида берилган илдизлар бўйича кўпҳадни тузиш мумкин. Бу формулалар фаранг математиги Франçоис Виèте (талаффузи: Франсуа Виет) (франсузча Франçоис Виèте, лотинлаштирилгани Франcисcус Виэте) номи билан аталади. Виэте формулалари кўпроқ алгебрада ишлатилади.

Виэте бу формулаларни мусбат илдизларни топиш ҳоллари учун аниқлаган. Виэте яшаган даврда тенгламаларда фақат мусбат илдизлар мавжуд холос деб ишонилган. Виэте ҳам манфий илдизлар мавжуд эмас деб ҳисоблаган ва тенглама илдизлари ва унинг коэффициентлари орасидаги муносабатларни қисман тушунган холос. 1629-йилда бошқа фаранг математиги Алберт Гирард Виэте формулаларини фақатгина мусбат ҳақиқий илдизларга чекланмаган умумий ҳолини топган.

Виэте формулаларини аслида Алберт Гирард Виэтедан аввал топган деган фикрлар ҳам мавжуд. Масалан, ХВИИИ асрда яшаган британ математиги Чарлес Ҳуттонга кўра, Виэте формулаларининг умумий ҳоли ҳақида Алберт Гирард Виэтедан олдинроқ ўз асарларида ёзган.

Қоидалар

Асосий формулалар

н-даражали ҳар қандай кўпҳад

${\дисплайстйле П(х)=а_нх^н + а_{н-1}х^{н-1} +\cдоц + а_1 х+ а_0 \,}$ (бу ерда коэффициентлар ҳақиқий ёки комплекс сон бўлиши мумкин ва а_н ≠ 0)

алгебранинг асосий теоремасига кўра н та (бир-биридан фарқли бўлиши шарт бўлмаган) х₁, х₂, …, х_н комплекс илдизга эга.

Виэте формулалари кўпҳаднинг коэффициентларини { а_к } шу кўпҳад илдизларининг йиғиндиси ва кўпайтмаси { х_и } билан қуйидагича қилиб боғлайди:

${\дисплайстйле \бегин{cасес} х_1 + х_2 + \доц + х_{н-1} + х_н = -\тфраc{а_{н-1}}{а_н} \\ (х_1 х_2 + х_1 х_3+\cдоц + х_1х_н) + (х_2х_3+х_2х_4+\cдоц + х_2х_н)+\cдоц + х_{н-1}х_н = \фраc{а_{н-2}}{а_н} \\ {} \қуад \вдоц \\ х_1 х_2 \доц х_н = (-1)^н \тфраc{а_0}{а_н}. \энд{cасес}}$

Бошқача қилиб айтганда, а_н−к (н − к) инчи коэффициенти илдизларнинг барча мумкин бўлган кўпайтмаларини ҳар сафар к та олинган йиғиндисига қуйидагича боғланган:

${\дисплайстйле \сум_{1\ле и_1 < и_2 < \cдоц < и_к\ле н} х_{и_1}х_{и_2}\cдоц х_{и_к}=(-1)^к\фраc{а_{н-к}}{а_н}.}$

Бу ерда к = 1, 2, …, н. Бу ерда яна и_к индексларини ўсиб бориш тартибида ёзамиз. Чунки илдизларнинг ҳар бир кўпайтмаси фақат бир марта ёзилиши керак. Виэте формулаларининг чап томони илдизларнинг элементар симметрик функсияларидир.

Ҳалқаларга умумлаштириш

Виэте формулалари кўпинча коэффициентлари ҳар қанақа бутунлик области (инглизча: интеграл домаин) Р да жойлашган кўпҳадлар билан ишлатилади. Бу ҳолда ${\дисплайстйле а_и/а_н}$ бўлаклари Р нинг улушлар ҳалқасига (инглизча: ринг оф фраcтионс) киради. Агар ${\дисплайстйле а_и/а_н}$ Р да қайтарилувчи бўлса бўлаклар Р нинг ўзига киради. ${\дисплайстйле х_и}$ илдизлар алгебраик ёпиқ майдонда (инглизча: алгебраиcаллй cлосед фиэлд) олинади. Одатда Р бутун сонларнинг ҳалқасидир ва касрлар майдони рационал сонлар майдонидир. Алгебраик ёпиқ майдон бўлса комплекс сонлар майдонидир. Бу ҳолда Виэте формулалари фойдалидир. Сабаби, улар илдизлар орасидаги алоқаларини илдизларни ҳисобсиз билиб олишга ёрдам беради.

Бутунлик области бўлмаган коммутатив ҳалқа (ёки абел ҳалқаси) кўпҳадлари учун Виэте формулаларини ҳар доим ҳам эмас, балки ${\дисплайстйле а_и}$ лар ${\дисплайстйле х_и}$ лардан ҳисоблангандагина ишлаца бўлади. Масалан, 8 модулли бутун сонлари ҳалқасида ${\дисплайстйле х^2-1}$ кўпҳадида тўрт илдиз бор. Булар 1, 3, 5, 7 дир. Агар ${\дисплайстйле х_1=1}$ ва ${\дисплайстйле х_2=3}$ бўлса, Виэте формулалари тўғри бўлмайди.

