Ziyosfera

Yassi toʻlqin

Yassi toʻlqin to'lqin frontining uch oʻlchamli fazodagi tasviri va fazaviy tezlik vektorining yoʻnalishi

Yassi elektromagnit toʻlqin — elektromagnit toʻlqinni xarakterlovchi toʻlqin funksiyasi faqat bitta koordinataga, masalan z{\displaystyle z} ga va vaqtga bogʻliq boʻlgan toʻlqin.

Yassi elektromagnit toʻlqin uchun toʻlqin tenglamasi va Lorentz sharti quyidagi koʻrinishda boʻladi:

∂2f∂z2−1c∂2f∂t;(1){\displaystyle \dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} - \frac{1}{c}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial t};\ \ \ \ \ (1)}
∂Az∂z+1c∂φ∂t=0;(2){\displaystyle \dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} + \frac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0;\ \ \ \ \ (2)}

Toʻlqin tenglamasining yechimi

(1) tenglamaning yechimini topish uchun yangi ξ{\displaystyle \xi} va η{\displaystyle \eta} oʻzgaruvchilar kiritiladi:

ξ=z+ct;(3){\displaystyle \xi = z + ct;\ \ \ \ \ (3)}
η=z−ct;(4){\displaystyle \eta = z - ct;\ \ \ \ \ (4)}

Endi (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:

(∂∂z+1c∂∂t)(∂∂z−1c∂∂t)f=0;(5){\displaystyle \left(\dfrac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\right) \left(\dfrac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\right)f = 0;\ \ \ \ \ (5)}

(3) va (4) dan koʻrinib turibdiki,

∂∂z=∂∂ξ∂ξ∂z+∂∂η∂η∂z=∂∂ξ+∂∂η{\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial z} + \dfrac{\partial}{\partial\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}+\dfrac{\partial}{\partial\eta}}
∂∂t=∂∂ξ∂ξ∂t+∂∂ξ∂ξ∂t=c∂∂ξ−c∂∂η=c(∂∂ξ−∂∂η){\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial t} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t} + \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t} = c\dfrac{\partial}{\partial\xi} - c\dfrac{\partial}{\partial\eta} = c\left(\dfrac{\partial}{\partial\xi} - \dfrac{\partial}{\partial\eta}\right)}

Demak,

∂∂ξ+1c∂∂t=2∂∂ξ{\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial\xi}+\frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t} = 2\dfrac{\partial}{\partial\xi}}
∂∂ξ−1c∂∂t=2∂∂η{\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial\xi}-\frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t} = 2\dfrac{\partial}{\partial\eta}}

U holda toʻlqin tenglama (5) ga muvofiq

∂2f∂ξ∂η=0;(6){\displaystyle \dfrac{\partial^{2}f}{\partial\xi\partial\eta} = 0;\ \ \ \ \ (6)}

Bu toʻlqin tenglamani avval ξ{\displaystyle \xi} boʻyicha integrallanadi: ∂f∂η=C1(η){\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial\eta} = C_{1}(\eta)}, keyin esa η{\displaystyle \eta} boʻyicha integrallanadi: f=∫C1(η)dη+C2(ξ){\displaystyle f = \int C_{1}(\eta)d\eta+C_{2}(\xi)}, yaʼni

f=f1(ξ)+f2(η);(7){\displaystyle f = f_{1}(\xi) + f_{2}(\eta);\ \ \ \ \ (7)}

yoki (3) bilan (4) ga binoan,

f=f1(z+ct)+f2(z−ct);(8){\displaystyle f = f_{1}(z + ct) + f_{2}(z - ct);\ \ \ \ \ (8)}

boʻladi. Bu yerda f1{\displaystyle f_{1}} va f2{\displaystyle f_{2}} ixtiyoriy funksiyalardir.

Toʻlqin tenglamaning mohiyati

Bu funksiyalarning maʼnosini aniqlash mumkin. Agar z−ct=const{\displaystyle z - ct =const} boʻlsa,

f=f2(z−ct);(9){\displaystyle f=f_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (9)}
Yassi toʻlqin harakati

boʻladi. Agar z−ct=const{\displaystyle z-ct=const} boʻlsa, f2=const{\displaystyle f_{2} = const} boʻladi. Boshlangʻich vaqt momenti t=0{\displaystyle t = 0} ga mos koordinata z0{\displaystyle z_{0}} desak, z−ct=z0{\displaystyle z - ct =z_{0}} boʻladi. Bu formula esa z{\displaystyle z} koordinata oʻqiga perpendikulyar boʻlgan va shu oʻq boʻylab c{\displaystyle c} oʻzgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi tekislikni ifodalaydi. Koʻrinib turibdiki, boshlangʻich vaqt momenti t=0{\displaystyle t=0} va boshlangʻich koordinata z=z0{\displaystyle z=z_{0}} nuqtada funksiya qanday qiymatga ega boʻlsa, t{\displaystyle t} vaqt oʻtgandan keyin z=z0+ct{\displaystyle z=z_{0} + ct} koordinatali nuqtada yana oʻsha qiymatiga ega, yaʼni f2(z0)=f2(z−ct){\displaystyle f_{2}(z_{0})=f_{2}(z - ct)} boʻladi. Shunday qilib, elektromagnit maydonni xarakterlovchi funksiya qiymati z{\displaystyle z} oʻqi boʻylab c{\displaystyle c} texlik bilan tarqaladi. Tekshirilayotgan f2(z−ct){\displaystyle f_{2}(z - ct)} funksiya yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Aytilganlardan ayonki, f1(z+ct){\displaystyle f_{1}(z + ct)} funksiya esa z{\displaystyle z} koordinata oʻqiga qarama-qarshi yoʻnalishda yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Yassi elektromagnit toʻlqin

Fazoda tarqalayotgan elektromagnit toʻlqin tenglamasini aniqlash uchun toʻlqin tenglamasidan foydalanamiz. Yassi toʻlqinlar masalasini koʻrib chiqayotganimiz uchun faqatgina z{\displaystyle z} oʻqi boʻyicha yuguruvchi toʻlqin bilangina cheklanamiz. Shunday qilib, skalyar potensial va vektor potensial uchun (9) ga asosan quyidagicha yozish mumkin:

φ=φ(z−ct);(10){\displaystyle \varphi = \varphi(z - ct);\ \ \ \ \ (10)}
A=A(z−ct);(11){\displaystyle \textbf{A}=\textbf{A}(z-ct);\ \ \ \ \ (11)}

Potensiallarning kalibrovka sharti quyidagi koʻrinishda edi:

φ′=φ−1c∂ψ∂t;(12){\displaystyle \varphi'=\varphi-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\psi}{\partial t};\ \ \ \ \ (12)}

yoki (10) ga muvofiq:

φ′(z−ct)=φ(z−ct)−1c∂∂tψ(z−ct){\displaystyle \varphi'(z-ct)=\varphi(z-ct) - \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(z-ct)}

Ammo (4) ga asosan,

∂∂tψ(z−ct)=−ψ˙(z−ct){\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial t}\psi(z-ct) = -\dot\psi(z-ct)}

bu yerda argument η=z−ct{\displaystyle \eta = z-ct} boʻyicha differensiallash nuqta bilan belgilandi. Shunday qilib,

φ′(z−ct)=φ(z−ct)+ψ˙(z−ct){\displaystyle \varphi'(z-ct)=\varphi(z-ct)+\dot\psi(z-ct)}

boʻladi. ψ(z−ct){\displaystyle \psi(z-ct)} funksiya ixtiyoriy boʻlganligidanm uni quyidagi koʻrinishda tanlash mumkin: φ′(z−ct)=ψ˙(z−ct){\displaystyle \varphi'(z-ct) = \dot\psi(z-ct)}. Demak, natijada φ(z−ct)=0{\displaystyle \varphi(z-ct) = 0} boʻladi. U vaqtda Lorentz sharti (2) ga asosan,

∂Az∂z=0,Az=const;(13){\displaystyle \dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} = 0,\ \ \ \ \ A_{z} = const;\ \ \ \ \ (13)}

Bu oʻzgarmas sonni nolga teng deb hisoblash mumkin.