Мисоллар

Квадрат тенглама

Теорема

Агар

${\дисплайстйле х^2+пх+қ=0\,}$

келтирилган квадрат тенглама ҳақиқий илдизларга эга бўлса, у ҳолда уларнинг йиғиндиси -пга, кўпайтмаси эса қга тенг бўлади.

Яъни,

${\дисплайстйле \бегин{cасес}$

 ~х_1+х_2=-п \\            
 ~х_1х_2=қ

\энд{cасес}} (1)

Келтирилган квадрат тенглама илдизларининг йиғиндиси қарама-қарши ишора билан олинган иккинчи коэффициентга, илдизларининг кўпайтмаси эса озод ҳадга тенг.

Мисол

${\дисплайстйле х^2-5х+6=0}$

квадрат тенгламаси берилган бўлсин. Бу тенгламада икки илдиз, яъни ${\дисплайстйле х_1}$ ва ${\дисплайстйле х_2}$ мавжуд деб қаралсин. Виэте формулаларига кўра, қуйидаги муносабат тўғри бўлиши керак:

${\дисплайстйле \бегин{cасес}$

 ~х_1+х_2=5 \\            
 ~х_1х_2=6

\энд{cасес}}

Бу ерда илдизларнинг кўпайтмаси мусбат сон бўлгани учун илдизлар ҳам мусбат сонлар эканлигини билиб олиш мумкин. Илдизлар мусбат бутун сонлар деб тасаввур қилсак, фақат икки ҳолдагина кўпайтма 6 га тенг бўлади, яъни ${\дисплайстйле 1*6=6}$ ва ${\дисплайстйле 2*3=6}$ ҳолларида. Виэте теоремасининг иккинчи шарти бўйича бу ерда илдизлар йиғиндиси 5 га тенг бўлиши лозим. 1 билан 6 нинг йиғиндиси бу шартни қаноатлантирмайди. Аммо 2 ва 3 сонларининг йиғиндиси берилган шартни қаноатлантиради: ${\дисплайстйле 2+3=5}$. Демак, тенгламанинг илдизлари 2 ва 3 га тенг.

Яна бошқа муносабатлар

Келтирилган квадрат тенглама

${\дисплайстйле х^2+пх+қ=0\,}$

илдизлари ва коэффициентлари ўртасидаги яна айрим муносабатларни келтириб чиқарамиз. Илдизлар квадратларининг йиғиндисини топамиз:

${\дисплайстйле х_1^2 + х_2^2=(х_1^2+2х_1х_2+х_2^2)-2х_1х_2=(х_1+х_2)(х_1+х_2)^2-2х_1х_2.}$

Энди (1) дан фойдаланиб қуйидагича ёзамиз:

${\дисплайстйле х_1^2 + х_2^2=п^2-2қ.}$ (2)

Илдизлар кубларининг йиғиндисини топамиз:

${\дисплайстйле х_1^3 + х_2^3=(х_1+х_2)(х_1^2+х_1х_2+х_2^2)=(х_1+х_2)((х_1+х_2)^2-3х_1х_2).}$

(1) ва (2) формулалардан фойдаланиб, қуйидагича ёзамиз:

${\дисплайстйле х_1^3 + х_2^3=п(п^2-3қ).}$

Тескари теорема

Виэте теоремасига тескари теорема ўринлидир.

Теорема: Агар ${\дисплайстйле х_1}$ ва ${\дисплайстйле х_2}$ сонлар шундай бўлсаки, ${\дисплайстйле х_1+х_2=-п}$, ${\дисплайстйле х_1х_2=қ}$ бўлса, у ҳолда ${\дисплайстйле х_1}$ ва ${\дисплайстйле х_2}$ лар квадрат тенгламанинг илдизларидан иборат бўлади.

Бу теорема бир қатор ҳолларда квадрат тенглама илдизларини илдизлар формуласидан фойдаланмасдан топишга имкон беради.

Учинчи даражали тенглама

Агар

${\дисплайстйле х_1, х_2, х_3}$ 

${\дисплайстйле п(х)=ах^3 + бх^2 + cх + д = 0}$ учинчи даражали тенглама илдизлари бўлса, унда

${\дисплайстйле \бегин{cасес} х_1 - х_2 - х_3 = \фраc{б}{а}\\(х_1 / х_2 - х_1 / х_3 - х_2 / х_3) = \фраc{c}{а} \\ х_1 / х_2 / х_3 = \фраc{д}{а}\энд{cасес}}$

Исботи

Виэте формулаларини қуйидаги тенгликдан фойдаланиб исботлаш мумкин:

${\дисплайстйле а_нх^н + а_{н-1}х^{н-1} +\cдоц + а_1 х+ а_0 = а_н(х-х_1)(х-х_2)\cдоц (х-х_н)}$.