Haqiqatdan ham, potensiallar orqali kuchlanganliklarni ifodalovchi formulalar:

E=−gradφ−1c∂A∂t{\displaystyle \textbf{E}=-\textrm{grad}\varphi -\frac{1}{c}\dfrac{\partial \textbf{A}}{\partial t}}
H=rotA{\displaystyle \textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A}}

yoki φ(z−ct)=0{\displaystyle \varphi(z-ct)=0} ekanligi hisobga olinsa,

E=−1c∂A∂t;(14){\displaystyle \textbf{E}=-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial t};\ \ \ \ \ (14)}
H=rotA;(15){\displaystyle \textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A};\ \ \ \ \ (15)}

(13) va (14) dan koʻrinib turibdiki, Ez=0{\displaystyle E_{z}=0}, yaʼni elektr maydon kuchlanganligi E{\displaystyle \textbf{E}} vektor toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shuning uchun, vektor potensialning toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidagi tashkil etuvchisi nolga teng deb olish mumkin, yaʼni Az=0{\displaystyle A_{z}=0}.

Endi esa (4) va (11) ni hisobga olib, (14) va (15) ga muvofiq quyidagini yozamiz:

E=−1c∂A∂t=−1c∂A∂η∂η∂t=A˙{\displaystyle \textbf{E} = -\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial t}=-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial\eta}{\partial\eta}{\partial t}=\dot\textbf{A}}
H=rotA=[∇A]=[∇(z−ct),A]=[∇z,A˙]=[∇z,E]{\displaystyle \textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A} = [\nabla\ \textbf{A}] = [\nabla(z-ct), \textbf{A}]=[\nabla_{z}, \dot{\textbf{A}}]=[\nabla_{z}, \textbf{E}]}
Elektr va magnit maydon kuchlanganlik vektorlarining yoʻnalishi toʻlqin tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyar boʻladi

Toʻlqin tarqalishi yoʻnalishining ortini n bilan belgilasak, n=∇z{\displaystyle \textbf{n} = \nabla_{z}} boʻladi. Demak,

H=[nE];(16){\displaystyle \textbf{H} = [\textbf{n}\ \textbf{E}];\ \ \ \ \ (16)}

Koʻrinib turibdiki, magnit maydon kuchlanganligi H{\displaystyle \textbf{H}} vektor ham elektr maydon kuchlanganligi E{\displaystyle \textbf{E}} vektor singari, toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shunday qilib, elektromagnit toʻlqin — koʻndalang toʻlqin hamda H{\displaystyle \textbf{H}} va E{\displaystyle \textbf{E}} vektorlar oʻzaro perpendikulyar vektorlar ekan. n{\displaystyle \textbf{n}}, E{\displaystyle \textbf{E}}, H{\displaystyle \textbf{H}} vektorlarning yoʻnalishlari rasmda tasvirlangan.

Umov-Poynting vektori

(16) tenglamadan koʻrinib turibdiki,

H=E;(17){\displaystyle H = E;\ \ \ \ \ (17)}

yaʼni elektr maydon va magnit maydon kuchlanganliklarining son qiymatlari birxil, demak, toʻlqinning elektr maydon va magnit maydon energiya zichliklari bir xil. U vaqtda toʻlqining energiya zichligi

w=E28π+H28π=E24π=H24π;(18){\displaystyle w = \frac{E^{2}}{8\pi}+\frac{H^{2}}{8\pi}=\frac{E^{2}}{4\pi}=\frac{H^{2}}{4\pi};\ \ \ \ \ (18)}

Toʻlqinning energiya oqimini xarakterlovchi Umov-Poynting vektori uchun

S=c4π[EH]=c4π[E[nE]]=c4π[nE2−E(nE)]=E24πcn{\displaystyle \textbf{S} = \frac{c}{4\pi} \left[\textbf{E}\ \textbf{H}\right] = \frac{c}{4\pi} \left[\textbf{E}[\textbf{n}\ \textbf{E}]\right]= \frac{c}{4\pi} \left[\textbf{n}\textbf{E}^{2} - \textbf{E}(\textbf{nE})\right] =\frac{E^{2}}{4\pi}c\ \textbf{n}}

yoki (18) ga muvofiq,

S=wcn;(19){\displaystyle \textbf{S} = w\ c\ \textbf{n};\ \ \ \ \ (19)}

demak, energiya oqimi toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi boʻyicha yoʻnalgan. To'lqin elektromagnit impulsining zichligi uchun

gS=Sc2=wcn;(20){\displaystyle \textbf{g}_{S} = \frac{\textbf{S}}{c^{2}} = \frac{w}{c}\textbf{n};\ \ \ \ \ (20)}

Shuningdek qarang:

Adabiyotlar

  • R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Yassi_to%CA%BBlqin" dan olindi