Бу ифода тўғри, чунки ${\дисплайстйле х_1, х_2, \доц, х_н}$ бу кўпҳаднинг барча илдизларидир. Исботлаш учун кўпҳадни ёйиш керак. Кейин ўнг томондаги факторларни кўпайтириш керак. Сўнгра ${\дисплайстйле х}$нинг ҳар бир даражаси коэффициентларини аниқлаш керак.

${\дисплайстйле (х-х_1)(х-х_2)\cдоц(х-х_н),}$ ифодасини ёйсак, ҳадлар ${\дисплайстйле (-1)^{н-к}х_1^{б_1}\cдоц х_н^{б_н} х^к}$ бўлади. Бу ерда ${\дисплайстйле х_и}$ кўпайтмага киритилган-киритилмаганига қараб ${\дисплайстйле б_и}$ ёки 0, ёки 1 бўлади. к бўлса киритилмаган ${\дисплайстйле х_и}$ ларнинг сонидир. Шундан келиб чиқиб, кўпайтмадаги факторларнинг умумий сони н дир. Бу ерда н та бинар танлов бўлгани учун (${\дисплайстйле х_и}$ ни ёки х ни киритиш) ${\дисплайстйле 2^н}$ та ҳад бор. Геометрик жиҳатдан бу ҳадларни гиперкуб учлари деб тушуниш мумкин.

Бу ҳадларни даража бўйлаб гуруҳлаш ${\дисплайстйле х_и}$ даги содда симметрик кўпҳадларини чиқаради. Яъни, ${\дисплайстйле х_и}$ нинг к-карра бир-биридан фарқли кўпайтмаларини беради.

Тарихи

Виэте формулалари фаранг математиги Франçоис Виèте (1540-1603) номи билан аталади

Виэте формулалари ХВИ асрда яшаган фаранг математиги Франçоис Виèте (талаффузи: Франсуа Виет) (франсузча: Франçоис Виèте, лотинча: Франcисcус Виэте) номи билан аталди. Виэте бу формулаларни мусбат илдизларни топиш ҳоллари учунгина аниқлаган. Виэте тенгламанинг мусбат илдизлари ва номаълум қийматнинг турли даражалардаги коэффициентлари орасидаги боғланишни аниқлаган. Виэте яшаган даврда тенгламаларда фақат мусбат илдизлар мавжуд холос деб ишонилган. Виэте ҳам манфий илдизлар мавжуд эмас деб ҳисоблаган ва тенглама илдизлари ва унинг коэффициентлари орасидаги муносабатларни қисман тушунган холос.

1629-йилда бошқа фаранг математиги Алберт Гирард Виэте формулаларини фақатгина мусбат ҳақиқий илдизларга чекланмаган умумий ҳолини топган.

Виэте формулаларини аслида Алберт Гирард Виэтедан аввал топган деган фикрлар ҳам мавжуд. Масалан, ХВИИИ асрда яшаган британ математиги Чарлес Ҳуттонга кўра, Виэте формулаларининг умумий ҳоли ҳақида Алберт Гирард Виэтедан аввалроқ ўз асарларида ёзган. Ҳуттон бундай деб ёзади:

…[Гирард wас] тҳе фирст персон wҳо ундерстоод тҳе генерал доcтрине оф тҳе форматион оф тҳе cоэффиcиэнц оф тҳе поwерс фром тҳе сум оф тҳе рооц анд тҳеир продуcц. Ҳе wас тҳе фирст wҳо дисcоверед тҳе рулес фор сумминг тҳе поwерс оф тҳе рооц оф анй эқуатион.

яъни,

…Гирард даражалар коэффициентларини илдизлар йиғиндиси ва уларнинг кўпайтмасидан тузиш умумий принсипини биринчилардан бўлиб англаган. У биринчи бўлиб ҳар қандай тенглама илдизлари даражаларини қўшиш қоидаларини ўйлаб топган.

Виэте тенглама илдизлари ва унинг коэффициентлари орасида муносабатларни қисман англаган бўлса ҳам, у биринчиларда бўлиб шу боғланишни аниқлаган. Кўпчилик Виэтенинг бу формулаларнинг ривожланишида қўшган ҳиссаси катта деб ҳисоблайди. Шу сабаб бу формулаларни унинг номи билан аташ хато эмас.

Яна қаранг

• Квадрат тенглама

Манбалар

Ҳаволалар

• Виэте формулалари, Матҳ Wорлд ^(ингл.)
• Кўпҳадни кўпайтувчиларга бўлиш. Виэте формулалари, Резолвента ^(рус.)
• Виэте теоремасининг кавдадрат тенгламаларни ечишда ишлатилиши, „Очиқ дарс“ фестивали ^(рус.)